Stimatori: correttezza e efficienza.
Ciao,
Qualcuno saprebbe spiegarmi i passaggi da fare (calcoli) per questo esercizio sugli stimatori?
Testo:
Sia (X1,...,Xi) un campione casuale estratto da una variabile casuale con media mu e varianza sigma^2 pari a 2.
Dai i seguenti stimatori:
$ T1=1/n sum_(i = 1)^(n) (X i) $
$ T2=(X1) /2 + 1/(2(n-1)) sum_(i = 2)^(n) (X i) $ Dove X1, l'1 e' a pedice (non so come si mette a pedice nella formula!)
a) verificare se gli stimatori T1 e T2 sono corretti
b) verificare se lo stimatore T1 risulta più efficiente di T2 al variare di n (n=numero elementi del campione).
Non so proprio che cosa devo fare come procedimento, so solo la teoria e non trovo esempi.
Se:
E(T1)=mu
E(T2)=mu
allora gli stimatori sono corretti.
Se
Var(T)=sigma^2 / n
T e' efficiente.
Qualcuno saprebbe spiegarmi i passaggi da fare (calcoli) per questo esercizio sugli stimatori?
Testo:
Sia (X1,...,Xi) un campione casuale estratto da una variabile casuale con media mu e varianza sigma^2 pari a 2.
Dai i seguenti stimatori:
$ T1=1/n sum_(i = 1)^(n) (X i) $
$ T2=(X1) /2 + 1/(2(n-1)) sum_(i = 2)^(n) (X i) $ Dove X1, l'1 e' a pedice (non so come si mette a pedice nella formula!)
a) verificare se gli stimatori T1 e T2 sono corretti
b) verificare se lo stimatore T1 risulta più efficiente di T2 al variare di n (n=numero elementi del campione).
Non so proprio che cosa devo fare come procedimento, so solo la teoria e non trovo esempi.
Se:
E(T1)=mu
E(T2)=mu
allora gli stimatori sono corretti.
Se
Var(T)=sigma^2 / n
T e' efficiente.
Risposte
Cominiciamo dal primo:
1) la variabile $X_i$ ha media $\mu$, allora bisogna verificare se anche $T1$ ha la stessa media.
$E[T1]=E[1/n\sum_{i=1}^{n}(X_i)] = 1/nE[\sum_{i=1}^{n}(X_i)] = 1/n n\mu = \mu$
quindi è corretto.
per il resto devi continuare su questa strada..
1) la variabile $X_i$ ha media $\mu$, allora bisogna verificare se anche $T1$ ha la stessa media.
$E[T1]=E[1/n\sum_{i=1}^{n}(X_i)] = 1/nE[\sum_{i=1}^{n}(X_i)] = 1/n n\mu = \mu$
quindi è corretto.
per il resto devi continuare su questa strada..
Non riesco a capire perche':
$ E(sum_(1)^(n) (X i) ) = n mu $
me lo puoi spiegare perfavore? Quale e' il ragionamento?
Grazie.
$ E(sum_(1)^(n) (X i) ) = n mu $
me lo puoi spiegare perfavore? Quale e' il ragionamento?
Grazie.
"HelloKitty87":
Non riesco a capire perche':
$ E(sum_(1)^(n) (X i) ) = n mu $
puoi fare un ulteriore passaggio per capire meglio: $ E(sum_(1)^(n) (X i) ) = n mu = \sum_{i=1}^{n}E[X_i] = \sum_{i=1}^{n}\mu $ cioè sommi $n$ volte la costante $\mu$
il valore atteso della sommatoria è quindi uguale alla sommatoria dei valori attesi?
Scusami, probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua. Ma voglio essere sicura d'aver capito.
Grazie! Ho l'esame settimana prossima e questo argomento e' proprio quello che non riuscivo a fare.
Scusami, probabilmente mi sto perdendo in un bicchier d'acqua. Ma voglio essere sicura d'aver capito.
Grazie! Ho l'esame settimana prossima e questo argomento e' proprio quello che non riuscivo a fare.
"HelloKitty87":
il valore atteso della sommatoria è quindi uguale alla sommatoria dei valori attesi?
L' operatore "media" è lineare, nel senso che $E[aX] = aE[X]$.
In questo caso quella $a$ è la tua $n$, cioè il numero di variabili.
In generale se hai $E[aX + b]$ con $b$ costante, allora la media sarà $aE[X] + b$.
Anche se b non è costante.
$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$
$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$
Mi sono espresso male, intendo che $b$ non fosse una v.a, cioè qualcosa di deterministico
Si avevo capito volevo invece precisare che vale anche quando è aleatorio; lo hai usato nel calcolo prima.
OK.
E per la varianza invece? Come risolvo ad es. il T2 per la varianza?
E per la varianza invece? Come risolvo ad es. il T2 per la varianza?
"HelloKitty87":
OK.
E per la varianza invece? Come risolvo ad es. il T2 per la varianza?
intanto vediamo come calcoli la media di $T2$.
Poi per la varianza bisogna assolutamente ricordare la proprietà: $var(aX) = a^2var(X)$, cioè tutto quello che non è aleatorio va portato fuori "al quadrato".
Ed inoltre: $var(aX + b) = a^2var(X)$, cioè se $b$ non è aleatorio allora la sua varianza è nulla.
