Successione di variabili gaussiane convergente in legge
Vorrei dimostrare che se una successione di variabili gaussiane \(X_n\sim N(m_n,\sigma_n^2)\) converge in legge a una variabile $X$, allora anche $X$ è gaussiana.
Bene, se sapessi che $m_n\to m$ e $\sigma_n^2\to\sigma^2$, userei il teorema di Paul Lévy e sarei subito a posto, ma nel mio caso penso di dovere dimostrare proprio che questi limiti $m$ e $\sigma^2$ esistono...
Ho a disposizione qualche hint sparso e vediamo se riusciamo ad arrivare in fondo
Per quanto riguarda la varianza,
- uso il teorema di Paul Lévy per affermare che la successione delle funzioni caratteristiche $\varphi_{X_n}$ converge alla funzione caratteristica $\varphi_X(t)$ di $X$;
- passo ai moduli e ottengo $|\varphi_{X_n}(t)|=exp(-\frac{\sigma_n^2t^2}{2})\to |\varphi_{X}(t)|$;
- in particolare, per $t=1$, $exp(-\frac{\sigma_n^2}{2})\to|\varphi_{X}(1)|$;
- passando ai logaritmi ottengo $\sigma_n^2\to -2\log |\varphi_X(1)|$ che è positivo, quindi posso definire $\sigma^2=-2\log |\varphi_X(1)|$.
Invece per la speranza non so proprio come fare:
$\lim_{n\to\infty}\varphi_{X_n}(t)=\lim_{n\to\infty}\ exp(-\frac{\sigma_n^2t^2}{2})\cdot\lim_{n\to\infty}\ exp(im_nt) = exp(-\frac{\sigma^2t^2}{2})\cdot\lim_{n\to\infty}\ exp(im_nt)=\varphi_X(t)$
da cui ricavo
$\lim_{n\to\infty}\ exp(im_nt) = \varphi_X(t)\ exp(-\frac{\sigma^2t^2}{2})$
e iniziano i guai
Bene, se sapessi che $m_n\to m$ e $\sigma_n^2\to\sigma^2$, userei il teorema di Paul Lévy e sarei subito a posto, ma nel mio caso penso di dovere dimostrare proprio che questi limiti $m$ e $\sigma^2$ esistono...
Ho a disposizione qualche hint sparso e vediamo se riusciamo ad arrivare in fondo
Per quanto riguarda la varianza,
- uso il teorema di Paul Lévy per affermare che la successione delle funzioni caratteristiche $\varphi_{X_n}$ converge alla funzione caratteristica $\varphi_X(t)$ di $X$;
- passo ai moduli e ottengo $|\varphi_{X_n}(t)|=exp(-\frac{\sigma_n^2t^2}{2})\to |\varphi_{X}(t)|$;
- in particolare, per $t=1$, $exp(-\frac{\sigma_n^2}{2})\to|\varphi_{X}(1)|$;
- passando ai logaritmi ottengo $\sigma_n^2\to -2\log |\varphi_X(1)|$ che è positivo, quindi posso definire $\sigma^2=-2\log |\varphi_X(1)|$.
Invece per la speranza non so proprio come fare:
$\lim_{n\to\infty}\varphi_{X_n}(t)=\lim_{n\to\infty}\ exp(-\frac{\sigma_n^2t^2}{2})\cdot\lim_{n\to\infty}\ exp(im_nt) = exp(-\frac{\sigma^2t^2}{2})\cdot\lim_{n\to\infty}\ exp(im_nt)=\varphi_X(t)$
da cui ricavo
$\lim_{n\to\infty}\ exp(im_nt) = \varphi_X(t)\ exp(-\frac{\sigma^2t^2}{2})$
e iniziano i guai
Risposte
Due piccole cose che centrano di sottofondo a quello che scrivi:
-immagino che con gaussiana intendi anche le $\delta$, giusto? Altrimenti dovresti pensare all'esempio $N(0,1/n)$.
-a cosa converge in legge la successione $N(n,1)$? o $N(0,n)$?
Se con $X$ intendi una v.a. non degenere dovresti dirmi perché $\sigma^2$ è strettamente positivo. o no?
-immagino che con gaussiana intendi anche le $\delta$, giusto? Altrimenti dovresti pensare all'esempio $N(0,1/n)$.
-a cosa converge in legge la successione $N(n,1)$? o $N(0,n)$?
Se con $X$ intendi una v.a. non degenere dovresti dirmi perché $\sigma^2$ è strettamente positivo. o no?
Per la prima questione direi che le costanti possano rientrare, magari solo tra i limiti, cioè, la successione è di gaussiane, ma il limite può eventualmente essere una costante. Che ne dici?
Per la seconda sono indeciso, ma mi verrebbe di dire che non convergono. Per la $N(0,n)$ credo che si possa vedere studiando la convergenza delle funzioni caratteristiche.
