Statistica sufficiente e completa di un campione aleatorio

[submarine1]

Buongiorno a tutti.

Dato un campione aleatorio $Y$ di dimensione N, la cui componente n-esima ha la seguente pdf:

$f_Y(y|x) = exp[-(y-x)] * u[y-x]$

Determinare se il campione è di classe esponenziale regolare.
Individuare una statistica sufficente, la meno informativa possibile, e valutarne la pdf.

Il primo punto se verificato permette di individuare la statistica sufficiente completa che è anche la meno informativa tra le statistiche sufficienti. Ma affinchè sia verificata la condizione il supporto della variabile o del campione in questo caso non deve dipendere dal parametro incognito. In questo caso $u[y-x]$ sottolinea questa dipendenza. Sperando di aver fatto bene questo ho provato ad individuare con il Teorema di fattorizzazione la statistica sufficiente. A questo punto ho bisogno di voi. Grazie!

[Lo_zio_Tom]

Quesito abbastanza interessante:

intanto la x non mi piace affatto, è un parametro reale, preferisco chiamarlo $theta$

La tua funzione di densità viene dunque così

$f_Y(y|theta)=e^(theta)e^(-y) mathbb{1}_([theta;+oo))(y)$

Per trovare la statistica sufficiente, con il teorema di fattorizzazione subito abbiamo

$e^(-Sigma y)e^(n theta) mathbb{1}_((-oo;min (y)])(theta)$

quindi si vede subito che $T= min (y)$ è lo stimatore sufficiente.

Ora il calcolo della sua pdf dovrebbe esserti agevole (e comunque è necessaria per il punto successivo)

Completezza: qui è tutto un altro discorso; dato che il modello non è regolare, non abbiamo la certezza che lo stimatore sufficiente sia anche completo. Occorre provare o meno la completezza con la definizione. Ci sono calcoli da fare e studio sottostante. Fammi vedere i tuoi progressi e, se avrò tempo e soprattutto voglia, interverrò

[submarine1]

Prima di proseguire mi potresti chiarire come sei passato da una produttoria di indicatrici a quella finale espressa in funzione di $\theta$. Grazie e scusa il disturbo.

[Lo_zio_Tom]

nessun disturbo.

Hai un campione casuale di ampiezza n

$Y_1,...,Y_n$

ogni elemento del campione è indipendente ed ha la stessa distribuzione, quindi vale anche che

$theta<= y_1
...

$theta<= y_n
quindi $theta$ è minore del minimo delle y. A questo punto è chiaro che l'indicatrice si può esprimere sia in termini di y ma anche di $theta$, ovvero

$mathbb{1}_([theta;+oo))(y)=mathbb{1}_((-oo;min(y)])(theta)$

con la verosimiglianza espressa in questo modo si vede anche immediatamente che il nostro stimatore è anche quello di massima verosimiglianza. La produttoria delle densità è infatti una funzione strettamente crescente in $theta$, con massimo di frontiera in $hat(theta)=min(y)$

NOTA: se anche $theta$ fosse escluso dal dominio nulla cambierebbe perché lo stimatore di max verosimiglianza è l'argsup della funzione e non l'arg max

[Lo_zio_Tom]

Prima di occuparci di completezza occorre trovare la densità dello stimatore $T=min(y)$

come noto (ma si dimostra in 2 passaggi) la CDF del minimo di n variabili iid è la seguente


$F_(min)(t)=1-(1-F_Y(t))^n=1-e^(n theta)e^(-nt)$

Quindi la sensità del nostro stimatore viene così

$f_(min)(t)=n e^(n theta)e^(-nt)$

Ora passiamo alla definizione di completezza

Lo stimatore $T=T(ul(y))$ è completo se, $AA theta$

$mathbb{E}_theta g(T)=0 rarr mathbb{P}_theta[g(T)=0]=1$

quindi calcoliamoci sto valore atteso e poniamolo uguale a zero come vuole la definizione.

$mathbb{E}_theta g(T)=int_theta^(oo)g(t)n e^(n theta)e^(-nt)dt=0$

Ciò implica evidentemente

$int_theta^(oo)g(t)e^(-nt)dt=0$

deriviamo ambo i membri rispetto a $theta$

$-g(theta)e^(-n theta)=0$

che implica evidentemente

$g(t)=0$ ; $AA t$

o anche

$mathbb{P}_theta[g(T)=0]=1$ ; $AA theta$

che conclude la dimostrazione della completezza dello stimatore

[submarine1]

Un quesito di analisi: quando derivi ambo i membri non dovresti avere semplicemente l'argomento dell'integrale calcolato in $\theta$?

[Lo_zio_Tom]

Infatti è ciò che ho fatto. Ci va un meno davanti perché $theta$ sta all'estremo inferiore