Spiegazioni esercizio con soluzioni
ES) siano x1,.....,x10 variabili aleatorie indipendenti cone media $ mu =0 $ e varianza $ sigma ^2>0 $ e:
W=x1+x2+x3+x4
$ Z=sum_(i =5 \ldots10)x_(i)^2 $
a) determinare la distribuzione di W
sol a) $ W~ N (0,4sigma ^2) $ perchè la somma di v.c indipendenti con media 0 e varianza $ sigma ^2 $ è distribuita come normale con media 0 e varianza $ 4sigma ^2 $ ?????
b) determinare la distribuzione di $ Z/sigma ^2 $
sol b) dato che $ Z/sigma ^2 = sum_(i =5 \ldots10)(x_(i)/sigma ) $ e $ x_(i)/sigma~ N(0,1) $ allora $ Z/sigma^2 $ ha distribuzione chi quadro con 6 gradi di libertà
qui non capisco perchè $ x_(i)/sigma $ è distribuita come Normale (0,1)
c)Determinare la distribuzione di $ (W/2)/sqrt(Z/6) $
sol c) Possiamo scrivere $ (W/2)/sqrt(Z/6) = (W/(2sigma ))/(sqrt((Z/sigma ^2)/6)) $
Dato che $ W/(2sigma )~ N(0,1) $ ed è indipendente da $ Z/sigma ^2 $ allora $ (W/2)/sqrt(Z/6) $ ha una distribuzione t-di stundent con 6 gradi di libertà.
qui non capisco di nuovo perchè $ W/(2sigma ) ~ N(0,1)$
e poi vorrei essere certo che moltiplica numeratore e denominatore per 1/sigma (che sotto radice diventa sigma al quadrato) per ottenere una normale standardizzata sopra e una chi quadro sotto che si distribuiscono poi come una t di student
grazie a chi avrà la pazienza di rispondermi
W=x1+x2+x3+x4
$ Z=sum_(i =5 \ldots10)x_(i)^2 $
a) determinare la distribuzione di W
sol a) $ W~ N (0,4sigma ^2) $ perchè la somma di v.c indipendenti con media 0 e varianza $ sigma ^2 $ è distribuita come normale con media 0 e varianza $ 4sigma ^2 $ ?????
b) determinare la distribuzione di $ Z/sigma ^2 $
sol b) dato che $ Z/sigma ^2 = sum_(i =5 \ldots10)(x_(i)/sigma ) $ e $ x_(i)/sigma~ N(0,1) $ allora $ Z/sigma^2 $ ha distribuzione chi quadro con 6 gradi di libertà
qui non capisco perchè $ x_(i)/sigma $ è distribuita come Normale (0,1)
c)Determinare la distribuzione di $ (W/2)/sqrt(Z/6) $
sol c) Possiamo scrivere $ (W/2)/sqrt(Z/6) = (W/(2sigma ))/(sqrt((Z/sigma ^2)/6)) $
Dato che $ W/(2sigma )~ N(0,1) $ ed è indipendente da $ Z/sigma ^2 $ allora $ (W/2)/sqrt(Z/6) $ ha una distribuzione t-di stundent con 6 gradi di libertà.
qui non capisco di nuovo perchè $ W/(2sigma ) ~ N(0,1)$
e poi vorrei essere certo che moltiplica numeratore e denominatore per 1/sigma (che sotto radice diventa sigma al quadrato) per ottenere una normale standardizzata sopra e una chi quadro sotto che si distribuiscono poi come una t di student
grazie a chi avrà la pazienza di rispondermi
Risposte
"daddato8":
ES) siano x1,.....,x10 variabili aleatorie indipendenti NORMALI cone media $ mu =0 $ e varianza $ sigma ^2>0 $
C'è chiaramente un errore nel testo: ovviamente intende che le variabili $x_(i)$ sono tutte distribuzioni $N(0;sigma^2)$ indipendenti..anche l'indicazione $sigma^2>0$ è una caXXata.....ovvio che è maggiore di zero...è al quadrato....può essere necessario indicare $sigma^2
anyway...
ad esempio...se $x_(1)$ è normale con media zero e varianza $sigma^2$ è ovvio che $x/sigma$ è normale std. $(x/sigma)^2$ è una chi quadro con un grado di libertà e ovviamente $(x_(5)^2+x_(6)^2+...+x_(10)^2)/sigma^2$ è una chi quadro con 6 gdl, essendo la somma di 6 chi quadro indipendenti, ognuna con un grado di libertà.
