Somme aleatorie di variabili aleatorie
Salve, devo correggere un esercizio che fa cosi':
Un negozio e' visitato da x clienti al giorno, dove x e' una va di Poisson di parametro lambda. Ogni cliente, indipendentemente dagli altri, compra un numero aleatorio g di oggetti, g ha una pmd p_g(k)=y(1-y)^k, k=0,1,2,... Il costo c di ogni oggetto puo' essere modellizzato come una va esponenziale di parametro mu. Inoltre se un cliente compra piu' di G oggetti riceve uno sconto d (tra 0 e 1).
Se io volessi determinare il numero medio di clienti paganti come potrei fare? A me serve rigore matematico perche' se devo giustificare un errore devo dire il perche' e non perche' e' cosi' punto.
A rigor di logica il risultato dovrebbe essere E[x](1-P{un cliente non compra nulla}) Pero' non lo so giustificare. Graie.
Un negozio e' visitato da x clienti al giorno, dove x e' una va di Poisson di parametro lambda. Ogni cliente, indipendentemente dagli altri, compra un numero aleatorio g di oggetti, g ha una pmd p_g(k)=y(1-y)^k, k=0,1,2,... Il costo c di ogni oggetto puo' essere modellizzato come una va esponenziale di parametro mu. Inoltre se un cliente compra piu' di G oggetti riceve uno sconto d (tra 0 e 1).
Se io volessi determinare il numero medio di clienti paganti come potrei fare? A me serve rigore matematico perche' se devo giustificare un errore devo dire il perche' e non perche' e' cosi' punto.
A rigor di logica il risultato dovrebbe essere E[x](1-P{un cliente non compra nulla}) Pero' non lo so giustificare. Graie.
Risposte
Per determinare il numero medio di clienti paganti, dal punto di vista analitico, dovresti determinare la pmf della variabile aleatoria Y=clienti paganti, ovvero determinare
$Pr{Y=k}$ (1)
ovvero la probabilità che il numero di clienti paganti sia uguali a $k$. Poi, successivamente, calcoli
$E[Y]=\sum_{k=0}^{\infty}kPr{Y=k}$
Prova a pensare come calcolare la (1). Inoltre dovresti chiarire se lo sconto ti permette di non pagare (cosa indicano 0 e 1??).
$Pr{Y=k}$ (1)
ovvero la probabilità che il numero di clienti paganti sia uguali a $k$. Poi, successivamente, calcoli
$E[Y]=\sum_{k=0}^{\infty}kPr{Y=k}$
Prova a pensare come calcolare la (1). Inoltre dovresti chiarire se lo sconto ti permette di non pagare (cosa indicano 0 e 1??).
d ovvero lo sconto è una percentuale ma non tra 0 e 100 ma tra 0 e 1, diciamo inoltre non compresi cioè (0,1).
Ci ho pensato, potrei fare così:
P{Y=k}=∑i=n∞ P{Y=n|X=i}P{X=i}
in parola: la probabilità che i clienti paganti siano n è uguale alla somma da n a infinito della probabilità che i clienti paganti siano n dato che ci sono i clienti per la probabilità che i clienti siano i. Corretto?
Ora la probabilità che n su i paghino è una binomiale dove (1-y) è la probabilità di successo, y quella di insuccesso, i le prove totali e n i successi.
P{Y=n|X=i}=... Non saprei come scriverla con la tastiera.
A questo punto però i calcoli sono impossibili da eseguire. Ho sbagliato qualcosa penso.
Ci ho pensato, potrei fare così:
P{Y=k}=∑i=n∞ P{Y=n|X=i}P{X=i}
in parola: la probabilità che i clienti paganti siano n è uguale alla somma da n a infinito della probabilità che i clienti paganti siano n dato che ci sono i clienti per la probabilità che i clienti siano i. Corretto?
Ora la probabilità che n su i paghino è una binomiale dove (1-y) è la probabilità di successo, y quella di insuccesso, i le prove totali e n i successi.
P{Y=n|X=i}=... Non saprei come scriverla con la tastiera.
A questo punto però i calcoli sono impossibili da eseguire. Ho sbagliato qualcosa penso.
Si, ma comunque non staresti considerando tutti i casi. Se è possibile ottenere anche uno sconto del 100% allora anche in tale caso il cliente, pur avendo comprato degli oggetti, non risulterebbe pagante e quindi sarebbe da escludere. Comunque l'impostazione mi sembra corretta.
Oggi ho risvolto i conti e sono arrivato l risultato atteso ovvero quello del primo messaggio. Vorrei scrivere il procedimento ma siccome leggo da regolamento che bisogna usare un codice particolare che non ho proprio tempo di imparare, magari lo farò più avanti.
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