Stimatore di massima verosimiglianza
Sia X una popolazione con distribuzione di densit`a
f(x,a) $ e^{-(x-a)} $ per x>a
0 altrove
Si determini uno stimatore di massima verosimiglianza di m = E[X].
finchè si tratta di stime di massima verosimiglianza dei parametri nella funzione vado tranquillo derivando i lorgaritmi ecc, ma in questi casi come mi devo muovere?
Grazie
f(x,a) $ e^{-(x-a)} $ per x>a
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Si determini uno stimatore di massima verosimiglianza di m = E[X].
finchè si tratta di stime di massima verosimiglianza dei parametri nella funzione vado tranquillo derivando i lorgaritmi ecc, ma in questi casi come mi devo muovere?
Grazie
Risposte
problema analogo a questo:
Sia X una popolazione con distribuzione bernoulliana di parametro p.
Posto ro^2 = V [X], si determini
- Uno stimatore di massima verosimiglianza di p.
- Uno stimatore di massima verosimiglianza di ro^2.
Anche qui, trovo il parametro è nella funzione bernoulliana e farne la massiam verosimiglianza è piuttosto facile. ma con ro^2 come mi devo muovere?
grazie
Sia X una popolazione con distribuzione bernoulliana di parametro p.
Posto ro^2 = V [X], si determini
- Uno stimatore di massima verosimiglianza di p.
- Uno stimatore di massima verosimiglianza di ro^2.
Anche qui, trovo il parametro è nella funzione bernoulliana e farne la massiam verosimiglianza è piuttosto facile. ma con ro^2 come mi devo muovere?
grazie
qualche anima buona mi può aiutare?
lo stimatore di massima verosimiglianza lo trovo, detto in modo grezzo, con la produttoria della funzione, andando poi a farne il logaritmo naturale che derivo rispetto al parametro per trovare il massimo.
Ma quando devo trovare lo stimatore non del parametro?
Nel secondo caso ho pensato di utilizzare il fatto che nella bernoulliana la varianza = P(1-p) ed andando a sostituire ro nella funzione ed andare avanti così.
Apparte che non sono affatto sicuro, nel primo caso dove il parametro è il valor medio? Devo calcolarlo, con l'integrale di x per f(x), e poi fare la produttoria di questa funzione e derivare rispetto p?
help
lo stimatore di massima verosimiglianza lo trovo, detto in modo grezzo, con la produttoria della funzione, andando poi a farne il logaritmo naturale che derivo rispetto al parametro per trovare il massimo.
Ma quando devo trovare lo stimatore non del parametro?
Nel secondo caso ho pensato di utilizzare il fatto che nella bernoulliana la varianza = P(1-p) ed andando a sostituire ro nella funzione ed andare avanti così.
Apparte che non sono affatto sicuro, nel primo caso dove il parametro è il valor medio? Devo calcolarlo, con l'integrale di x per f(x), e poi fare la produttoria di questa funzione e derivare rispetto p?
help
In genere se puoi esprimere la grandezza di cui cerchi lo stimatore in funzione dei parametri della distribuzione, calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro e lo sostituisci nella grandezza. Questa è una conseguenza del fatto che, nota la dipendenza funzionale, puoi scrivere la densità usando come parametri le grandezza ricercate. A rigore, la dipendenza funzionale dovrebbe essere invertibile: per esempio, nella binomiale, dove la relazione tra varianza e parametro [tex]p[/tex] non lo è, si ottengono due valori, [tex]p^*[/tex] e [tex]1-p^*[/tex], che soddisfano le condizioni di massima verosimiglianza, ma ovviamente solo uno dei due soddisfa la condizione anche per la media. In ogni caso, per il secondo problema c'è qualche motivo per non considerare [tex]np^*(1-p^*)[/tex] lo stimatore della varianza?
