Spazio di probabilità: sigma-algebra,dubbio
Salve, sto studiando la teoria delle probabilità e viene detto che la misura ha come dominio il sigma-algebra. Adesso mi domando come mai allora, ogni volta che mi devo caloclare una probabilità, utilizzo lo spazio dei campioni come dominio? A cosa è servito introdurre il sigma-algebra?
Perchè quindi uso la notazione $ P(Omega) $ , se omega non è uno spazio di eventi, ma i risultati degli esperiementi?
Non dovrebbe essere $ P(sigma$-algebra$)$ ?
Perchè quindi uso la notazione $ P(Omega) $ , se omega non è uno spazio di eventi, ma i risultati degli esperiementi?
Non dovrebbe essere $ P(sigma$-algebra$)$ ?
Risposte
quindi in pratica quando prendo i valori da dare al dominio della probabilità non li pesco dall'insieme campione ma dal sigma-algebra che mi ha trasformato Ω in un insieme di eventi? Quindi ha tutto un altro significato anche se si usa lo stesso simbolo?
scusa per gli erorri, ma quando l'ho scritto ero molto stanco. Domani lo edito
scusa per gli erorri, ma quando l'ho scritto ero molto stanco. Domani lo edito
Non arrabbiarti, ma secondo me hai delle grosse lacune di base
$P(Omega)=1$ per assioma (oppure $P(\emptyset)=0$, a scelta). Uno è un assioma l'altro lo dimostri....mentre $P(sigma-"algebra")$ non significa nulla.... l'$mathcal(A)$ è una classe di insiemi....
Cerco di essere più chiaro cercando, nel limite del possibile, di ridurre al minimo il linguaggio formale.
Se effettuiamo un esperimento $mathcal(E)$, in una data situazione, possiamo ottenere evidentemente diversi risultati sperimentali. I dati che si ottengono effettivamente dall'esperimento costituiscono pertanto solo un punto di uno spazio di possibili dati. E' abbastanza evidente e naturale allora impostare l'analisi su tale spazio, insieme dei possibili risultati sperimentali, che indichiamo con $Omega$. Per effettuare una analisi statistica occorre dotare $Omega$ di una struttura matematica. Lo spazio $Omega$ viene reso misurabile tramite l'associazione ad esso di una appropriata sigma-algebra che chiamiamo $mathcal(F)$.
In questo constesto un modello statistico probabilistico per l'esperimento $mathcal(E)$ è una terna $(Omega, mathcal(F), mathcal(P))$, ove $mathcal(P)$ è una famiglia di misure di probabilità sullo spazio misurabile $(Omega, mathcal(F))$.
L'elemento essenziale del modello statistico è proprio $mathcal(P)$. I dati $omega$, $omega in Omega$ che si ricavano da $mathcal(E)$, una volta che l'esperimento è stato condotto, costituiscono la premessa per fare inferenza su $mathcal(P)$. Le misure di probabilità $P in mathcal(P)$ possono essere indicizzate da un parametro $theta$, $theta in Theta$.
In altri termini, ad ogni $theta in Theta$ è associata una misura di probabilità $P_(theta)$ che assegna la probabilità ai sottinsiemi di $mathcal(F)$.
$Theta$ si chiama "Spazio dei parametri"; $theta$ può essere un numero reale, una n-upla ordinata di numeri reali, una funzione di ripartizione nel caso non parametrico o anche altro.
E' evidente che se non si avessero incertezze intorno ai possibili valori di $Theta$, vale a dire $Theta$ contiene solo un elemento non si avrebbe alcun problema statistico, poiché sarmmo in grado di calcolare la probabilità di un qualsiasi evento connesso con l'esperimento....
Ma ora viene il bello:
Supposto che le misure di probabilità siano dominate da una misura $mu(mathcal(F))$, esse potranno essere descritte mediante la funzione di densità $p(omega|theta)$ rispetto a questa misura.
Di conseguenza, se $A$ è un qualunque evento della nostra sigma algebra avremo
In questo caso il modello statistico può essere presentato nella forma semplificata
Abbiamo un'urna con palline bianche e nere ma di cui la composizione è ignota.
