Somme aleatorie, esercizio
Ciao a tutti, sono bloccato su questo esercizio:
"Una moneta dà testa con probabilità $p$ e viene lanciata $N$ volte, dove $N$ è una v.a. di Poisson di parametro $lambda$. Indichiamo con $X$ e $Y$ il numero di teste e di croci ottenute rispettivamente.
a) Calcolare le leggi di $X$ e $Y$.
b) Dimostrare che $X$ e $Y$ sono indipendenti."
Non sto capendo proprio come impostarlo. Il testo mi suggerisce di usare questa proposizione:
$psi(z)=psi_N(psi_X(z))$
ma sono in alto mare lo stesso... Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie
"Una moneta dà testa con probabilità $p$ e viene lanciata $N$ volte, dove $N$ è una v.a. di Poisson di parametro $lambda$. Indichiamo con $X$ e $Y$ il numero di teste e di croci ottenute rispettivamente.
a) Calcolare le leggi di $X$ e $Y$.
b) Dimostrare che $X$ e $Y$ sono indipendenti."
Non sto capendo proprio come impostarlo. Il testo mi suggerisce di usare questa proposizione:
$psi(z)=psi_N(psi_X(z))$
ma sono in alto mare lo stesso... Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie
Risposte
non è difficile...è una probabilità composta....
ti faccio un esempio.
il numero di teste sarà ${0,1,2...}$
la tua probabilità è questa
$((n),(k))p^kq^(n-k)$
solo che il tuo n è aleatorio...e deve essere maggiore o uguale a k, ovviamente....metti insieme tutte le informazioni e vedi se riesci a trovare l'espressione della legge cercata....se non riesci ci guardo con calma...ci sono anche diversi esempi simili che ho già risolto (e uno te l'ho anche indicato da risolvere qualche giorno fa....)
in pratica la tua probabilità è la seguente:
$P(X=x)=sum_(n=x)^(+oo)(e^(-lambda)lambda^n)/(n!) ((n),(x))p^xq^(n-x)$
ora, dato che sei un ragazzo sveglio dovresti riuscire a semplificare un po' sta cosa ed arrivare ad un'espressione più umana...se non riesci ci provo io....ma non è che abbia più strumenti di te per semplificarla....ci devo ragionare...se invece riesci posta la soluzione così evito di spremere le meningi....puoi iniziare a porre $p=1/2$ così si semplificano un po' le cose....vedi se la somma si può scrivere in modo più intelligente e semplice...poi lo risolvi in generale...
ciao
ciao
ti faccio un esempio.
il numero di teste sarà ${0,1,2...}$
la tua probabilità è questa
$((n),(k))p^kq^(n-k)$
solo che il tuo n è aleatorio...e deve essere maggiore o uguale a k, ovviamente....metti insieme tutte le informazioni e vedi se riesci a trovare l'espressione della legge cercata....se non riesci ci guardo con calma...ci sono anche diversi esempi simili che ho già risolto (e uno te l'ho anche indicato da risolvere qualche giorno fa....)
in pratica la tua probabilità è la seguente:
$P(X=x)=sum_(n=x)^(+oo)(e^(-lambda)lambda^n)/(n!) ((n),(x))p^xq^(n-x)$
ora, dato che sei un ragazzo sveglio dovresti riuscire a semplificare un po' sta cosa ed arrivare ad un'espressione più umana...se non riesci ci provo io....ma non è che abbia più strumenti di te per semplificarla....ci devo ragionare...se invece riesci posta la soluzione così evito di spremere le meningi....puoi iniziare a porre $p=1/2$ così si semplificano un po' le cose....vedi se la somma si può scrivere in modo più intelligente e semplice...poi lo risolvi in generale...
ciao
ciao
ciao tommik, grazie per la risposta, ora ho in mente (credo) come svolgerlo.
i conti non sono un problema, mi interessavano le idee.
in pratica il numero di teste, che è dato dal solito schema successo-insuccesso di bernoulli, ha probabilità
$((n),(k))p^kq^(n-k)$
però il numero totale di lanci è esso stesso una v.a., quindi la probabilità delle teste è la probabilità dell'intersezione delle due leggi (di $N$ e di $X$)?
i conti non sono un problema, mi interessavano le idee.
in pratica il numero di teste, che è dato dal solito schema successo-insuccesso di bernoulli, ha probabilità
$((n),(k))p^kq^(n-k)$
però il numero totale di lanci è esso stesso una v.a., quindi la probabilità delle teste è la probabilità dell'intersezione delle due leggi (di $N$ e di $X$)?
