Somma risultati lancio di dadi
Ciao, avrei un dubbio su questo esercizio: si lanciano 3 dadi e si sommano i risultati (siano essi $X_{j}$) confrontare la probabilità che questa somma (indicata con $X=X_{1}+X_{2}+X_{3}$) sia 9 con quella che sia 10.
La probabilità che sia 9 è data da $p(X_{1}+X_{2}+X_{3}=9)=\sum_{x_{1}+x_{2}+x_{3}=9}p(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3}}=\frac{|{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb{Z}^3|x_{1}+x_{2}+x_{3}=9,1<=x_{j}<=6}|}{6^3}$, dove ho usato la palese indipendenza stocastica dei numeri aleatori.
Dopodiché calcolando la cardinalità dell'insieme senza la limitazione superiore ottengo 28 soluzioni, 3 delle quali però sono da scartare perché vi figura un 7.
Stessa cosa con il 10 in cui però ottengo 36 soluzioni di cui 3 con un 7 e 3 con un 8, quindi $p(X=10)=30/6^3>p(X=9)=25/6^3$.
È corretto? C'è un modo migliore/più scaltro di farlo?
La probabilità che sia 9 è data da $p(X_{1}+X_{2}+X_{3}=9)=\sum_{x_{1}+x_{2}+x_{3}=9}p(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3}}=\frac{|{(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb{Z}^3|x_{1}+x_{2}+x_{3}=9,1<=x_{j}<=6}|}{6^3}$, dove ho usato la palese indipendenza stocastica dei numeri aleatori.
Dopodiché calcolando la cardinalità dell'insieme senza la limitazione superiore ottengo 28 soluzioni, 3 delle quali però sono da scartare perché vi figura un 7.
Stessa cosa con il 10 in cui però ottengo 36 soluzioni di cui 3 con un 7 e 3 con un 8, quindi $p(X=10)=30/6^3>p(X=9)=25/6^3$.
È corretto? C'è un modo migliore/più scaltro di farlo?
Risposte
"Reyzet":
1) È corretto?
2) C'è un modo migliore/più scaltro di farlo?
1) Ni.
2) Sì. Tieni presente che l'ho risolto a mente.
Prendiamo la prima richiesta: qualunque cosa esca al primo lancio (quindi con probabilità 1) la somma sarà 9 se nei due lanci successivi ottieni una somma compresa fra 3 e 8, ovvero in 25 casi.
Dopo i primi passi in statistica la somma del lancio di 2 dadi la visualizzi a mente, senza alcun conto; all'inizio puoi disegnare lo spazio campionario (una tabellina $6xx6$) e vedi il risultato graficamente.
Stesso discorso per la seconda richiesta...sono 27 casi e non 30. Infatti sui 36 casi possibili dello spazio campionario del lancio di due dadi ne scartiamo 9: ${(1;1),(2;1),(1;2),(6;4),(5;5),(4;6),(6;5),(5;6),(6;6)}$
Il metodo che uso è anche più semplice IMHO.
L'idea è è scrivere le terne possibili con la regola che ogni termine non possa essere inferiore al precedente.
Le terne ordinate la cui somma è 9 sono:
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
Una terna con tre termini diversi ha 3!=6 combinazioni possibili
Una terna con due termini diversi ha 3!/2!=3 combinazioni possibili
Una terna con tre termini uguali ha una sola comb. possibile.
Quindi la somma è 25 combinazioni su $6^3$ possibili
L'idea è è scrivere le terne possibili con la regola che ogni termine non possa essere inferiore al precedente.
Le terne ordinate la cui somma è 9 sono:
1 2 6
1 3 5
1 4 4
2 2 5
2 3 4
3 3 3
Una terna con tre termini diversi ha 3!=6 combinazioni possibili
Una terna con due termini diversi ha 3!/2!=3 combinazioni possibili
Una terna con tre termini uguali ha una sola comb. possibile.
Quindi la somma è 25 combinazioni su $6^3$ possibili
Un metodo quasi ridicolo qui ma potenzialmente utile in problemi più ositici e di guardare i coefficienti di $x^9$ e $x^10$ in $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3$. Con Wolfram Alpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 5E6%29%5E3 vediamo che sono $25$ e $27$. Avrei fatto questo problema a mano con uno dei metodi già visti.
Si, era 27, hai ragione, non avevo contato 3 soluzioni non buone.
Grazie a tutti delle risposte comunque.
@tommik: lo so, è quasi elementare come cosa, però ancora sono agli inizi di probabilità (beh oddio il corso è quasi finito, ma era il primo). Però non ho ben capito, sarà la stanchezza ma ho un dubbio stupido: qualunque cosa fissiamo al primo tiro come può essere che basti che la somma degli altri due è compresa tra 3 e 8? Per dire, se esce 2 in questo caso non andremmo a contare anche casi in cui la somma non fa 9?
@bokonon: di questo me ne ero accorto perché prima di calcolare il numero in effetti mi sono elencato tutte le possibilità a mano per vedere se fosse giusto, e ho notato la cosa che hai detto tu, ed è molto più comodo di fare il conto.
@ghira: molto bello questo!
Grazie a tutti delle risposte comunque.
@tommik: lo so, è quasi elementare come cosa, però ancora sono agli inizi di probabilità (beh oddio il corso è quasi finito, ma era il primo). Però non ho ben capito, sarà la stanchezza ma ho un dubbio stupido: qualunque cosa fissiamo al primo tiro come può essere che basti che la somma degli altri due è compresa tra 3 e 8? Per dire, se esce 2 in questo caso non andremmo a contare anche casi in cui la somma non fa 9?
@bokonon: di questo me ne ero accorto perché prima di calcolare il numero in effetti mi sono elencato tutte le possibilità a mano per vedere se fosse giusto, e ho notato la cosa che hai detto tu, ed è molto più comodo di fare il conto.
@ghira: molto bello questo!
"Reyzet":
Per dire, se esce 2 in questo caso non andremmo a contare anche casi in cui la somma non fa 9?
No.
$P(X_1=1)P(S_2=8|X_1=1)=1/6xx5/36$
$P(X_1=2)P(S_2=7|X_1=2)=1/6xx6/36$
Ecc ecc....
Alla fine trovi che la probabilità cercata è $1/6(5/36+6/36+5/36+4/36+3/36+2/36)=25/216$
Ma è tutta fatica sprecata
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