Avresti un riassunto link dove posso trovare tutte queste regole?
comunque la media per T2 ho fatto cosi':
$ E(T2)=E((X1)/2 + 1/(2(n-1)) sum_(i = 2)^(n) X i)= mu/2 + 1/(2(n-1)) mu (n-1) = mu $
va bene? ho fatto questo ragionamento:
al posto di X1 ho mu perche' e' la media del singolo valore.
la media della sommatoria, sommo mu n-1 volte perche' l'indice parte da 2. Se partiva da 3 per es. avrei dovuto sommare mu per n-2 giusto? e cosi' via?
grazie per l'aiuto.
comunque la media per T2 ho fatto cosi':
$ E(T2)=E((X1)/2 + 1/(2(n-1)) sum_(i = 2)^(n) X i)= mu/2 + 1/(2(n-1)) mu (n-1) = mu $
va bene? ho fatto questo ragionamento:
al posto di X1 ho mu perche' e' la media del singolo valore.
la media della sommatoria, sommo mu n-1 volte perche' l'indice parte da 2. Se partiva da 3 per es. avrei dovuto sommare mu per n-2 giusto? e cosi' via?
grazie per l'aiuto.
si è giusto.. non ti saprei dire un link, ma le regole di base sono finite
Meglio. Perche' iniziavo a preoccuparmi! 
Varianze:
T1:
$ Var(1/n sum_(i = 1)^(n) X i) = 1/n^2 n*SIGMA^2 = 1/n^2 * 2n = 2/n $
T2:
$ Var((X1)/2 + 1/(2(n-1))sum_(i = 2)^(n) X i) =Var((X1)/2) + Var (1/(2(n-1))sum_(i = 2)^(n) X i)) =1/4 SIGMA^2 + 1/(4(n-1)^2) * (n-1)*SIGMA^2 = 2/4 + 2(n-1)/(4(n-1)^2) = 1/2 + 1/(2(n-1))=(n-1+1)/(2(n-1))=n/(2(n-1)) $
In base a cosa decido se T1 è piu' o meno efficiente di T2?
In base a quanto piu' la loro varianza si avvicina a 2 nel mio caso? Dovrei prendere dei valori a caso di n e provare?
es. : se n=2--> Var(T1)=1 , Var(T2)=1 sono uguali, quindi??
se n=3=--> Var(T1)=0,667 , Var(T2)=0,75
se n=100 --> Var(T1)=0,02 , Var(T2)=0,50
Posso solo vedere che al crescere di n, T2 rimane piu' vicino a 2 rispetto che T1. Basta questo per dire che T2 e' piu' efficiente? Dovrei precisare che lo e' per n>2?
Grazie per l'attenzione.
Ciao Kitty!
Varianze:
T1:
$ Var(1/n sum_(i = 1)^(n) X i) = 1/n^2 n*SIGMA^2 = 1/n^2 * 2n = 2/n $
T2:
$ Var((X1)/2 + 1/(2(n-1))sum_(i = 2)^(n) X i) =Var((X1)/2) + Var (1/(2(n-1))sum_(i = 2)^(n) X i)) =1/4 SIGMA^2 + 1/(4(n-1)^2) * (n-1)*SIGMA^2 = 2/4 + 2(n-1)/(4(n-1)^2) = 1/2 + 1/(2(n-1))=(n-1+1)/(2(n-1))=n/(2(n-1)) $
In base a cosa decido se T1 è piu' o meno efficiente di T2?
In base a quanto piu' la loro varianza si avvicina a 2 nel mio caso? Dovrei prendere dei valori a caso di n e provare?
es. : se n=2--> Var(T1)=1 , Var(T2)=1 sono uguali, quindi??
se n=3=--> Var(T1)=0,667 , Var(T2)=0,75
se n=100 --> Var(T1)=0,02 , Var(T2)=0,50
Posso solo vedere che al crescere di n, T2 rimane piu' vicino a 2 rispetto che T1. Basta questo per dire che T2 e' piu' efficiente? Dovrei precisare che lo e' per n>2?
Grazie per l'attenzione.
Ciao Kitty!
intanto per scrivere $\sigma^2$ basta usare il comando \sigma^2 tra 2 simboli di dollaro:)
comunque non so questa cosa dell' efficienza, in teoria dev' essere lo stimatore che si avvivinea di più a $\sigma^2$ per $n->+\infty$ come hai detto tu..
quindi è giusto T2.
comunque non so questa cosa dell' efficienza, in teoria dev' essere lo stimatore che si avvivinea di più a $\sigma^2$ per $n->+\infty$ come hai detto tu..
quindi è giusto T2.
ah ecco perche' infatti solo sigma mi scriveva il simbolo "tilde + ma" hehe grazie grazie!
Bene dai. Grazie per l'aiuto cosi' ho capito l'ultimo esercizio!
Speriamo comunque che non ci sia che e' meglio, o al piu', che chieda solo questa cosa!
Buono studio. Ciao ciao Kitty
Bene dai. Grazie per l'aiuto cosi' ho capito l'ultimo esercizio!
Speriamo comunque che non ci sia che e' meglio, o al piu', che chieda solo questa cosa!
Buono studio. Ciao ciao Kitty
Attenzione è sbagliato. Non so i conti, ma il ragionamento non è giusto.
Gli stimatori sono corretti quindi lo stimator + efficiente (tra i due) è quelo con varianza minore (appunto meno variabile attorno a quello che vogliamo stimare, come dire più preciso. Si dice + efficiente).
Gli stimatori sono corretti quindi lo stimator + efficiente (tra i due) è quelo con varianza minore (appunto meno variabile attorno a quello che vogliamo stimare, come dire più preciso. Si dice + efficiente).
ah ok.. grazie mille!
@DajeForte: sai dove posso reperire materiale in merito? ho guardato wikipedia ma mi perdo tra le varie dimostrazioni.
Grazie a entrambi!
@DajeForte: sai dove posso reperire materiale in merito? ho guardato wikipedia ma mi perdo tra le varie dimostrazioni.
Grazie a entrambi!
Grazie ragazzi! all'esame c'era un esercizio proprio sugli stimatori ed e' andato benissimo!
Bye bye Kitty
Bye bye Kitty
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