"MrMojoRisin89":
quindi la probabilità delle teste è la probabilità dell'intersezione delle due leggi (di $N$ e di $X$)?
non proprio. ti ho messo anche la formula
"tommik":
in pratica la tua probabilità è la seguente:
$P(X=x)=sum_(n=x)^(+oo)(e^(-lambda)lambda^n)/(n!) ((n),(x))p^xq^(n-x)$
....solo che va semplificata...
possono uscire zero teste se:
escono zero teste con zero lanci+ escono zero teste con un lancio+escono zero teste con due lanci+....
il numero di lanci è una poisson
scusa, quindi la probabilità di una testa è data dall'intersezione delle due leggi, per ottenerle tutte devo fare la sommatoria dell'intersezione?
non sto capendo perché nella sommatoria c'è il prodotto delle due leggi...
non sto capendo perché nella sommatoria c'è il prodotto delle due leggi...
si, ho un po' di confusione in testa... per poter avere quel risultato dal teorema della probabilità totale, non dovrebbero essere $N$ e $X$ indipendenti? però a intuito direi che $X$ dipenda da $N$...
guarda bene la formula...è una combinazione della legge binomiale con i pesi fatti dalla distribuzione di poisson...ed $n$ variabile
fai un esempio...fissiamo T=2
come posso ottenere due teste se n varia? La probabilità è questa (poniamo anche $p=1/2$ tanto non si perde di generalità):
$((2),(2))(1/2)^2\cdotP(N=2)+((3),(2))(1/2)^3\cdotP(N=3)+((4),(2))(1/2)^4\cdotP(N=4)+....$
E' evidente che posso applicare il teorema della probabilità totale anche per eventi dipendenti basta fare: $SigmaP(A)P(B|A)$
...ed è ciò che ho fatto io con la formula che ti ho scritto dove $P(A)$ è la poisson e $P(B|A)$ è la binomiale condizionata al verificarsi di A, cioè al verificarsi del numero di lanci.
a me viene naturale ma non so come spiegartela....ti ripeto cerca degli esercizi simili che ce ne sono almeno 3 o 4 quasi identici
fai un esempio...fissiamo T=2
come posso ottenere due teste se n varia? La probabilità è questa (poniamo anche $p=1/2$ tanto non si perde di generalità):
$((2),(2))(1/2)^2\cdotP(N=2)+((3),(2))(1/2)^3\cdotP(N=3)+((4),(2))(1/2)^4\cdotP(N=4)+....$
E' evidente che posso applicare il teorema della probabilità totale anche per eventi dipendenti basta fare: $SigmaP(A)P(B|A)$
...ed è ciò che ho fatto io con la formula che ti ho scritto dove $P(A)$ è la poisson e $P(B|A)$ è la binomiale condizionata al verificarsi di A, cioè al verificarsi del numero di lanci.
a me viene naturale ma non so come spiegartela....ti ripeto cerca degli esercizi simili che ce ne sono almeno 3 o 4 quasi identici
Ho capito, provo a dirla in parole povere:
Mi chiede la legge di $X$, cioè: come posso avere $x$ teste?
Questo dipende sia dalla moneta, sia dal numero di lanci, che è variabile anche lui.
Quindi, per ogni valore che può assumere $N$, c'è una certa probabilità per avere le $x$ teste.