Per la seconda sono indeciso, ma mi verrebbe di dire che non convergono. Per la $N(0,n)$ credo che si possa vedere studiando la convergenza delle funzioni caratteristiche.
Il problema lo avevo gua' sentito, mi pare me lo aveva accennato sempre fu^2.
Innanzitutto penso tu voglia restringere il campo alle distribuzioni sui reali (ovvero $X in RR$) altrimenti potrebbero sorgere dei problemi (mi viene ad esempio da pensare a qualcosa di questo tipo $X_n=nZ$ con $Z sim N(0,1)$) e dunque richiederebbe un po piu di attenzione.
Se ti restringi ad $RR$ potresti provare questa strada (un po artigianle ma diretta ed efficace). Dimostra che la successione $m_n$ e' limitata (altrimenti generi assurdi); lo stesso con $sigma_n$. Esiste dunque una sottosuccessione convergente. Per questa vale il limite in distribuzione alla normale; per unicita' del limite concludi.
Fammi sapere.
Ciao
Innanzitutto penso tu voglia restringere il campo alle distribuzioni sui reali (ovvero $X in RR$) altrimenti potrebbero sorgere dei problemi (mi viene ad esempio da pensare a qualcosa di questo tipo $X_n=nZ$ con $Z sim N(0,1)$) e dunque richiederebbe un po piu di attenzione.
Se ti restringi ad $RR$ potresti provare questa strada (un po artigianle ma diretta ed efficace). Dimostra che la successione $m_n$ e' limitata (altrimenti generi assurdi); lo stesso con $sigma_n$. Esiste dunque una sottosuccessione convergente. Per questa vale il limite in distribuzione alla normale; per unicita' del limite concludi.
Fammi sapere.
Ciao
"DajeForte":
Dimostra che la successione $m_n$ e' limitata (altrimenti generi assurdi); lo stesso con $sigma_n$. Esiste dunque una sottosuccessione convergente. Per questa vale il limite in distribuzione alla normale; per unicita' del limite concludi.
Infatti uno degli hint (l'ultimo) che ho a disposizione è proprio dimostrare che la successione delle medie è limitata, attraverso la limitatezza delle varianze e la "tightness" della successione di probabilità... Che non mi dice molto, ma assieme al tuo consiglio di ragionare per assurdo magari salta fuori qualcosa...
"DajeForte":
Il problema lo avevo gua' sentito, mi pare me lo aveva accennato sempre fu^2.
Innanzitutto penso tu voglia restringere il campo alle distribuzioni sui reali (ovvero $X in RR$) altrimenti potrebbero sorgere dei problemi (mi viene ad esempio da pensare a qualcosa di questo tipo $X_n=nZ$ con $Z sim N(0,1)$) e dunque richiederebbe un po piu di attenzione.
Se ti restringi ad $RR$ potresti provare questa strada (un po artigianle ma diretta ed efficace). Dimostra che la successione $m_n$ e' limitata (altrimenti generi assurdi); lo stesso con $sigma_n$. Esiste dunque una sottosuccessione convergente. Per questa vale il limite in distribuzione alla normale; per unicita' del limite concludi.
Fammi sapere.
Ciao
Esattamente
se cerchi in pensare un po' di più, retrocomputer, penso puoi ritrovare quella discussione, anche se è passato un po' di tempo... Bella memoria DajeForte!:D
Riprendo questo vecchio thread perché sono tornato sulla questione ieri e vorrei provare a concludere:
nel primo messaggio siamo arrivati a stabilire che $\sigma_n^2\to\sigma^2$ e che la successione $\exp(im_n t)$ converge.
Se dimostro che la successione $(m_n)$ è limitata, allora, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione $(m_{n_k})$ convergente a un numero $m$, quindi anche $\exp(im_{n_k} t)\to \exp(imt)$ e lo stesso fa l'intera successione $\exp(im_n t)$ per l'unicità del limite. Infine
$\phi_X(t)=\exp(imt-\frac{\sigma^2 t^2}{2})$, cioè $X$ ha legge $N(m,\sigma^2)$.
Resta quindi da provare che la successione $(m_n)$ è limitata.
Sappiamo (e magari poi dimostriamo) che se la successione $(X_n)$ converge in legge, allora la successione delle leggi $(P_{X_n})$ è tesa, cioè
per ogni $\epsilon$ esiste $M$ tale che $\text{sup}_n P_{X_n}([-M,M]^c)=\text{sup}_n P(|X_n|>M)<\epsilon$.
Vediamo che se la successione delle $m_n$ non fosse limitata, cadrebbe la tensione:
sappiamo intanto che $P(|X_n|>|m_n|)\geq 1/2$, infatti $P(|X_n|>|m_n|)=P(X_n>|m_n|)+P(X_n<-|m_n|)=1/2+P(X_n<-m_n)\geq 1/2$.
