Spazio campionario con esiti equiprobabili 2
Si lanci una moneta $n$-volte,
quale è la probabilità che si verifichi l'evento \(\displaystyle A=\left \{negli \space n \space lanci \space si \space ottiene \space 2 \space volte \space testa \right \} \);
Se considero gli elementi di tale insieme come dei vettori, ad esempio si avrebbe per $n=3$:
\(\displaystyle A=\left \{(t, t, t), (t, t, c), (t, c, t), (c, t, t) \right \} \), dove la posizione di $t$ o $c$ rappresenta la quantità dei lanci fin ora effettuati.
Però l'evento $A$ potrebbe anche essere identificato come: "si ottiene testa $k-$volte" in questo caso $2$ volte e il libro risolve utillizando il coefficiente binomiale per trovare l'ordine dell'insieme, \(\displaystyle \binom{n}{k} \), nell'esempio si avrebbe \(\displaystyle \binom{3}{2} = 3 \), che è falso perché calcola solamente le due posizioni in cui inserire $t$.
Infatti se considero le tre posizioni in cui inserire le due $t$ \(\displaystyle \space \space | \space \space | \space \space \) si ha
\(\displaystyle t |t | \space \space \), \(\displaystyle t | \space \space | t \) oppure \(\displaystyle \space \space | t | t \) e se mi calcolo per ognuna di esse i possibili esiti dell'altra posizione ottengo \(\displaystyle \binom{3}{2}*2=6 \), ai quali devo togliere gli elementi che si ripetono.
quale è la probabilità che si verifichi l'evento \(\displaystyle A=\left \{negli \space n \space lanci \space si \space ottiene \space 2 \space volte \space testa \right \} \);
Se considero gli elementi di tale insieme come dei vettori, ad esempio si avrebbe per $n=3$:
\(\displaystyle A=\left \{(t, t, t), (t, t, c), (t, c, t), (c, t, t) \right \} \), dove la posizione di $t$ o $c$ rappresenta la quantità dei lanci fin ora effettuati.
Però l'evento $A$ potrebbe anche essere identificato come: "si ottiene testa $k-$volte" in questo caso $2$ volte e il libro risolve utillizando il coefficiente binomiale per trovare l'ordine dell'insieme, \(\displaystyle \binom{n}{k} \), nell'esempio si avrebbe \(\displaystyle \binom{3}{2} = 3 \), che è falso perché calcola solamente le due posizioni in cui inserire $t$.
Infatti se considero le tre posizioni in cui inserire le due $t$ \(\displaystyle \space \space | \space \space | \space \space \) si ha
\(\displaystyle t |t | \space \space \), \(\displaystyle t | \space \space | t \) oppure \(\displaystyle \space \space | t | t \) e se mi calcolo per ognuna di esse i possibili esiti dell'altra posizione ottengo \(\displaystyle \binom{3}{2}*2=6 \), ai quali devo togliere gli elementi che si ripetono.
Risposte
Nell' esempio che hai fatto per \(\displaystyle n=3 \) la \(\displaystyle P(A)=\frac{3}{8} \), numero di casi favorevoli sul numero di casi possibili. E lo stesso devi fare nel caso generale.
I casi possibili sono \(\displaystyle 2^n \).
I casi possibili sono \(\displaystyle 2^n \).
ho sbagliato perché ho messo nell'insieme $A$ tre $t$.
Sì, perchè chiede che escano esattamente 2 teste, e non ALMENO 2 teste!
saluti
saluti
"blob84":
Si lanci una moneta $n$-volte,
quale è la probabilità che si verifichi l'evento \(\displaystyle A=\left \{negli \space n \space lanci \space si \space ottiene \space 2 \space volte \space testa \right \} \);
Se considero gli elementi di tale insieme come dei vettori, ad esempio si avrebbe per $n=3$:
\(\displaystyle A=\left \{(t, t, t), (t, t, c), (t, c, t), (c, t, t) \right \} \), dove la posizione di $t$ o $c$ rappresenta la quantità dei lanci fin ora effettuati.
Però l'evento $A$ potrebbe anche essere identificato come: "si ottiene testa $k-$volte" in questo caso $2$ volte e il libro risolve utillizando il coefficiente binomiale per trovare l'ordine dell'insieme, \(\displaystyle \binom{n}{k} \), nell'esempio si avrebbe \(\displaystyle \binom{3}{2} = 3 \), che è falso perché calcola solamente le due posizioni in cui inserire $t$.
Infatti se considero le tre posizioni in cui inserire le due $t$ \(\displaystyle \space \space | \space \space | \space \space \) si ha
\(\displaystyle t |t | \space \space \), \(\displaystyle t | \space \space | t \) oppure \(\displaystyle \space \space | t | t \) e se mi calcolo per ognuna di esse i possibili esiti dell'altra posizione ottengo \(\displaystyle \binom{3}{2}*2=6 \), ai quali devo togliere gli elementi che si ripetono.
Perdonami la domanda perchè non ho capito una cosa, l'esercizio chiede la probabilità di A oppure lo spazio campionario legato ad A ?
Nel primo caso è un modello binomiale, nel secondo per sapere il numero degli eventi ( e non quali sono ) basta il calcolo combinatorio tramite il coefficiente binomiale.
Se infine vuoi la probabilità di A senza però saper usare il modello binomiale basta che fai casi favorevoli ( trovati col procedimento di cui sopra ) fratto quello probabili che sono sempre nel caso della moneta $2^n$
Si Luo, per trovare le probabilità di quell'evento bisogna trovare il numero di elementi di tale insieme, io avevo sbagliato a capire il problema infatti io stavo cercando di risolvere l'evento: "ci sono almeno 2 testa in A", per $n=3$ (come nell'esempio sopra) si risolve sommando tutti i casi in cui ci sono 3 testa e 2 testa, infatti si ha $$\binom{3}{2} + \binom{3}{3} = 4$$.
Infatti negli "n lanci si ottiene due volte testa" significa che ci sono solo 2 testa e non almeno 2 testa, questo è quello che non avevo capito.
Infatti negli "n lanci si ottiene due volte testa" significa che ci sono solo 2 testa e non almeno 2 testa, questo è quello che non avevo capito.
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