$W/(2sigma)$ è normale std per lo stesso motivo.....perchè standardizzi una normale $N(0;4sigma^2)$
e la t di student in base alla definizione ti confermo che viene
$t=Z/sqrt(U/m)$
dove z è normale std
U è una chi quadro con m gdl
e, importante, Z e U devono essere indipendenti -> per come sono costruite...lo sono.....prendiamo le 10 variabili iniziali indipendenti...una la somma delle prime 4 mentre l'altra è la somma delle ultime 6.....quindi ok
ora dovrebbe esser tutto chiaro.....
ne ho un sacco belli di questi.....casomai li cerco e te li posto.....anche molto più carini e più articolati
ad esempio questo, che parte esattamente dalle stesse variabili del tuo esercizio ma è molto più carino:
fammi sapere se riesci a farlo ( se non ti interssa dimmelo che lo cancello)...io ti invito fortemente a sforzarti per farlo perché è molto utile....poi ovviamente fai ciò che ritieni più opportuno
ciao
ciao[/quote]
C'è chiaramente un errore nel [/quote] ok quello l 'avevo sospettato anche io il bello che è scritto dalla professoressa:-),
anyway...
credo sia una domanda idiota ma nel libro spiega poco come standardizzare una normale, dice solo che è una normale con media 0 e varianza 1.
grazie per l 'esercizio lascialo pure cercherò di farlo
"tommik":
[quote="daddato8"]ES) siano x1,.....,x10 variabili aleatorie indipendenti NORMALI cone media $ mu =0 $ e varianza $ sigma ^2>0 $
C'è chiaramente un errore nel [/quote] ok quello l 'avevo sospettato anche io il bello che è scritto dalla professoressa:-),
anyway...
"tommik":perchè è ovvio che è normale standardizzata?? cioè ancora non ho capito come riconosco una normale std. solo da media e varianza? e perchè poi ha varianza 4 $ (sigma)^2 ??? perchè essento tutte normali indipendenti la media è la sommatoria delle medie e la varianza è la sommatoria delle varianze?
ad esempio...se $ x_(1) $ è normale con media zero e varianza $ sigma^2 $ è ovvio che $ x/sigma $ è normale std.
"tommik":pure qui non capisco. cioè standardizzare una normale $ N(0;4sigma^2) $ significa fare $ (x i -mu )/sigma ^2 $ ??
$ W/(2sigma) $ è normale std per lo stesso motivo.....perchè standardizzi una normale $ N(0;4sigma^2) $
credo sia una domanda idiota ma nel libro spiega poco come standardizzare una normale, dice solo che è una normale con media 0 e varianza 1.
grazie per l 'esercizio lascialo pure cercherò di farlo
se $X~N(mu;sigma^2)$ la standardizzazione consiste nel fare il seguente cambio di variabile
$Y=(X-mu)/sigma~N(0;1)$
questo è importantissimo perché serve per risolvere qualunque esercizio...e per calcolare l'integrale della normale.
se la tua variabile iniziale è $X~N(0;sigma^2)$
la standardizzazione sarà $Y=(X-0)/sigma=X/sigma~N(0;1)$
stessa cosa per la $W~N(0;4sigma^2)$
per standardizzarla farai $Y=(W-0)/(2sigma)$
Per il resto, la normale gode della proprietà riproduttiva, ovvero la somma di n variabili normali indipendenti è ancora normale con media somma delle medie e varianza somma delle varianze...
Per capire la standardizzazione ci metti davvero poco:
Sia $X~N(mu;sigma^2)$
quindi
$f(x)=1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2) (x-mu)^2)$
prendiamo la seguente trasformazione
$Y=g(X)=(X-mu)/sigma$ e quindi $g^(-1) rarr x=sigmay+mu$
la densità trasformata sarà
$f(y)=f_(X)(g^(-1))|d/(dy)g^(-1)|$
sostituisci e vedi che la y diventa una normale standard....
le standardizzazioni sono diverse e vanno sapute tutte molto bene...altrimenti son guai.....anche le standardizzazioni della gamma.
Per capire le standardizzazioni devi studiare i modelli statistici, ovvero
modelli di posizione
modelli di scala
modelli di posizione e di scala
ognuno di questi modelli si standardizza in maniera differente.
$Y=(X-mu)/sigma~N(0;1)$
questo è importantissimo perché serve per risolvere qualunque esercizio...e per calcolare l'integrale della normale.
se la tua variabile iniziale è $X~N(0;sigma^2)$
la standardizzazione sarà $Y=(X-0)/sigma=X/sigma~N(0;1)$
stessa cosa per la $W~N(0;4sigma^2)$
per standardizzarla farai $Y=(W-0)/(2sigma)$
Per il resto, la normale gode della proprietà riproduttiva, ovvero la somma di n variabili normali indipendenti è ancora normale con media somma delle medie e varianza somma delle varianze...
Per capire la standardizzazione ci metti davvero poco:
Sia $X~N(mu;sigma^2)$
quindi
$f(x)=1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2) (x-mu)^2)$
prendiamo la seguente trasformazione
$Y=g(X)=(X-mu)/sigma$ e quindi $g^(-1) rarr x=sigmay+mu$
la densità trasformata sarà
$f(y)=f_(X)(g^(-1))|d/(dy)g^(-1)|$
sostituisci e vedi che la y diventa una normale standard....
le standardizzazioni sono diverse e vanno sapute tutte molto bene...altrimenti son guai.....anche le standardizzazioni della gamma.
Per capire le standardizzazioni devi studiare i modelli statistici, ovvero
modelli di posizione
modelli di scala
modelli di posizione e di scala
ognuno di questi modelli si standardizza in maniera differente.
grandeeeee finalmente ho capito
altro esercizio:
prima cosa: è possibile che ci sia un altro errore e nel testo manca un n al denominatore della VAR(X)?
poi al punto a) quando verifica la distorsione fa il valore atteso dello stimatore che viene $ E( hat(Theta) )= E(bar(X) )sqrt(2/Pi ) $ perchè poi al posto di $ E(bar(X) ) $ sostituisce E(X)????
fa la stessa cosa anche con $ VAR(bar(X) ) $ sostituendo il valore di VAR(X) e inoltre qui sparisce pure la radice quadrata da $ sqrt(2/Pi ) $ oltre a esserci quel problema con la n al denominatore che ho detto all'inizio.
grazieee
prima cosa: è possibile che ci sia un altro errore e nel testo manca un n al denominatore della VAR(X)?
poi al punto a) quando verifica la distorsione fa il valore atteso dello stimatore che viene $ E( hat(Theta) )= E(bar(X) )sqrt(2/Pi ) $ perchè poi al posto di $ E(bar(X) ) $ sostituisce E(X)????
fa la stessa cosa anche con $ VAR(bar(X) ) $ sostituendo il valore di VAR(X) e inoltre qui sparisce pure la radice quadrata da $ sqrt(2/Pi ) $ oltre a esserci quel problema con la n al denominatore che ho detto all'inizio.
grazieee
tutto ok questo.
$E(bar(x))=E((Sigmax)/n)=1/nSigmaE(x)=1/n n E(x)=E(x)$
ovvero la media della media campionaria è uguale alla media della popolazione...quindi $E(bar(x))=E(x)$
Per la varianza vale invece $V(ax)=a^2V(x)$
quindi:
$V(sqrt(2/pi)bar(x))=2/pi V((Sigmax)/n)=2/pi 1/n^2 n V(x)=2/pi 1/n (4-pi)/2 theta^2=(4-pi)/(pi n) theta^2$
chiaro?
$E(bar(x))=E((Sigmax)/n)=1/nSigmaE(x)=1/n n E(x)=E(x)$
ovvero la media della media campionaria è uguale alla media della popolazione...quindi $E(bar(x))=E(x)$
Per la varianza vale invece $V(ax)=a^2V(x)$
quindi:
$V(sqrt(2/pi)bar(x))=2/pi V((Sigmax)/n)=2/pi 1/n^2 n V(x)=2/pi 1/n (4-pi)/2 theta^2=(4-pi)/(pi n) theta^2$
chiaro?
tutto ok 
una piccola delucidazione su un altro esercizio:
punto a)
i valori delle sommatorie devo farmeli a mano giusto? o esiste un modo piu veloce?
$ 1-alpha =0.99 $
$ alpha =0.01 $
$ alpha/2 =0.005 $
$ t_(1-alpha /2)^6 $=3,71 a me viene $ t_(0,995)^6 $ e non $ t_(0,095)^6 $ è giusto?
per trovare 3.71 ho usato le tavole della t di student anche qui però non ho capito alcune tavole hanno n e $ alpha $ se uso questo tipo di tavola perchè devo guardare $ alpha/2 $ a 0.005 e non $ alpha $ a 0.01? (presumo perchè la curva ha 2 code simmetriche che divido a metà e a me interessa solo quella a dx)
altre invece hanno n e F, li guardando 0.995 e n=6 mi è risultato più facile capire il meccanismo
punto b) $ t_(1-alpha /2)^6 $ = 2,20
il 2.20 viene facendo $ 1/2*sqrt(n)/S $ giusto?
ora l 'unico modo che ho trovato per capire che alpha=0.07 e quindi l'intervallo ha confidenza al 93%è usando la formula t di student su excel =DISTRIB.T.2T(2,2;6)
ma un cristiano all'esame con carta penna e calcolatrice come deve fare?
grazie
punto a)
i valori delle sommatorie devo farmeli a mano giusto? o esiste un modo piu veloce?
$ 1-alpha =0.99 $
$ alpha =0.01 $
$ alpha/2 =0.005 $
$ t_(1-alpha /2)^6 $=3,71 a me viene $ t_(0,995)^6 $ e non $ t_(0,095)^6 $ è giusto?
per trovare 3.71 ho usato le tavole della t di student anche qui però non ho capito alcune tavole hanno n e $ alpha $ se uso questo tipo di tavola perchè devo guardare $ alpha/2 $ a 0.005 e non $ alpha $ a 0.01? (presumo perchè la curva ha 2 code simmetriche che divido a metà e a me interessa solo quella a dx)
altre invece hanno n e F, li guardando 0.995 e n=6 mi è risultato più facile capire il meccanismo
punto b) $ t_(1-alpha /2)^6 $ = 2,20
il 2.20 viene facendo $ 1/2*sqrt(n)/S $ giusto?
ora l 'unico modo che ho trovato per capire che alpha=0.07 e quindi l'intervallo ha confidenza al 93%è usando la formula t di student su excel =DISTRIB.T.2T(2,2;6)
ma un cristiano all'esame con carta penna e calcolatrice come deve fare?
grazie
sì ovviamente c'è un piccol refuso nell'esercizio... è $t_(0.995)^6$,ovviamente.
Per le somme a mano, di solito negli esercizi d'esame vengono già fornite nei dati....
Per l'uso delle tavole ci vuole un po' di pratica...ma si riesce
Ovviamente di tavole ce ne sono di tant tipi, alcune più chiare altre meno....è questione di prenderci un po' la mano
Per le somme a mano, di solito negli esercizi d'esame vengono già fornite nei dati....
Per l'uso delle tavole ci vuole un po' di pratica...ma si riesce
Ovviamente di tavole ce ne sono di tant tipi, alcune più chiare altre meno....è questione di prenderci un po' la mano
"tommik":
sì ovviamente c'è un piccol refuso nell'esercizio... è $ t_(0.995)^6 $,ovviamente.
Per le somme a mano, di solito negli esercizi d'esame vengono già fornite nei dati....
Per l'uso delle tavole ci vuole un po' di pratica...ma si riesce
Ovviamente di tavole ce ne sono di tant tipi, alcune più chiare altre meno....è questione di prenderci un po' la mano
e invece come ricavo con le tavole che da $ t_(1-alpha /2)^6=2,20 $
$ alpha $ =0,07 e l intervallo ha confidenza 93%?
non puoi....a meno di non avere una tavola con un passo adeguato.
con una tavola standard puoi vedere che $2.5%
se nessuno sente....ti posso anche dire che, essendo nella coda estrema della distribuzione puoi tranquillamente fare la media dei due valori per ottenere un dato corretto....ma non farlo ad un esame perché ti cacciano!
ma sono solo dettagli....ad un esame ti forniranno già esercizi con i quantili giusti....
con una tavola standard puoi vedere che $2.5%
se nessuno sente....ti posso anche dire che, essendo nella coda estrema della distribuzione puoi tranquillamente fare la media dei due valori per ottenere un dato corretto....ma non farlo ad un esame perché ti cacciano!
ma sono solo dettagli....ad un esame ti forniranno già esercizi con i quantili giusti....
