Stimatore, standard error, intervalli di confidenza per variabile normale.

[iggy1]

Salve a tutti, so che ci sono centinaia di esercizi come questo, ma questo specifico non l'ho trovato. Se sto postando troppi esercizi, fermatemi .

Con riferimento ad una certa regione si sono effettuate, nel mese di luglio, misurazioni della
temperatura media mensile in 19 diverse località. Le osservazioni ottenute,
22,3; 24,1; 22,9; 24; 23,8; 23,2; 24,6; 24,2; 22,7; 22; 24,9; 22,6; 23,3; 20,9; 24; 20,3; 20,9; 2,:6; 19,9;
vengono interpretate come un campione casuale semplice da una popolazione normale con media
$mu$ e varianza $sigma^2$, entrambe incognite. Si introduca un opportuno stimatore per $mu$, si evidenzino le
sue proprietà e si determini l'associato standard error. Con riferimento ai risultati dell'indagine
campionaria, si fornisca una stima per $mu$ e si calcoli l'associato standard error stimato. Infine,
si ottenga un intervallo di confidenza per $mu$ di livello 1- $alpha$ = 0.95.

Qui se volete fare la somma per scrupolo, fatela, se no prendete per buono la mia visto che è un conto lungo.
Stimatore:
Posso prendere la media campionaria che mi risulta $hat mu = 432.2/19 = 22.75$
Varianza campionaria corretta e standard error:
Al fine di calcolare lo standard error mi serve tale stimatore quindi faccio la sommatoria che ho fatto per la media ma elevo alla seconda i dati e utilizzo la formula della varianza campionaria.

$S^2 = 1/n\sum_{i=1}^n X_i^2 - barX_n^2 = 9871.22/19 - 22.75^2 = 1.975$
$S^2c = 19/18 * S^2 = 2.084$

quindi $se(hat mu) = sqrt(2.084) = 1.443$

Intervalli di confidenza:
Visto che la variabile è normale e la varianza è ignota, devo utilizzare la formula con T di student: corretto?
se $alpha/2 = 0.025$ allora $T_0.025 = 2.093$ con 19 gradi di libertà.
$hat mu +- T_0.025 * sqrt((S^2c)/n) = 22.75 +- 2.093 * sqrt((2.084/19)) = [22.05;23.44]$

Può andare? Come sempre, grazie mille.

[Lo_zio_Tom]

Ci sono diversi errori

1) si richiede di elencare le proprietà della media campionaria (non le hai scritte)

2) si chiede di scrivere l'errore standard della media (idem)

3) si chiede di calcolare l'errore standard stimato con i dati dell'esercizio. Tu hai calcolato la deviazione standard campionaria corretta, ovvero la stima della deviazione standard della popolazione, mentre la richiesta dell'esercizio è un'altra.

4) In caso di modello gaussiano[nota]in genere con $S^2$ si indica già la varianza campionaria corretta, questo almeno sulla maggior parte dei testi di riferimento[/nota] $(bar(X)-mu)/s sqrt(n)~ mathcal(T)_((n-1))=mathcal(T)_((18))$

i conti non li ho controllati

[iggy1]

"tommik":
2) si chiede di scrivere l'errore standard della media (idem)

L'errore standard della media, nel caso in cui lo stimatore sia corretto, è la radice della varianza. Che in questo caso non ho, quindi utilizzo la varianza campionaria corretta. Sbaglio proprio concettualmente?

"tommik":
3) si chiede di calcolare l'errore standard stimato con i dati dell'esercizio. Tu hai calcolato la deviazione standard campionaria corretta, ovvero la stima della deviazione standard della popolazione, mentre la richiesta dell'esercizio è un'altra.

Ok quindi io dovevo calcolare $hat (se)(hat mu)$ che però non capisco la differenza con quello che ho calcolato io.

"tommik":
4) In caso di modello gaussiano $(bar(X)-mu)/s sqrt(n)~ mathcal(T)_((n-1))=mathcal(T)_((18))$

Si giusto, quindi la formula da utilizzare è quella corretta mentre i gradi di libertà sono sbagliati.

[Lo_zio_Tom]

L'errore standard, in caso di stimatore corretto, è la deviazione standard, è vero. Quindi l'errore standard della media stimata è la sua deviazione standard: la deviazione standard della media campionaria, [size=150]non della popolazione[/size]

$SE_(bar(X))=sigma/sqrt(n)$

...e questa è la risposta alla prima domanda del testo

Se la varianza è ignota l'errore standard si stima, come al solito, ottenendo

$SE_(bar(X))~~S/sqrt(n)$

sostituisci i valori della traccia e rispondi anche all'altro quesito. Anche senza rispondere specificatamente al quesito, l'errore standard lo calcoli senza rendertene conto perché è la quantità che compare anche nell'intervallo di confidenza.

L'intervallo di confidenza della media è pari alla media campionaria $+-$ il suo errore stanndard per un coefficiente (il quantile della distribuzione) che ne determina la copertura..95%, 99% ecc ecc
Ad esempio, con una confidenza del 95% calcoliamo la media campionaria $+-2$ volte l'errore standard (circa 2 volte, ovviamente.....)

Puoi anche guardare qui

EDIT: mi ricordavo bene....ti avevo già spiegato la stessa cosa anche qui

[iggy1]

Ok ho capito. Speriamo per più di 5 minuti questa volta. Grazie.