Stimatore bayesiano

[ronti1]

Ciao a tutti,

Non riesco a comprendere delle uguaglianze che ora vi mostro.

Dati una serie di dati $x_1, x_2, ... , x_n$, devo stimare il parametro $theta$.

$theta in [0,1]$

$theta$ ha distribuzione uniforme.

Se i valori osservati sono $x_i$ ( $i in {1,2,...,n}$ ), la densità di probabilità condizionale di $theta$ è data da:

$f(theta| x_1, x_2, ..., x_n)= (f(x_1, x_2, ..., x_n, theta))/(f(x_1, x_2, ..., x_n)$

[nota]prima uguaglianza che non comprendo[/nota]

e si può notare che

$(f(x_1, x_2, ..., x_n, theta))/(f(x_1, x_2, ..., x_n)) = (f(x_1, x_2, ..., x_n| theta) p(theta))/ (int (f(x_1, x_2, ..., x_n| theta') p(theta')) d theta'$

[nota]seconda uguaglianza che non comprendo[/nota]

Se qualcuno sapesse spiegarmi quelle uguaglianze poste al centro nel post gliene sarei grato

[Lo_zio_Tom]

la prima uguaglianza è la definizione di probabilità condizionata. La seconda, che poi è sempre la stessa definizione, è esattamente il teorema di Bayes.



Se sei completamente a digiuno ti consiglio di leggere questa semplice dispensa e successivamente questo tutorial in pillole che ho scritto.
Anche se l'ho scritto specificatamente per la prova di ipotesi e non per la stima può essere un'utile lettura. Vi sono molti esercizi risolti che possono essere tranquillamente ripensati per trattare il problema della stima in un'ottica bayesiana.

[ronti1]

grazie mille Tommik.

Solo un dubbio direi quasi aritmetico:
se il teorema di bayes ci dice che $P(A|B)= (P(B|A))*(P(A))/(P(B)) $ , come mai spunta quell'integrale al denominatore?

[Lo_zio_Tom]

Come già detto è il teorema di Bayes. Tale teorma si trova a pagina 2 di qualunque (ma proprio qualunque) libro di statistica.

come si passi dalla sommatoria del link all'integrale è chiaramente spiegato nella dispensina che ti ho consigliato di leggere ma che probabilmente non hai fatto, dato che hai risposto al mio messaggio in poco più di mezz'ora

[ronti1]

Mea culpa, sono fuori casa ed ero particolarmente incuriosito da quel particolare.
Stasera me la leggo tutta d'un fiato.

Grazie ancora, davvero!

[Lo_zio_Tom]

bene. leggi bene poi se hai dubbi non esitare a chiedere...posta magari qualche semplice esercizio che lo facciamo insieme...altrimenti qualche esercizio te lo sottopongo io...

ad ogni modo quel denominatore è una "disintegrazione" ma non serve a nulla in Statistica Bayesiana, tant'è che, essendo integrato, cioè è solo un numero, non lo si considera proprio perché fa parte della costante di normalizzazione.

[ronti1]

"tommik":bene. leggi bene poi se hai dubbi non esitare a chiedere...posta magari qualche semplice esercizio che lo facciamo insieme..

Se avrò dubbi non esiterò