Siccome gli eventi sono disgiunti tra loro (il numero di lanci varia, ma o viene un numero o un altro), posso usare l'unione, e quindi la sommatoria, di tutte le probabilità di avere un certo numero di teste in base al numero di lanci, che sarebbe, in formule, l'espressione scritta da te. Giusto?
Mi chiede la legge di $X$, cioè: come posso avere $x$ teste?
Questo dipende sia dalla moneta, sia dal numero di lanci, che è variabile anche lui.
Quindi, per ogni valore che può assumere $N$, c'è una certa probabilità per avere le $x$ teste.
Siccome gli eventi sono disgiunti tra loro (il numero di lanci varia, ma o viene un numero o un altro), posso usare l'unione, e quindi la sommatoria, di tutte le probabilità di avere un certo numero di teste in base al numero di lanci, che sarebbe, in formule, l'espressione scritta da te. Giusto?
se volessi provare a risolverlo usando questa
come suggerito dal libro, (non sono sicuro che gli indici dell'equazione nella citazione debbano per forza coincidere con quelli del testo del problema) sapendo che la funzione generatrice di una v.a. di poisson è
$e^(lambda(z-1))$
e la f.g. di una binomiale è
$(1-p+zp)^n$
potrei arrivare prima alla soluzione? notando che magari il risultato è la f.g. di una v.a. con una certa legge?
"MrMojoRisin89":
$psi(z)=psi_N(psi_X(z))$
come suggerito dal libro, (non sono sicuro che gli indici dell'equazione nella citazione debbano per forza coincidere con quelli del testo del problema) sapendo che la funzione generatrice di una v.a. di poisson è
$e^(lambda(z-1))$
e la f.g. di una binomiale è
$(1-p+zp)^n$
potrei arrivare prima alla soluzione? notando che magari il risultato è la f.g. di una v.a. con una certa legge?
Ho risolto. In un paio di passaggi (e ricordando lo sviluppo in serie di $e^x$) la legge in questione si rivela una poisson di parametro $lambdap$
$P(X=x)=sum_(n=x)^(oo)e^(-lambda)lambda^n/(n!)((n),(x))p^xq^(n-x)=sum_(n=x)^(oo)e^(-lambda)lambda^n/(n!)(n!)/(x!(n-x)!)p^xq^(n-x)=$
$=(e^(-lambda)(plambda)^x)/(x!)sum_(n-x=0)^(oo)(lambdaq)^(n-x)/((n-x)!)=(e^(-lambda)(plambda)^x)/(x!)sum_(k=0)^(oo)(lambdaq)^k/(k!)=(e^(-lambda)(plambda)^x)/(x!)e^(lambdaq)=$
$=(e^(-lambda(1-q))(plambda)^x)/(x!)=(e^(-lambdap)(lambdap)^x)/(x!)~Po(lambdap)$
bell'esercizio!
(sarà stato l'ossobuco con il risotto che ho mangiato a schiarirmi le idee ma l'ho risolto a mente al ristorante....)
$P(X=x)=sum_(n=x)^(oo)e^(-lambda)lambda^n/(n!)((n),(x))p^xq^(n-x)=sum_(n=x)^(oo)e^(-lambda)lambda^n/(n!)(n!)/(x!(n-x)!)p^xq^(n-x)=$
$=(e^(-lambda)(plambda)^x)/(x!)sum_(n-x=0)^(oo)(lambdaq)^(n-x)/((n-x)!)=(e^(-lambda)(plambda)^x)/(x!)sum_(k=0)^(oo)(lambdaq)^k/(k!)=(e^(-lambda)(plambda)^x)/(x!)e^(lambdaq)=$
$=(e^(-lambda(1-q))(plambda)^x)/(x!)=(e^(-lambdap)(lambdap)^x)/(x!)~Po(lambdap)$
bell'esercizio!
(sarà stato l'ossobuco con il risotto che ho mangiato a schiarirmi le idee ma l'ho risolto a mente al ristorante....)
ci sono! allo stesso modo si dimostra che $Y$ è di poisson di parametro $lambda(1-p)$ (anche se bastava sostituire)
grazie!
grazie!
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