Successi/Insuccessi

[anto_zoolander]

Consideriamo di avere un evento $E$ la cui probabilità di riuscita è $q$.
Supponiamo di effettuare $k$ prove e desiderare $n$ successi. Qual è la probabilità che ciò avvenga?

Se considero $E_(n,k)=$"ottengo $n$ successi in $k$ prove" condizionando il tutto con l'evento $X=$"il primo è un successo" ottengo

$P(E_(n,k))=P(E_(n,k)|X)P(X)+P(E_(n,k)|X^c)P(X^c)$, $P(E_(n,k))=P_(n,k)$

si ottiene $P_(n,k)=qP_(n-1,k-1)+(1-q)P_(n,k-1)$

impongo le condizioni $P_(0,k)=(1-p)^k$ e $P_(n,0)=0$

Non riesco a trovare algebricamente la soluzione consigli?

La soluzione dovrebbe essere $P_(n,k)=((n),(k))q^n(1-q)^(n-k)$

[anto_zoolander]

Ciao Arnett
Mi sono appassionato alla probabilità

Diciamo che euristicamente ci siamo. Volevo ottenerlo direttamente, in maniera rozza, "con i conti".

Ho considerato l'evento $F_n=$"i primi $n$ sono successi ed i successivi $k-n$ fallimenti".

$P(E_(n,k))=P(E_(n,k)|F_n)P(F_n)+P(E_(n,k)|F_n^c)P(F_n^c)$

$P(F_n)=(1-q)^(k-n)q^n$
$P(E_(n,k)|F_n)=1$

$P(E_(n,k)|F_n^c)P(F_n^c)=P(F_n^c|E_(n,k))P(E_(n,k))=[1-P(F_n|E_(n,k))]P(E_(n,k))$

sostituendo $P(E_(n,k))=q^n(1-q)^(k-n)+[1-P(F_n|E_(n,k))]*P(E_(n,k))$ ossia

$P(E_(n,k))=(q^n(1-q)^(k-n))/(P(F_n|E_(n,k))$

a questo punto dovrebbe essere $P(F_n|E_(n,k))=(n!(k-n)!)/(k!)$

[Lo_zio_Tom]

"anto_zoolander":
Consideriamo di avere un evento $E$ la cui probabilità di riuscita è $q$
Supponiamo di effettuare $k$ prove e desiderare $n$ successi. Qual è la probabilità che ciò avvenga?

La soluzione dovrebbe essere $P_(n,k)=((n),(k))q^n(1-q)^(n-k)$

No; intanto è necessario ipotizzare che le $n$ prove siano stocasticamente indipendenti (campione casuale semplice)

Il risultato corretto è $((k),(n))q^n(1-q)^(k-n)$

Tanto per diminuire il grado di confusione e considerando che vi sono numerose altre leggi di probabilità collegate ad esperimenti simili (Binomiale negativa, Pascal, Geometriche varie), in Statistica, in un modello Bernulliano con prove ripetute ed indipendenti (modello Binomiale), è consuetudine

1) indicare con $p$ la probabilità di successo e $q=(1-p)$ quella dell'insuccesso. Oppure $theta$ quella del successo e $(1-theta)$ quella dell'insuccesso[nota]da matematico sorriderai a queste considerazioni ma credimi, dovendo gestire decine e decine di distribuzioni, funzioni test, quantità pivotali ecc ecc un minimo di ordine nella simbologia aiuta notevolmente[/nota].

2) usare le lettere $m$ oppure $n$ per indicare il numero di prove (dato) fra le quali si vuole calcolare la probabilità di avere un numero $0<=x<=n$ successi

3) indicare il numero di successi con $x,y,k,s,t$ ecc ecc....

Aspettando la dimostrazione formale di @arnett (che leggerò sicuramente con molto interesse), secondo me esite una dimostrazione valida e del tutto banale:


Calcoliamo la probabilità di avere esattamente i primi $x$ successi su $n>=x$ prove. Utilizzando il teorema di probabilità composta ottieni subito che tale probabilità è

$p^xq^(n-x)$

ora per rispondere alla domanda è sufficiente sapere quante combinazioni semplici (qundi dove l'ordine non conta) si possono avere con $n$ oggetti a gruppi di $k$..ovviamente $((n),(x))$

Immediatamente puoi trovare la legge che calcoli la probabilità

(i) che servano $n$ prove per avere $k$ fissati successi (Binomiale negativa)

(ii) che servano $f$ fallimenti prima di ottenere $k$ successi (Pascal)

fine.

[anto_zoolander]

Ciao @Tommik
sono “nuovo” nel mondo probabilistico e siccome mi è sempre piaciuto accetto qualsiasi consiglio, anche perché ho notato che gli esercizi non ci stanno niente a diventare complicati.

Mi sono accorto che nel primo post ho completamente sbagliato il risultato, mentre nel secondo post non ho trovato errori ma non ho calcolato $P(F_n|E_(n,k))$

@arnett
Aspetto eh

[anto_zoolander]

"arnett":approccio che forse è utile vedere una volta, ma che ti sconsiglio senza dubbio per la vita.

Però è molto bella da leggere, grazie!
Mi sembra poco per ringraziarti di un post così ben curato, però te ne sono davvero grato.