"tommik":
non puoi....a meno di non avere una tavola con un passo adeguato.
con una tavola standard puoi vedere che $2.5%
se nessuno sente....ti posso anche dire che, essendo nella coda estrema della distribuzione puoi tranquillamente fare la media dei due valori per ottenere un dato corretto....ma non farlo ad un esame perché ti cacciano!
ma sono solo dettagli....ad un esame ti forniranno già esercizi con i quantili giusti....
ok grazie ma allora perchè me lo da come esercizio se poi nn posso calcolarlo con le tavole tradizionali?
ultima cosa:
questi esercizi mi sono sembrati ben più facili dei precedenti ma anche qui ho qualche dubbio:
Ho segnato con dei riquadri gialli le parti interessate; come si fa dal testo a capire che il pivot una volte segue una t di student, una volta una chi quadro poi normale std e poi bernoulliana che diventa poi normale std?
ok la chi quadro è dovuta al fatto che stimiamo la varianza e non la media; ma negli altri casi cerca sempre la media e una volta decide che il pivot è distribuito sencondo una normale e un altra secondo una t di student?
facendola breve non mi è chiaro come tirare fuori il pivot giusto dal testo; che sembra una caxxata ma poi è fondamentale per risolvere bene l esercizio.
grazieee
l'argomento è molto interessante....non ti è chiaro che "distribuzione ancillare" usare perché non hai studiato bene la teoria sottostante...se tu partissi dalla ricerca degli intervalli di confidenza con il metodo della quantità pivotale ti sarebbe tutto chiarissimo
Innanzitutto cos'è una quantità pivotale
Una quantità pivotale è una funzione che dipende sia DAI DATI che DAL PARAMETRO DA STIMARE....ma la cui distribuzione è nota e non dipende più dal parametro
provo a metter giù un esempio classico...ma se ne potrebbero fare un sacco....
In un modello Gaussiano sappiamo che:
$(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)~ N(0;1)=Z$
Quindi scegliamo la seguente quantità (dato che la varianza non è nota)
$(bar(x)-mu)/S sqrt(n)$
e cerchiamo di capire se siamo in grado di identificare come si distribuisce....se troviamo che la distribuzione di questa quantità non dipende più da $mu$, questa è la nostra quantità pivotale
$((n-1)S^2)/sigma^2~ chi_((n-1)^2$
$Z/sqrt(Y/m)~T_((m))$
dove Z è una normale std, Y è una chi-quadro con m gdl e Z e Y sono indipendenti.
In un modello Gaussiano, per il teorema di Basu, $bar(x)$ e $S^2$ sono indipendenti
Ora, supponiamo di avere una distribuzione $N(mu,sigma^2)$ entrambe NON NOTE e vogliamo stimare $mu$
dobbiamo trovare una quantità pivotale, cioè una funzione che dipende sia da $mu$ che dai dati, ma la cui distribuzione sia indipendente da $mu$
Possiamo riscrivere la nostra quantità (speriamo pivotale) così:
$(bar(x)-mu)/S sqrt(n)=((bar(x)-mu)/sigma sqrt(n))/(sqrt(((n-1)S^2)/(sigma^2(n-1))))=Z/sqrt(Y/(n-1)) ~T_((n-1))$
ecco perché per stimare la media di una normale con varianza ignota usi la t di Student con (n-1) gdl
...teoricamente, prima di calcolare queste stime, dovresti sempre fare un ragionamento del genere.....ma siccome sembra complicato, alcuni testi forniscono dei casi "già risolti" e ti dicono
1)stima della media di una normale con varianza nota -> distribuzione z
2)stima della media di una normale con varianza non nota -> distribuzione t
ecc ecc
Innanzitutto cos'è una quantità pivotale
Una quantità pivotale è una funzione che dipende sia DAI DATI che DAL PARAMETRO DA STIMARE....ma la cui distribuzione è nota e non dipende più dal parametro
provo a metter giù un esempio classico...ma se ne potrebbero fare un sacco....
In un modello Gaussiano sappiamo che:
$(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)~ N(0;1)=Z$
Quindi scegliamo la seguente quantità (dato che la varianza non è nota)
$(bar(x)-mu)/S sqrt(n)$
e cerchiamo di capire se siamo in grado di identificare come si distribuisce....se troviamo che la distribuzione di questa quantità non dipende più da $mu$, questa è la nostra quantità pivotale
$((n-1)S^2)/sigma^2~ chi_((n-1)^2$
$Z/sqrt(Y/m)~T_((m))$
dove Z è una normale std, Y è una chi-quadro con m gdl e Z e Y sono indipendenti.
In un modello Gaussiano, per il teorema di Basu, $bar(x)$ e $S^2$ sono indipendenti
Ora, supponiamo di avere una distribuzione $N(mu,sigma^2)$ entrambe NON NOTE e vogliamo stimare $mu$
dobbiamo trovare una quantità pivotale, cioè una funzione che dipende sia da $mu$ che dai dati, ma la cui distribuzione sia indipendente da $mu$
Possiamo riscrivere la nostra quantità (speriamo pivotale) così:
$(bar(x)-mu)/S sqrt(n)=((bar(x)-mu)/sigma sqrt(n))/(sqrt(((n-1)S^2)/(sigma^2(n-1))))=Z/sqrt(Y/(n-1)) ~T_((n-1))$
ecco perché per stimare la media di una normale con varianza ignota usi la t di Student con (n-1) gdl
...teoricamente, prima di calcolare queste stime, dovresti sempre fare un ragionamento del genere.....ma siccome sembra complicato, alcuni testi forniscono dei casi "già risolti" e ti dicono
1)stima della media di una normale con varianza nota -> distribuzione z
2)stima della media di una normale con varianza non nota -> distribuzione t
ecc ecc
"tommik":
l'argomento è molto interessante....non ti è chiaro che "distribuzione ancillare" usare perché non hai studiato bene la teoria sottostante...se tu partissi dalla ricerca degli intervalli di confidenza con il metodo della quantità pivotale ti sarebbe tutto chiarissimo
Innanzitutto cos'è una quantità pivotale
Una quantità pivotale è una funzione che dipende sia DAI DATI che DAL PARAMETRO DA STIMARE....ma la cui distribuzione è nota e non dipende più dal parametro
provo a metter giù un esempio classico...ma se ne potrebbero fare un sacco....
non è vero...l ho studiato il metodo della quantità pivotale ma non mi è chiaro comunque:
esercizio 1a,campione estratto da distribuzione normale, varianza e media incognite ,io devo stimare la media-->t di student
1c, campione estratto da distribuzione normale, varianza e media incognite, devo stimare la radice della var-- ->chi quadro
esercizio 2, campione estratto da distribuzione normale, media incognita e varianza nota, devo stimare la media--> norm std
esercizio 3, campione estratto da distribuzione presupposta nomale dalla numerosità del campione ???? media e varianza incognite, devo stimare la media--->t di student
esercizio 4, non dice niente sulla distribuzione da cui è estratto il campione , ma la popolazione è bernoulliana perchèè??
poi sempre per la numerosità ipotizza che la quantità pivotale è distribuita normale std. bohh
sono partito dagli intervalli di confidenza tanto che in sintesi una volta trovata la quantità la si pone in un intervallo tra q1 e q2 e poi si "ribalta" la disequazione lasciando solo il parametro da stimare in mezzo, ovviamente se anche gli estremi dipendono dal parametro non si può fare e si cerca di "modificare" la quantità.
non so se mi sono spiegato
ti ho messo un esempio con tutti i calcoli....ognuno degli esempi proposti andrebbe calcolato con il metodo della quantità pivotale e dovresti raggiungere gli stessi risultati dell'esercizio
Per quanto riguarda la stima del parametro della binomiale quello è tutto un altro paio di maniche...il risultato che usa il testo non è un risultato esatto ma solo un'approssimazione....per quello ti dice che il numero di dati deve essere abbastanza grande in modo da usare un'approssimazione gaussiana della bernulliana.
Ovvio che la distribuzione è bernulliana...leggendo il testo ti accorgi che la distribuzione è dicotomica...zero oppure uno...sì oppure no..
Riguardati bene il metodo della quantità pivotale e vedrai che sarà tutto chiaro.....
visto che ne hai messi 4 allora ti metto il 5
distribuzione esponenziale
$f(x)=thetae^(-thetax)$
sulla base di un campione casuale di ampiezza n...stimiamo $theta$ con un intervallo di confidenza al $(1-alpha)%$
come fai?...ci sono già delle formule precotte su alcuni libri...ma non stare a guardarle...semplicemente con la quantità pivotale dovresti risolvere
Vuoi il sesto? così ci perdi la serata?
Distribuzione uniforme $U(0;theta)$
sulla base di un campione casuale di ampiezza n, stimiamo $theta$ con un intervallo di confidenza al $(1-alpha)%$
QUI trovi la soluzione
Per gli altri casi che hai citato (a parte quello della binomiale che è complicato) ti invito a trovare la soluzione con il metodo della quantità pivotale e far sì che la tua soluzione combaci con quella degli esempi (il più complicato te l'ho già messo io con la t di student)
Inoltre, per quanto riguarda il modello Gaussiano, fra gli esempi da te riportati, ne manca uno importantissimo!
Stima della Varianza di una normale con media NOTA.....
hihihi
qui poteva anche non passare per la t di student. Se $n>=30$ per il teorema del limite centrale, la media campionaria è distribuita come una Gaussiana....
*******************
vediamo invece il caso mancante nel modello Gaussiano: stima della varianza con media nota.
a questo punto la quantità pivotale da usare è questa:
$(Sigma(x-mu)^2)/sigma^2=(Sigma(x-bar(x)+bar(x)-mu)^2)/sigma^2$
$(Sigma(x-bar(x))^2)/sigma^2+(n(bar(x)-mu)^2)/sigma^2=((n-1)S^2)/sigma^2+[(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)]^2$
a questo punto si vede che il primo addendo è una $chi_((n-1))^2$ il secondo addendo è una normale std al quadrato, ovvero una $chi_((1))^2$
Per il teorema di Basu, media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti -> la somma è una $chi_((n))^2$
per il resto, nota la quantità pivotale, il procedimento è lo stesso del caso con media non nota...
In pratica si usa una chi-quadro con un grado di libertà in più e, invece della devianza campionaria, si usa la devianza con la media nota.....
tutto qui
Per quanto riguarda la stima del parametro della binomiale quello è tutto un altro paio di maniche...il risultato che usa il testo non è un risultato esatto ma solo un'approssimazione....per quello ti dice che il numero di dati deve essere abbastanza grande in modo da usare un'approssimazione gaussiana della bernulliana.
Ovvio che la distribuzione è bernulliana...leggendo il testo ti accorgi che la distribuzione è dicotomica...zero oppure uno...sì oppure no..
Riguardati bene il metodo della quantità pivotale e vedrai che sarà tutto chiaro.....
visto che ne hai messi 4 allora ti metto il 5
distribuzione esponenziale
$f(x)=thetae^(-thetax)$
sulla base di un campione casuale di ampiezza n...stimiamo $theta$ con un intervallo di confidenza al $(1-alpha)%$
come fai?...ci sono già delle formule precotte su alcuni libri...ma non stare a guardarle...semplicemente con la quantità pivotale dovresti risolvere
Vuoi il sesto? così ci perdi la serata?
Distribuzione uniforme $U(0;theta)$
sulla base di un campione casuale di ampiezza n, stimiamo $theta$ con un intervallo di confidenza al $(1-alpha)%$
QUI trovi la soluzione
Per gli altri casi che hai citato (a parte quello della binomiale che è complicato) ti invito a trovare la soluzione con il metodo della quantità pivotale e far sì che la tua soluzione combaci con quella degli esempi (il più complicato te l'ho già messo io con la t di student)
Inoltre, per quanto riguarda il modello Gaussiano, fra gli esempi da te riportati, ne manca uno importantissimo!
Stima della Varianza di una normale con media NOTA.....
hihihi
"daddato8":
esercizio 3, campione estratto da distribuzione presupposta nomale dalla numerosità del campione ???? media e varianza incognite, devo stimare la media--->t di student
qui poteva anche non passare per la t di student. Se $n>=30$ per il teorema del limite centrale, la media campionaria è distribuita come una Gaussiana....
*******************
vediamo invece il caso mancante nel modello Gaussiano: stima della varianza con media nota.
a questo punto la quantità pivotale da usare è questa:
$(Sigma(x-mu)^2)/sigma^2=(Sigma(x-bar(x)+bar(x)-mu)^2)/sigma^2$
$(Sigma(x-bar(x))^2)/sigma^2+(n(bar(x)-mu)^2)/sigma^2=((n-1)S^2)/sigma^2+[(bar(x)-mu)/sigma sqrt(n)]^2$
a questo punto si vede che il primo addendo è una $chi_((n-1))^2$ il secondo addendo è una normale std al quadrato, ovvero una $chi_((1))^2$
Per il teorema di Basu, media campionaria e varianza campionaria sono indipendenti -> la somma è una $chi_((n))^2$
per il resto, nota la quantità pivotale, il procedimento è lo stesso del caso con media non nota...
In pratica si usa una chi-quadro con un grado di libertà in più e, invece della devianza campionaria, si usa la devianza con la media nota.....
tutto qui
"tommik":
tutto ok questo.
Per la varianza vale invece $V(ax)=a^2V(x)$
quindi:
$V(sqrt(2/pi)bar(x))=2/pi V((Sigmax)/n)=2/pi 1/n^2 n V(x)=2/pi 1/n (4-pi)/2 theta^2=(4-pi)/(pi n) theta^2$
chiaro?
scusa tommik mi riguardavo questo esercizio ma non mi porta qualcosa.
se per la varianza vale $V(ax)=a^2V(x)$ perchè $V((Sigmax)$ cioè $V(nX)$ non diventa un'altra volta $n^2V(x)$?? e le n si eliminano?
e notando questa cosa in realtà mi ha confuso anche la media campionaria, cioè non si semplifica da sola? cioè $ 1/n Sigmax $ non diventa $ 1/n nX$ e quindi $X$?
vuoi davvero sapere perché $V(SigmaX) != V(nX)$?
perché non siamo in campo deterministico ma in campo stocastico...
Dire $X_(1)+X_(2)$ è una cosa....dire $2X_(1)$ è cosa ben diversa, anche se le variabili sono identicamente distribuite....
Per la media della somma stesso discorso, solo che lì è più semplice perché la media è un operatore lineare
$E(SigmaX)=E[X_(1)+X_(2)+...+X_(n)]=[E(X_(1))+E(X_(2))+...+E(X_(n))]=nE(X_(1))=nmu$
mentre:
$V(nX)=n^2V(X)$
invece
$V[X_(1)+X_(2)+...+X_(n)]=V(X_(1))+V(X_(2))+...+V(X_(n))=nV(X_(1))$
(a cui andrebbero aggiunte tutte le doppie covarianze fra le variabili....che sono nulle per l'ipotesi di indipendenza...)
spero che così sia chiaro
perché non siamo in campo deterministico ma in campo stocastico...
Dire $X_(1)+X_(2)$ è una cosa....dire $2X_(1)$ è cosa ben diversa, anche se le variabili sono identicamente distribuite....
Per la media della somma stesso discorso, solo che lì è più semplice perché la media è un operatore lineare
$E(SigmaX)=E[X_(1)+X_(2)+...+X_(n)]=[E(X_(1))+E(X_(2))+...+E(X_(n))]=nE(X_(1))=nmu$
mentre:
$V(nX)=n^2V(X)$
invece
$V[X_(1)+X_(2)+...+X_(n)]=V(X_(1))+V(X_(2))+...+V(X_(n))=nV(X_(1))$
(a cui andrebbero aggiunte tutte le doppie covarianze fra le variabili....che sono nulle per l'ipotesi di indipendenza...)
spero che così sia chiaro
"tommik":
vuoi davvero sapere perché $V(SigmaX) != V(nX)$?
perché non siamo in campo deterministico ma in campo stocastico...
Dire $X_(1)+X_(2)$ è una cosa....dire $2X_(1)$ è cosa ben diversa, anche se le variabili sono identicamente distribuite....
Per la media della somma stesso discorso, solo che lì è più semplice perché la media è un operatore lineare
$E(SigmaX)=E[X_(1)+X_(2)+...+X_(n)]=[E(X_(1))+E(X_(2))+...+E(X_(n))]=nE(X_(1))=nmu$
mentre:
$V(nX)=n^2V(X)$
invece
$V[X_(1)+X_(2)+...+X_(n)]=V(X_(1))+V(X_(2))+...+V(X_(n))=nV(X_(1))$
(a cui andrebbero aggiunte tutte le doppie covarianze fra le variabili....che sono nulle per l'ipotesi di indipendenza...)
spero che così sia chiaro
grande!
che meraviglia.....questa discussione è una manna dal cielo 
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