Standard error in caso di omoschedasticità/eteroschedasticità
Su quest'argomento Stock e Watson sono a dir poco confusionari nella spiegazione, per questo mi auguro che qualcuno riesca a fare un po' di ordine.
Per la derivazione dell'$SE$ per $\hat(beta)_1$ gli autori partono dalla varianza dello stimatore OLS
Tuttavia il ragionamento sembra intuitivo (?): il fattore $n-2$ al numeratore corregge la distorsione per la stima di 2 parametri, media della popolazione tramite media campionaria ed errori osservati tramite residui, mentre al denominatore lo stimatore della varianza della popolazione è la varianza campionaria (anche se non si spiega l'utilizzo del fattore $1/n$ anziché di $1/(n-1)$ che l'avrebbe resa corretta).
Da qui
senza tuttavia specificare se tali formule siano in caso di eteroschedasticità o omoshedasticità degli errori. Lo si può dedurre (?) solo in seguito quando affermano che lo standard error per $\hat(beta)_1$ in caso di omoschedasticità è
Tuttavia non spiegano formalmente come l'omoschedasticità degli errori ($var(u_i|X=x_i)=sigma^2$) consenta il passaggio dalla formula iniziale a quest'ultima. Oltre (naturalmente?) a non citare, benché meno a descrivere, la formula per lo standard error per $\hat(beta)_0$.
Qualcuno riuscirebbe a far chiarezza scrivendo con precisione le formule degli standard error per i due stimatori, prima in caso di eteroschedasticità robusta e poi in caso di omoschedasticità pura? Magari con qualche passaggio matematico per capirne la derivazione. Vista ahimé la poca chiarezza del volume, e (a quanto ho avuto modo di vedere) il largo utilizzo quale testo di riferimento, credo possa di aiuto ad altri
Per la derivazione dell'$SE$ per $\hat(beta)_1$ gli autori partono dalla varianza dello stimatore OLS
$var(\hat(beta)_1)=1/nxx(var[(X_i-\bar(X))mu_X])/(sigma_X^2)^2=(sigma_v^2)/(n(sigma_X^2)^2)$
affermando che l'inosservabilità di $sigma_v^2$ e $sigma_X^2$ implica la necessità di costruire stimatori appositi per i due valori sulla base dei dati del campione. Dato $var[(X_i-\bar(X))mu_X]=v_i$ gli autori arrivano alla formula che segue senza alcun passaggio logico o spiegazione di sorta:$\hat(var)(\hat(beta)_1)=1/nxx(\hat(sigma)_v^2)/(\hat(sigma)_X^2)=1/nxx(1/(n-2)sum(\hat(v)_i^2))/(1/nsum(X_i-\bar(X))^2)
=1/nxx(1/(n-2)sum(X_i-\bar(X))^2e_i^2)/(1/nsum(X_i-\bar(X))^2)$
=1/nxx(1/(n-2)sum(X_i-\bar(X))^2e_i^2)/(1/nsum(X_i-\bar(X))^2)$
Tuttavia il ragionamento sembra intuitivo (?): il fattore $n-2$ al numeratore corregge la distorsione per la stima di 2 parametri, media della popolazione tramite media campionaria ed errori osservati tramite residui, mentre al denominatore lo stimatore della varianza della popolazione è la varianza campionaria (anche se non si spiega l'utilizzo del fattore $1/n$ anziché di $1/(n-1)$ che l'avrebbe resa corretta).
Da qui
$SE(\hat(beta)_1)=\root()(\hat(var)(\hat(beta)_1))$
senza tuttavia specificare se tali formule siano in caso di eteroschedasticità o omoshedasticità degli errori. Lo si può dedurre (?) solo in seguito quando affermano che lo standard error per $\hat(beta)_1$ in caso di omoschedasticità è
$SE(\hat(beta)_1)=\root()(1/nxx(1/(n-2)sume_i^2)/(1/nsum(X_i-\bar(X))^2))$
Tuttavia non spiegano formalmente come l'omoschedasticità degli errori ($var(u_i|X=x_i)=sigma^2$) consenta il passaggio dalla formula iniziale a quest'ultima. Oltre (naturalmente?) a non citare, benché meno a descrivere, la formula per lo standard error per $\hat(beta)_0$.
Qualcuno riuscirebbe a far chiarezza scrivendo con precisione le formule degli standard error per i due stimatori, prima in caso di eteroschedasticità robusta e poi in caso di omoschedasticità pura? Magari con qualche passaggio matematico per capirne la derivazione. Vista ahimé la poca chiarezza del volume, e (a quanto ho avuto modo di vedere) il largo utilizzo quale testo di riferimento, credo possa di aiuto ad altri
Risposte
modello essato?
"nikoschm@hotmail.com":
modello essato?
osservato $ Y_i=beta_0+beta_1X_(1i)+u_i $ e stimato $ Y_i=\hat(beta)_0+\hat(beta)_1X_(1i)+e_i $.
Premesso che Stock e Watson, a mia opinione, è un ottimo testo per un corso di econometria di primo livello. Forse è vero che le parti tecniche non siano sempre chiarissime ... però è anche vero che certi dettagli sono inessenziali. La giustificazione di base che trovo è che un principiante non dovrebbe fissarsi troppo su certi dettagli tecnici (solitamente le incomprensioni sono ben più gravi 
)
Prova comunque ad indicarmi le pagine (e l'edizione) che se ho tempo provo a dare un'occhiata.
Comunque in generale, almeno all'inizio, non fissarti troppo su cose tipo $n-1$ o $n-2$
invece
osservato $ Y_i=beta_0+beta_1X_(1i)+u_i $ e stimato $ Y_i=\hat(beta)_0+\hat(beta)_1X_(1i)+e_i $.[/quote]
non esistono "modelli osservati" e sarebbe da capire cosa si intenda per "modello esatto". Nella logica della teoria esiste il "modello vero" e quello "stimato".
E questi non sono dettagli
)Prova comunque ad indicarmi le pagine (e l'edizione) che se ho tempo provo a dare un'occhiata.
Comunque in generale, almeno all'inizio, non fissarti troppo su cose tipo $n-1$ o $n-2$
invece
"mobley":
[quote="nikoschm@hotmail.com"]modello essato?
osservato $ Y_i=beta_0+beta_1X_(1i)+u_i $ e stimato $ Y_i=\hat(beta)_0+\hat(beta)_1X_(1i)+e_i $.[/quote]
non esistono "modelli osservati" e sarebbe da capire cosa si intenda per "modello esatto". Nella logica della teoria esiste il "modello vero" e quello "stimato".
E questi non sono dettagli
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