Indichiamo con $theta=P(X=1)$ la probabilità che la pallina sia bianca e con $1-theta=P(X=0)$ la probabilità che la pallina sia nera.
Se effettuiamo n estrazioni con reimmissione, il modello statistico sarà composto da:
i) $mathcal(X)^((n))$, l'insieme di tutte le possibili ennuple $(x_1,x_2,....,x_n)$, cioè un vettore del tipo $(1,1,0,1,0,...,0,1)$
ii) la funzione $theta^(Sigmax)(1-theta)^(n-Sigmax)$, prodotto di $n$ bernulliane indipendenti, che assegna la probabilità a tutte le possibili ennuple, supposto di conoscere $theta$
iii) un parametro $theta$ che può variare fra zero e uno.
In definitiva il modello è rappresentabile così:
Supponiamo ora, estraendo con reimmissione dalla medesima urna, di essere invece interessati al numero di estrazioni $n$ necessarie per ottenere $k$ palline bianche.
Allora il modello sarà il seguente
dove $mathcal(N)$ è l'insieme dei numeri naturali maggiori o uguali a $k$
Scopo principale dei corsi che farai è quello di fare inferenza (cioè dare una stima) su quel parametro $theta$ ignoto, sulla base dei risultati sperimentali.
Spero di averti chiarito un po' l'argomento perché la comprensione di queste nozioni di base è fondamentale per capire tutto il resto....
saluti
"esxpe":
Perchè quindi uso la notazione $ P(Omega) $ , se omega non è uno spazio di eventi, ma i risultati degli esperiementi?
Non dovrebbe essere $ P(sigma$-algebra$)$ ?
$P(Omega)=1$ per assioma (oppure $P(\emptyset)=0$, a scelta). Uno è un assioma l'altro lo dimostri....mentre $P(sigma-"algebra")$ non significa nulla.... l'$mathcal(A)$ è una classe di insiemi....
Cerco di essere più chiaro cercando, nel limite del possibile, di ridurre al minimo il linguaggio formale.
Se effettuiamo un esperimento $mathcal(E)$, in una data situazione, possiamo ottenere evidentemente diversi risultati sperimentali. I dati che si ottengono effettivamente dall'esperimento costituiscono pertanto solo un punto di uno spazio di possibili dati. E' abbastanza evidente e naturale allora impostare l'analisi su tale spazio, insieme dei possibili risultati sperimentali, che indichiamo con $Omega$. Per effettuare una analisi statistica occorre dotare $Omega$ di una struttura matematica. Lo spazio $Omega$ viene reso misurabile tramite l'associazione ad esso di una appropriata sigma-algebra che chiamiamo $mathcal(F)$.
In questo constesto un modello statistico probabilistico per l'esperimento $mathcal(E)$ è una terna $(Omega, mathcal(F), mathcal(P))$, ove $mathcal(P)$ è una famiglia di misure di probabilità sullo spazio misurabile $(Omega, mathcal(F))$.
L'elemento essenziale del modello statistico è proprio $mathcal(P)$. I dati $omega$, $omega in Omega$ che si ricavano da $mathcal(E)$, una volta che l'esperimento è stato condotto, costituiscono la premessa per fare inferenza su $mathcal(P)$. Le misure di probabilità $P in mathcal(P)$ possono essere indicizzate da un parametro $theta$, $theta in Theta$.
In altri termini, ad ogni $theta in Theta$ è associata una misura di probabilità $P_(theta)$ che assegna la probabilità ai sottinsiemi di $mathcal(F)$.
$Theta$ si chiama "Spazio dei parametri"; $theta$ può essere un numero reale, una n-upla ordinata di numeri reali, una funzione di ripartizione nel caso non parametrico o anche altro.
E' evidente che se non si avessero incertezze intorno ai possibili valori di $Theta$, vale a dire $Theta$ contiene solo un elemento non si avrebbe alcun problema statistico, poiché sarmmo in grado di calcolare la probabilità di un qualsiasi evento connesso con l'esperimento....