Essendo $m_n$ non limitata, per ogni $M$ esiste $n$ tale che $|m_n|\geq M$, quindi $P(|X_n|>M)\geq P(|X_n|>|m_n|)\geq 1/2$.
Dunque per ogni $M>0$ abbiamo $\text{sup}_n P(|X_n|>M)\geq 1/2$ e la successione delle leggi non può essere tesa.
Che ne dite?
nel primo messaggio siamo arrivati a stabilire che $\sigma_n^2\to\sigma^2$ e che la successione $\exp(im_n t)$ converge.
Se dimostro che la successione $(m_n)$ è limitata, allora, per il teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione $(m_{n_k})$ convergente a un numero $m$, quindi anche $\exp(im_{n_k} t)\to \exp(imt)$ e lo stesso fa l'intera successione $\exp(im_n t)$ per l'unicità del limite. Infine
$\phi_X(t)=\exp(imt-\frac{\sigma^2 t^2}{2})$, cioè $X$ ha legge $N(m,\sigma^2)$.
Resta quindi da provare che la successione $(m_n)$ è limitata.
Sappiamo (e magari poi dimostriamo
) che se la successione $(X_n)$ converge in legge, allora la successione delle leggi $(P_{X_n})$ è tesa, cioèper ogni $\epsilon$ esiste $M$ tale che $\text{sup}_n P_{X_n}([-M,M]^c)=\text{sup}_n P(|X_n|>M)<\epsilon$.
Vediamo che se la successione delle $m_n$ non fosse limitata, cadrebbe la tensione:
sappiamo intanto che $P(|X_n|>|m_n|)\geq 1/2$, infatti $P(|X_n|>|m_n|)=P(X_n>|m_n|)+P(X_n<-|m_n|)=1/2+P(X_n<-m_n)\geq 1/2$.
Essendo $m_n$ non limitata, per ogni $M$ esiste $n$ tale che $|m_n|\geq M$, quindi $P(|X_n|>M)\geq P(|X_n|>|m_n|)\geq 1/2$.
Dunque per ogni $M>0$ abbiamo $\text{sup}_n P(|X_n|>M)\geq 1/2$ e la successione delle leggi non può essere tesa.
Che ne dite?
Si mi sembra che vada bene
Per dimostrare la cosa dell'essere tesa (a volte le traduzioni in italiano sono veramente brutte ) ti propongo un modo molto violento, ma almeno istruttivo (la prima volta che ho visto il teorema che ti vado a dire ci sono rimasto male, adesso lo uso quotidianamente), poi ovviamente è meglio se lo dimostri direttamente.
1. puoi dimostrarlo per il caso in cui $X_n$ converge quasi certamente. Ovvero se $X_n\to X$ v.a. finita q.c. allora dato $\epsilon$ esiste $M$ per cui $P(|X_n|
da cui la tua tesi, essendo le distribuzioni uguali (ovviamente la dimostrazione nel caso generale è abbastanza tosta, se ti interessa puoi trovare il caso reale sul "shiriaev", probability o sul primo (o secondo) capito del "Resnick". Point processes, regular variation and weak convergence).
Per dimostrare la cosa dell'essere tesa (a volte le traduzioni in italiano sono veramente brutte
) ti propongo un modo molto violento, ma almeno istruttivo (la prima volta che ho visto il teorema che ti vado a dire ci sono rimasto male, adesso lo uso quotidianamente), poi ovviamente è meglio se lo dimostri direttamente.1. puoi dimostrarlo per il caso in cui $X_n$ converge quasi certamente. Ovvero se $X_n\to X$ v.a. finita q.c. allora dato $\epsilon$ esiste $M$ per cui $P(|X_n|
da cui la tua tesi, essendo le distribuzioni uguali (ovviamente la dimostrazione nel caso generale è abbastanza tosta, se ti interessa puoi trovare il caso reale sul "shiriaev", probability o sul primo (o secondo) capito del "Resnick". Point processes, regular variation and weak convergence).
"fu^2":
2. Thm di skorokhod (già il nome è un programma) http://en.wikipedia.org/wiki/Skorokhod% ... on_theorem
da cui la tua tesi, essendo le distribuzioni uguali (ovviamente la dimostrazione nel caso generale è abbastanza tosta, se ti interessa puoi trovare il caso reale sul "shiriaev", probability o sul primo (o secondo) capito del "Resnick". Point processes, regular variation and weak convergence).
Ho letto la dimostrazione nel caso reale, fatta introducendo la pseudoinversa. Non oso immaginare quanto possa essere complicata per spazi più generali
Per ora ho usato questo teorema solo per provare che, definendo la convergenza in legge attraverso le funzioni test continue e limitate, in realtà la convergenza delle speranze vale anche per funzioni misurabili, limitate e continue al di fuori di un insieme trascurabile.
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