Sommatoria di Normali
Buondì,
Ho un serio problema su questo esercizio:
Date le variabili aleatorie indipendenti $ X_k, k = 1,2,...,N $ con distribuzione normale standard, calcolare :
la densità della variabile aleatoria $ Z_n = sum_(k=1)^nkX_k $ determinale il suo valore atteso e la sua varianza.
Allora io so che la sommatoria di normali, da come densità la somma dei valori attesi e delle varianze, sapendo che una normale standar ha come varianza 1 e come valore atteso 0 il fatto si fa facile... ma non capisco una cosa, la soluzione mette dice questo:
$ kX_k ~ N_(o,k^2) $ , Why? una risposta che mi è stata data è questa:
" perché le costanti quando escono dalla varianza sono al quadrato ", ero accorrente di questa proprietà delle varianze, ma non riesco proprio a capire il nesso.
Grazie in anticipo
Ho un serio problema su questo esercizio:
Date le variabili aleatorie indipendenti $ X_k, k = 1,2,...,N $ con distribuzione normale standard, calcolare :
la densità della variabile aleatoria $ Z_n = sum_(k=1)^nkX_k $ determinale il suo valore atteso e la sua varianza.
Allora io so che la sommatoria di normali, da come densità la somma dei valori attesi e delle varianze, sapendo che una normale standar ha come varianza 1 e come valore atteso 0 il fatto si fa facile... ma non capisco una cosa, la soluzione mette dice questo:
$ kX_k ~ N_(o,k^2) $ , Why? una risposta che mi è stata data è questa:
" perché le costanti quando escono dalla varianza sono al quadrato ", ero accorrente di questa proprietà delle varianze, ma non riesco proprio a capire il nesso.
Grazie in anticipo
Risposte
date n variabili $X_i$ iid distribuite come $N(0;1)$
la variabile $Z=sum_kkX_k$
si distribuisce ancora come una normale (per la proprietà di riproducibilità della normale e verificabile immediatamente con le proprietà della funzione generatrice dei momenti) di media
$E[Z]=E[sum_k kX_k]=E[X_1]sum_k k=0$
e varianza
$V[sum_k kX_k]=sum_k k^2*V(X_1)=(n(n+1)(2n+1))/6$
quello che dice il libro è giusto (anche se mi sembra un passaggio un po' inutile) ma è solo uno dei termini della sommatoria....poi devi calcolare la distribuzione della somma come ho fatto io e, come puoi notare, si fa tutto in un unico passaggio, senza stare a calcolare la distribuzione di ogni termine della somma e poi sommarle.....
la variabile $Z=sum_kkX_k$
si distribuisce ancora come una normale (per la proprietà di riproducibilità della normale e verificabile immediatamente con le proprietà della funzione generatrice dei momenti) di media
$E[Z]=E[sum_k kX_k]=E[X_1]sum_k k=0$
e varianza
$V[sum_k kX_k]=sum_k k^2*V(X_1)=(n(n+1)(2n+1))/6$
quello che dice il libro è giusto (anche se mi sembra un passaggio un po' inutile) ma è solo uno dei termini della sommatoria....poi devi calcolare la distribuzione della somma come ho fatto io e, come puoi notare, si fa tutto in un unico passaggio, senza stare a calcolare la distribuzione di ogni termine della somma e poi sommarle.....
allora i momenti un po l'abbiamo fatti, effettivamente anche quelli per me sono assolutamente un incognita, ho poco capito il loro utilizzo e come dovrei utilizzarli, se non ti crea troppo disturbo ne approfitto infatti per chiederti anche questa cosa sui momenti... tipo il momento secondo di una binomiale? bo.
ti ringrazio infinitamente, mi piace pure che ti ricordi di me ahhaha, comunque se ritieni piu sensato creare un argomento apposta per la domanda dei momenti lo faccio volentieri.
ti ringrazio infinitamente, mi piace pure che ti ricordi di me ahhaha, comunque se ritieni piu sensato creare un argomento apposta per la domanda dei momenti lo faccio volentieri.
il momento secondo di una binomiale lo si ricava subito conoscendo media e varianza
$V(X)=npq$
$E(X)=np$
e quindi $E(X^2)=V(X)+E^2(X)=npq+n^2p^2$
Ora dovrebbe essere tutto chiaro.
Quando calcoli la varianza, che i coefficienti diventino al quadrato è di immediata dimostrazione
$V[aX]=E[a^2X^2]-[E[aX]]^2=a^2E[X^2]-[aE(X)]^2=a^2*E[X^2]-a^2 *E^2(X)=a^2[E(X^2)-E^2(X)]=a^2V[X]$
$V(X)=npq$
$E(X)=np$
e quindi $E(X^2)=V(X)+E^2(X)=npq+n^2p^2$
Ora dovrebbe essere tutto chiaro.
Quando calcoli la varianza, che i coefficienti diventino al quadrato è di immediata dimostrazione
$V[aX]=E[a^2X^2]-[E[aX]]^2=a^2E[X^2]-[aE(X)]^2=a^2*E[X^2]-a^2 *E^2(X)=a^2[E(X^2)-E^2(X)]=a^2V[X]$
Grazie infinite 
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