Ma ora viene il bello:
Supposto che le misure di probabilità siano dominate da una misura $mu(mathcal(F))$, esse potranno essere descritte mediante la funzione di densità $p(omega|theta)$ rispetto a questa misura.
Di conseguenza, se $A$ è un qualunque evento della nostra sigma algebra avremo
$P(A|theta)=int_(A)p(omega|theta)dmu(mathcal(F))$; $theta in Theta$
In questo caso il modello statistico può essere presentato nella forma semplificata
$(Omega, p(omega|theta), theta in Theta)$
Esempio 1:
Abbiamo un'urna con palline bianche e nere ma di cui la composizione è ignota.
Indichiamo con $theta=P(X=1)$ la probabilità che la pallina sia bianca e con $1-theta=P(X=0)$ la probabilità che la pallina sia nera.
Se effettuiamo n estrazioni con reimmissione, il modello statistico sarà composto da:
i) $mathcal(X)^((n))$, l'insieme di tutte le possibili ennuple $(x_1,x_2,....,x_n)$, cioè un vettore del tipo $(1,1,0,1,0,...,0,1)$
ii) la funzione $theta^(Sigmax)(1-theta)^(n-Sigmax)$, prodotto di $n$ bernulliane indipendenti, che assegna la probabilità a tutte le possibili ennuple, supposto di conoscere $theta$
iii) un parametro $theta$ che può variare fra zero e uno.
In definitiva il modello è rappresentabile così:
${mathcal(X)^((n)),theta^(Sigmax)(1-theta)^(n-Sigmax), theta in [0;1]}$
Esempio 2:
Supponiamo ora, estraendo con reimmissione dalla medesima urna, di essere invece interessati al numero di estrazioni $n$ necessarie per ottenere $k$ palline bianche.
Allora il modello sarà il seguente
${mathcal(N),((n-1),(k-1))theta^k(1-theta)^(n-k), theta in [0;1]}$
dove $mathcal(N)$ è l'insieme dei numeri naturali maggiori o uguali a $k$
Scopo principale dei corsi che farai è quello di fare inferenza (cioè dare una stima) su quel parametro $theta$ ignoto, sulla base dei risultati sperimentali.
Spero di averti chiarito un po' l'argomento perché la comprensione di queste nozioni di base è fondamentale per capire tutto il resto....
saluti
No, perchè dovrei offendermi.
Allora il sigma-algebra ha lo scopo di rendere lo spazio campione misurabile, perchè se li si associa si ottiene un campo misurabile giusto? E la misura è resa tramite la relazione probabilistica che associa ad ogni evento del campo misurabile un numero "particolare".
Allora il sigma-algebra ha lo scopo di rendere lo spazio campione misurabile, perchè se li si associa si ottiene un campo misurabile giusto? E la misura è resa tramite la relazione probabilistica che associa ad ogni evento del campo misurabile un numero "particolare".
"esxpe":
Allora il sigma-algebra ha lo scopo di rendere lo spazio campione misurabile, perchè se li si associa si ottiene un campo misurabile giusto?
si, ciò vuol dire anche che gli insiemi di cui calcoli la probabilità sono sottoinsiemi dello spazio campionario ed appartengono alla sigma algebra. senza la sigma algebra non avresti di che calcolare la probabilità. anzi, a volte si tratta di giustificare che un dato insieme sia misurabile e quindi la probabilità è definita.
per esempio nello studio del moto browniano si afferma che le sue traiettorie sono continue quasi certamente. in realtà questo non è proprio preciso perchè l'evento ${t -> B_t \text{è continua}}$ non è in realtà un evento e quindi strettamente parlando non è detto che sia definita la sua probabilità. al problema si ovvia completando lo spazio di probabilità, ma rigorosamente andrebbe giustificato.
"esxpe":
E la misura è resa tramite la relazione probabilistica che associa ad ogni evento del campo misurabile un numero "particolare".
questa frase non l'ho molto capita. per avere una misura (generica ma anche di probabilità) non basta assegnare una funzione che preso in argomento un elemento della sigma algebra restituisca un numero. serve dare qualche regola aggiuntiva.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo