Statistica - Poisson
Esercizio 4.4 dal Capitolo 5 di Taylor & Karlin, "An Introduction to Stochastic Modeling", ormai un mio incubo 
Siano $W_{1}$, $W_{2}$, ... i tempi di arrivo (NON interarrivo, attenzione) di un processo di Poisson $X(t)$, $t \geq 0$, di intensità $\lambda$.
Siano $Z_{1}$, $Z_{2}$, ... variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, indipendenti dal processo, con densità di probabilità $f(x)$, $0 \leq x \leq \infty$. Trovare $P{Z \geq z}$, con $Z = min{W_{1} + Z_{1}, W_{2} + Z_{2}, ...}$
Ho la soluzione ma non capisco come ci si possa arrivare... idee? Grazie, ciao!
A.
Siano $W_{1}$, $W_{2}$, ... i tempi di arrivo (NON interarrivo, attenzione) di un processo di Poisson $X(t)$, $t \geq 0$, di intensità $\lambda$.
Siano $Z_{1}$, $Z_{2}$, ... variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite, indipendenti dal processo, con densità di probabilità $f(x)$, $0 \leq x \leq \infty$. Trovare $P{Z \geq z}$, con $Z = min{W_{1} + Z_{1}, W_{2} + Z_{2}, ...}$
Ho la soluzione ma non capisco come ci si possa arrivare... idee? Grazie, ciao!
A.
Risposte
Cominciamo a impostare così:
$ P(Z geq z) = P(min{W_{1} + Z_{1}, W_{2} + Z_{2}, ...} geq z) = prod_(i=1)^N P(W_{i}+ Z_{i} geq z) = prod_(i=1)^N 1-F(W_{i}+ Z_{i}) $
Poi la ddp di $ W_{i}+ Z_{i} $ è la convoluzione delle due ddp addende. Comincia a partire così...
$ P(Z geq z) = P(min{W_{1} + Z_{1}, W_{2} + Z_{2}, ...} geq z) = prod_(i=1)^N P(W_{i}+ Z_{i} geq z) = prod_(i=1)^N 1-F(W_{i}+ Z_{i}) $
Poi la ddp di $ W_{i}+ Z_{i} $ è la convoluzione delle due ddp addende. Comincia a partire così...
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