Stima Max Verosimiglianza
Salve spero di postare bene e senza errori di formalità questo esercizio
Sia (X con 1, X con 2, X.... con n) un campione casuale estratto da una popolazione caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità:
$f(x)= betax^(beta-1)$ per $0<=x<=1$ e per $beta>1$
$f(x)= 0$ altrove
Usando il metodo di stima della massima verosimiglianza determinare :
a) lo stimatore del parametro $beta$
b) lo stimatore della mediana della variabile $X$
(suggerimento per il punto b utilizzare la proprietà della invarianza)
___________________________
Bene per quanto riguarda il metodo della massima verosimiglianza so che consiste nel fare prima la produttoria della funzione data, per x che va da 1 a n in base al campione estratto e poi farne la derivata prima e porla uguale a zero, ma in questo casispecifico come si relaizza ciò?
Per il punto due non capisco cosa voglia!
grazie in anticipo ciao a tutti
Sia (X con 1, X con 2, X.... con n) un campione casuale estratto da una popolazione caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità:
$f(x)= betax^(beta-1)$ per $0<=x<=1$ e per $beta>1$
$f(x)= 0$ altrove
Usando il metodo di stima della massima verosimiglianza determinare :
a) lo stimatore del parametro $beta$
b) lo stimatore della mediana della variabile $X$
(suggerimento per il punto b utilizzare la proprietà della invarianza)
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Bene per quanto riguarda il metodo della massima verosimiglianza so che consiste nel fare prima la produttoria della funzione data, per x che va da 1 a n in base al campione estratto e poi farne la derivata prima e porla uguale a zero, ma in questo casispecifico come si relaizza ciò?
Per il punto due non capisco cosa voglia!
grazie in anticipo ciao a tutti
Risposte
Da ciò hai scirtto sembra che tu non abbia proprio le idee chiare.
Volendo applicare il principio di verosimiglianza bisogna capire quale sia la funzione di verosimiglianza: a grandi linee, assegnato il campione $(x_1,...,x_n)$ si fa la produttoria, come dici tu, ma poi rispetto a cosa fai la derivata?
Dato che il principio si basa sulla massimizzazione della funzione di verosimiglianza, non basta uguagliare a zero la derivata e risolvere la seguente equazione, ma bisogna considerare i punti o il punto di "massimo".
Per il secondo punto, calcola prima la mediana della variabile aleatoria, che immagino sarà una funzione di $\beta$ e poi a questo punto esiste un bel teorema per gli stimatori di massima verosimiglianza che farebbe a caso tuo.
Volendo applicare il principio di verosimiglianza bisogna capire quale sia la funzione di verosimiglianza: a grandi linee, assegnato il campione $(x_1,...,x_n)$ si fa la produttoria, come dici tu, ma poi rispetto a cosa fai la derivata?
Dato che il principio si basa sulla massimizzazione della funzione di verosimiglianza, non basta uguagliare a zero la derivata e risolvere la seguente equazione, ma bisogna considerare i punti o il punto di "massimo".
Per il secondo punto, calcola prima la mediana della variabile aleatoria, che immagino sarà una funzione di $\beta$ e poi a questo punto esiste un bel teorema per gli stimatori di massima verosimiglianza che farebbe a caso tuo.
Sia $L(\beta;x_1,...,x_n)=\beta^n (\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\beta-1}$, consideriamo la funzione
$\ln L(\beta;x_1,...,x_n)=n\ln\beta+ (\beta-1)\ln(\sum_{i=1}^{n}x_i)$ derivando rispetto a $\beta$ otteniamo che:
$\frac{d}{d\beta}\ln L(\beta;x_1,...,x_n)=n\frac{1}{\beta}+\ln(\sum_{i=1}^{n}x_i)$
Uguagliando a zero la derivata otteniamo il punto critico $\bar{\beta}=-\frac{n}{\ln(\sum_{i=1}^{n}x_i)}$.
Ora bisogna dimostrare che tale punto sia un massimo per la funzione, e soprattutto che $\bar{\beta}>1$ come rischiesto.
Comunque sia bisogna discutere i casi in cui $\sum_{i=1}^{n}x_i=1$ e $\sum_{i=1}^{n}x_i>1$ e discutere lo stimatore opportuno per questi casi.
La mediana, come è evidente dal nome, è quel punto in cui $\int_{0}^{m}\betax^{\beta-1}dx=\frac{1}{2}$ e in questo caso risulta $m^\beta=1/2$, ora ricavi $m$ in funzione di $\beta$ e applichi il principio di invarianza.
$\ln L(\beta;x_1,...,x_n)=n\ln\beta+ (\beta-1)\ln(\sum_{i=1}^{n}x_i)$ derivando rispetto a $\beta$ otteniamo che:
$\frac{d}{d\beta}\ln L(\beta;x_1,...,x_n)=n\frac{1}{\beta}+\ln(\sum_{i=1}^{n}x_i)$
Uguagliando a zero la derivata otteniamo il punto critico $\bar{\beta}=-\frac{n}{\ln(\sum_{i=1}^{n}x_i)}$.
Ora bisogna dimostrare che tale punto sia un massimo per la funzione, e soprattutto che $\bar{\beta}>1$ come rischiesto.
Comunque sia bisogna discutere i casi in cui $\sum_{i=1}^{n}x_i=1$ e $\sum_{i=1}^{n}x_i>1$ e discutere lo stimatore opportuno per questi casi.
La mediana, come è evidente dal nome, è quel punto in cui $\int_{0}^{m}\betax^{\beta-1}dx=\frac{1}{2}$ e in questo caso risulta $m^\beta=1/2$, ora ricavi $m$ in funzione di $\beta$ e applichi il principio di invarianza.
Ops scusa ma ho visto solo ora che questi giorni non sono entrato nel forum! grazie per lo svolgimento! saluti!
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