Nel primo esercizio, scrivendo la densità [tex]f(x,a)=e^{-|x-a|}[/tex], il valore di aspettazione è [tex]\mu=Mx=\displaystyle \int^{\infty}_{a} x e^{-|x-a|} dx=a+1[/tex]. La funzione di verosimiglianza è [tex]L=\prod_i e^{-|x_i-a|}=e^{-\sum_i |x_i - a|}[/tex]. L'utilità del modulo è ora evidente: senza si sarebbe ottenuta un'espressione divergente all'aumentare dello scarto, situazione un po' irrealistica. Quindi si tratta di determinare il massimo di [tex]\ln L = -\sum_i |x_i - a|[/tex], ovvero il minimo della somma degli scarti assoluti da [tex]a[/tex]. È noto che il valore da cui lo scarto assoluto è minimo è la mediana, quindi [tex]a^*=m_{1/2}[/tex], ovvero [tex]\mu^*=m_{1/2}+1[/tex]. Tuttavia si tratta di uno stimatore distorto ([tex]Ma^*\ne a[/tex], con la massima verosimiglianza può capitare), e ad occhio e croce non mi sembra nemmeno consistente.
Nel primo esercizio, scrivendo la densità [tex]f(x,a)=e^{-|x-a|}[/tex], il valore di aspettazione è [tex]\mu=Mx=\displaystyle \int^{\infty}_{a} x e^{-|x-a|} dx=a+1[/tex]. La funzione di verosimiglianza è [tex]L=\prod_i e^{-|x_i-a|}=e^{-\sum_i |x_i - a|}[/tex]. L'utilità del modulo è ora evidente: senza si sarebbe ottenuta un'espressione divergente all'aumentare dello scarto, situazione un po' irrealistica. Quindi si tratta di determinare il massimo di [tex]\ln L = -\sum_i |x_i - a|[/tex], ovvero il minimo della somma degli scarti assoluti da [tex]a[/tex]. È noto che il valore da cui lo scarto assoluto è minimo è la mediana, quindi [tex]a^*=m_{1/2}[/tex], ovvero [tex]\mu^*=m_{1/2}+1[/tex]. Tuttavia si tratta di uno stimatore distorto ([tex]Ma^*\ne a[/tex], con la massima verosimiglianza può capitare), e ad occhio e croce non mi sembra nemmeno consistente.
"Cmax":
In genere se puoi esprimere la grandezza di cui cerchi lo stimatore in funzione dei parametri della distribuzione, calcoli lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro e lo sostituisci nella grandezza. Questa è una conseguenza del fatto che, nota la dipendenza funzionale, puoi scrivere la densità usando come parametri le grandezza ricercate. A rigore, la dipendenza funzionale dovrebbe essere invertibile: per esempio, nella binomiale, dove la relazione tra varianza e parametro [tex]p[/tex] non lo è, si ottengono due valori, [tex]p^*[/tex] e [tex]1-p^*[/tex], che soddisfano le condizioni di massima verosimiglianza, ma ovviamente solo uno dei due soddisfa la condizione anche per la media. In ogni caso, per il secondo problema c'è qualche motivo per non considerare [tex]np^*(1-p^*)[/tex] lo stimatore della varianza?
Nel primo esercizio, scrivendo la densità [tex]f(x,a)=e^{-|x-a|}[/tex], il valore di aspettazione è [tex]\mu=Mx=\displaystyle \int^{\infty}_{a} x e^{-|x-a|} dx=a+1[/tex]. La funzione di verosimiglianza è [tex]L=\prod_i e^{-|x_i-a|}=e^{-\sum_i |x_i - a|}[/tex]. L'utilità del modulo è ora evidente: senza si sarebbe ottenuta un'espressione divergente all'aumentare dello scarto, situazione un po' irrealistica. Quindi si tratta di determinare il massimo di [tex]\ln L = -\sum_i |x_i - a|[/tex], ovvero il minimo della somma degli scarti assoluti da [tex]a[/tex]. È noto che il valore da cui lo scarto assoluto è minimo è la mediana, quindi [tex]a^*=m_{1/2}[/tex], ovvero [tex]\mu^*=m_{1/2}+1[/tex]. Tuttavia si tratta di uno stimatore distorto ([tex]Ma^*\ne a[/tex], con la massima verosimiglianza può capitare), e ad occhio e croce non mi sembra nemmeno consistente.
