Stima puntuale

[ErSalamandra]

Salve a tutti e buon sabato. Ho un problema con il seguente esercizio:

Dato il seguente stimatore della proporzione p di individui che
possiedono un certo attributo in una determinata popolazione
T= 2/8 x1 + 3/4 x2
verificare che lo stimatore `e corretto e calcolare la sua varianza per p = 0.5. (dove p, sarebbe p greco non so come fare il simbolo).

Vabbene allora verificare che lo stimatore corretto è facile, basta che mi trovo E(T). Ed è corretto.
Ho un dubbio quando devo calcolarmi la varianza, io ho fatto in questo modo:

Var = 1/16 p + 9/16 p dove poi andrei a sostituire a p 0.5. Bene invece vedendo le soluzioni, il risultato non viene, ma noto che sottrae ad ognuno dei miei risultati (1-p)

PERCHè

[Lo_zio_Tom]

Perché la varianza di $ x $ è

$ V (X)=p (1-p) $

Quindi otterrai

$1/16p (1-p)+9/16p (1-p) $

Ciò in virtù delle proprietà del campionamento bernoullano...i gli elementi del campione sono indipendenti ed hanno la stessa distribuzione uguale alla distribuzione della popolazione

[ErSalamandra]

Quindi solo se il campione preso in considerazione è bernoulliano applico (1-p) in caso contrario no?

[Lo_zio_Tom]

vediamo di spiegarlo meglio...(a tal proposto ho cambiato i coefficienti dello stimatore)

"ManuelaBarton":
Dato il seguente stimatore della proporzione p di individui che
possiedono un certo attributo in una determinata popolazione
T= 1/2 x1 + 1/2 x2

dal testo (in grassetto) si capisce che la popolazione è distribuita secondo una bernoulliana, ovvero così:

$X={{: ( 1 , 0 ),( p , (1-p) ) :}$

quindi $E(X)=mu=p$ e $V(X)=sigma^2=p(1-p)$

supponiamo di avere un campionamento casuale e di estrarre il campione di due elementi: ${x_(1),x_(2)}$

e proponiamo il seguente stimatore:

$T=1/2x_(1)+1/2x_(2)$

calcoliamo la media di $T$

$E(T)=1/2E(X_(1))+1/2E(X_(2))=1/2mu+1/2mu=mu$

calcoliamo ora la varianza di $T$

$V(T)=1/4V(X_(1))+1/4V(X_(2))=1/4p(1-p)+1/4p(1-p)=sigma^2/2$

ora, se ci fai caso, lo stimatore proposto (non molto diverso da quello del tuo testo) è


$T=(x_(1)+x_(2))/2=bar(x)$ -> media campionaria.....


ABBIAMO VERIFICATO DUE COSE IMPORTANTISSIME:

1) la media della media campionaria è uguale alla media della popolazione, ovvero $mu$

2) la varianza della media campionaria è uguale alla varianza della popolazione diviso $n$, ovvero $sigma^2/2$


...spero di averti chiarito meglio la questione

[ErSalamandra]

Il resto è tutto molto chiaro, tu inizialmente dici che dal testo si capisce che è una bernoulliana ma lo dici perchè i coefficienti dei due stimatori sono compresi tra 0 ed 1, o perchè il testo ci fa capire che all'interno della popolazione prendiamo p individui in maniera casuale?

[Lo_zio_Tom]

"ManuelaBarton":

la proporzione p di individui che
possiedono un certo attributo in una determinata popolazione

si capisce da qui...ti dice che" la proporzione di individui che posseggono un certo attributo ...."

significa che la popolazione è divisa in due....una parte che possiede un certo attributo ed una parte che non lo possiede....più bernoulliana di così

[ErSalamandra]

Grazie..