Ok, allora ogni volta devo ricondurmi ad esprimere la grandezza tramite i parametri della distribuzione.
Piccola domanda sul primo esercizio che hai svolto: dopo aver trovato la verosimiglianza della media come a+1, sei andato a calcolare la stima di massima verosimiglianza di a, inserendo nella funzione il valore assoluto.
Ma non avrei potuto lasciare così com'era e svolgere in questo modo?
[tex]\ln L = -\sum_i (x_i - a)[/tex]
$ sum
da cui na= $ sum
e dunque a= media campionaria?
grazie comunque!
[tex]Mx=a+1[/tex] non è la verosimiglianza, ma il valore di aspettazione, o media, e mi serve per stabilire la relazione con il parametro. Lo stimatore che poi trovo è non corretto (o distorto), perchè il suo valore di aspettazione non riproduce questa relazione. Il valore di aspettazione della mediana è dato dalla relazione[tex]\int_{m_{1/2}}^\infty e^{-(x-a)} dx = \frac{1}{2}[/tex].
Se considero la somma senza moduli, il valore di [tex]\ln L[/tex] diverge al crescere di [tex]a[/tex], non ho quindi un massimo. In effetti l'introduzione del modulo appare un po' arbitraria, in ogni caso la funzione densità non cambia, ed il risultato che ottengo è un po' strano ([tex]x[/tex] non potrebbe assumere valori inferiori ad [tex]a[/tex], ed invece lo si stima con la mediana) ma mi è sembrato l'unico modo per mantenere un senso fisico. Il problema con la media campionaria in questo caso è che esalta l'effetto dei valori più alti, ma che sono anche i meno probabili. Tuttavia, l'ho già detto in un altro post, considera con un certo beneficio quello che dico: statistica ha rappresentato solo un argomento accessorio nel mio corso di studio, anche se è argomento di un certo interesse.
Se considero la somma senza moduli, il valore di [tex]\ln L[/tex] diverge al crescere di [tex]a[/tex], non ho quindi un massimo. In effetti l'introduzione del modulo appare un po' arbitraria, in ogni caso la funzione densità non cambia, ed il risultato che ottengo è un po' strano ([tex]x[/tex] non potrebbe assumere valori inferiori ad [tex]a[/tex], ed invece lo si stima con la mediana) ma mi è sembrato l'unico modo per mantenere un senso fisico. Il problema con la media campionaria in questo caso è che esalta l'effetto dei valori più alti, ma che sono anche i meno probabili. Tuttavia, l'ho già detto in un altro post, considera con un certo beneficio quello che dico: statistica ha rappresentato solo un argomento accessorio nel mio corso di studio, anche se è argomento di un certo interesse.
sì scusa mi sono espresso male riguardo Mx= a+1
Ma senza il modulo
$ prod_( = )^() e^{<-x+a>} $
e^{<-sum +na >} $
da cui ricavando il logaritmo
-sum +na e derivando ponendo la derivata rispetto ad a=0, ricavo un n=0 ?!
Ma senza il modulo
$ prod_( = )^(
e^{<-sum
da cui ricavando il logaritmo
-sum
Per questo ho usato il modulo.
spero che all'esame ci sia qualcosa di meno fantasioso, grazie mille per ora
Qualcosa non mi convince.
Considera la funzione di verosimiglianza:
$f(x,a)=prod_(i=1)^n f(x_i,a)\ =\ prod_(i=1)^n e^(-(x_i-a))\ I_({x_i>a})(x_i)$. ($I$ è l'indicatore dell'evento tra graffe)
Ora distribuisci la produttoria e determina una funzione di $a$ per quella produttoria di indicatori.
Arriverai ad avere una funzione $L(a)$ di verosimiglianza.
Studiatela e trovane ilpunto di massimo.
Considera la funzione di verosimiglianza:
$f(x,a)=prod_(i=1)^n f(x_i,a)\ =\ prod_(i=1)^n e^(-(x_i-a))\ I_({x_i>a})(x_i)$. ($I$ è l'indicatore dell'evento tra graffe)
Ora distribuisci la produttoria e determina una funzione di $a$ per quella produttoria di indicatori.
Arriverai ad avere una funzione $L(a)$ di verosimiglianza.
Studiatela e trovane ilpunto di massimo.
"DajeForte":
Qualcosa non mi convince.
Considera la funzione di verosimiglianza:
$f(x,a)=prod_(i=1)^n f(x_i,a)\ =\ prod_(i=1)^n e^(-(x_i-a))\ I_({x_i>a})(x_i)$. ($I$ è l'indicatore dell'evento tra graffe)
Ora distribuisci la produttoria e determina una funzione di $a$ per quella produttoria di indicatori.
Arriverai ad avere una funzione $L(a)$ di verosimiglianza.
Studiatela e trovane ilpunto di massimo.
non ho la più pallida idea di cosa sia " (I è l'indicatore dell'evento tra graffe) "
Distribuendo la produttoria ecc ricavo quello che ho scritto prima, il che ha poco senso. Effettivamente non sfrutto x>a ma non saprei come fare
ps: nell'altro problema, dove chiede di trovare lo stimatore della varianza in beroulli, dopo aver trovato lo stimatore di p come la media campionaria, posso semplicemente scrivere che lo stimatore della varianza è $ bar (
Credo che l'indicatore [tex]I[/tex] sia la step function [tex]u_a(x) = \bigg \{\begin{array}{rl} 1 & x \geq a \\ 0 & x < a \\ \end{array}[/tex]. Se è così, una simile FMV è crescente per [tex]a<\min(X)[/tex] e nulla se [tex]a>\min(X)[/tex] (c'è almeno un fattore nullo), che è poi il tipo di stima empirica che viene subito in mente, senza bisogno di ricorrere al PMV. Tuttavia, ma forse sono deviato dalla provenienza degli studi di fisica, occorre tenere in conto anche l'eventuale errore. L'intervallo [tex][0,a][/tex] è proibito, ma se il campione fosse costituito dai risultati di una serie di misure, allora niente assicura (rumore di fondo, errore di misura, lo studente che ha fatto cadere il caffè sullo strumento e non lo dice, etc.) di trovare nelle misure proprio nell'intervallo proibito, e riprodurre interamente l'errore di una singola misura sulla stima. Così, se dovessi ad istinto definire uno stimatore, riconoscendo il fatto che lo stimatore che ricavo dal PMV è la mediana del campione, e conosco la relazione tra i valori di aspettazione della mediana e del parametro [tex]a[/tex], correggerei lo stimatore di conseguenza. Ma non sarebbe uno stimatore di MV.
Su questo esercizio, il mio consiglio è di parlarne con il docente, in modo da essere sicuro di non complicarsi la vita con considerazioni non richieste ai fini dell'esame (per esempio, può dire che si deve assumere che non possono in alcun modo esistere valori in un intervallo dove la densità è nulla, nel qual caso la FMV è quella scritta da DajeForte).
Su questo esercizio, il mio consiglio è di parlarne con il docente, in modo da essere sicuro di non complicarsi la vita con considerazioni non richieste ai fini dell'esame (per esempio, può dire che si deve assumere che non possono in alcun modo esistere valori in un intervallo dove la densità è nulla, nel qual caso la FMV è quella scritta da DajeForte).
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