Somma logica di due eventi
Il quesito è il seguente: Stabilisci se è vera o falsa la seguente affermazione e giustifica la risposta.
Se ho un evemto E1 che ha probabilità 1/2 e un evento E2 che ha probablità 1/3, allora l'unione di E1 e E2 ha probabilità
1/2+1/3.
E' vero che l'unione di due eventi consiste nella somma delle probabilità dei due, perciò sarei tentata di dire che è vero...
ma poiché le due frazioni hanno denominatore diverso, in E1 c'è un caso favorevole su 2 possibili e in E2 1 caso favorevole su 3 possibili, la mia riflessione è che i due Eventi non siano sottoinsiemi dello stesso insieme universo (casi possibili) e quindi non possano essere considerati nella loro somma...
a meno che... si tratta di eventi dipendenti?
Ma l'analisi sugli eventi dipendenti non tira in ballo il prodotto e non la somma? Cioè l'intersezione e non l'unione?
Chiedo cortesemnte lumi. Grazie
Se ho un evemto E1 che ha probabilità 1/2 e un evento E2 che ha probablità 1/3, allora l'unione di E1 e E2 ha probabilità
1/2+1/3.
E' vero che l'unione di due eventi consiste nella somma delle probabilità dei due, perciò sarei tentata di dire che è vero...
ma poiché le due frazioni hanno denominatore diverso, in E1 c'è un caso favorevole su 2 possibili e in E2 1 caso favorevole su 3 possibili, la mia riflessione è che i due Eventi non siano sottoinsiemi dello stesso insieme universo (casi possibili) e quindi non possano essere considerati nella loro somma...
a meno che... si tratta di eventi dipendenti?
Ma l'analisi sugli eventi dipendenti non tira in ballo il prodotto e non la somma? Cioè l'intersezione e non l'unione?
Chiedo cortesemnte lumi. Grazie
Risposte
Se i due eventi sono incompatibili, allora $P(E_1 uu E_2)= P(E_1) +P(E_2)$, ma in generale non è vero.
Ti faccio un esempio banale.
Situazione lancio di un dado a 6 facce.
$E_1= $"esce un numero pari" allora $P(E_1)=3/6=1/2$
$E_2= $"esce un numero multiplo di 3" allora $P(E_2)=2/6=1/3$
Tuttavia $P(E_1 uu E_2)= 4/6=2/3 !=P(E_1) +P(E_2)=5/6$
Ti faccio un esempio banale.
Situazione lancio di un dado a 6 facce.
$E_1= $"esce un numero pari" allora $P(E_1)=3/6=1/2$
$E_2= $"esce un numero multiplo di 3" allora $P(E_2)=2/6=1/3$
Tuttavia $P(E_1 uu E_2)= 4/6=2/3 !=P(E_1) +P(E_2)=5/6$
Grazie Sara, anche se non ho capito da dove ottieni $ 4/6 $.
Allora non devo farmi sviare dai due denominatori diversi, perché potrebbero essere l'esito di una riduzione a minimi termini della frazione.
Quindi, tornando al mio quesito, la risposta è affermativa: l'union dei due eventi è la somma logica... ma come giustifco la risposta? Devo trovare un esempio come quello che hai fatto?
O c'è un altro modo più pertinente?
Grazie
Allora non devo farmi sviare dai due denominatori diversi, perché potrebbero essere l'esito di una riduzione a minimi termini della frazione.
Quindi, tornando al mio quesito, la risposta è affermativa: l'union dei due eventi è la somma logica... ma come giustifco la risposta? Devo trovare un esempio come quello che hai fatto?
O c'è un altro modo più pertinente?
Grazie
"tinex":
Grazie Sara, anche se non ho capito da dove ottieni $ 4/6 $.
I casi possibili nel lancio di un dado sono 1, 2, 3, 4, 5, 6
i casi favorevoli per l'evento $E_1$ sono 2, 4, 6
I casi favorevoli per l'evento $E_2$ sono 3, 6
I casi favorevoli per $E_1uuE_2$ sono 2, 3, 4, 6
quindi $P(E_1)=3/6=1/2 $
$P(E_2) =2/6=1/3$
$ P(E_1 uu E_2)=4/6=2/3$
Come puoi dire che $P(E_1 uu E_2)= P(E_1) +P(E_2)$ se abbiamo appena dimostrato che in generale vale il contrario?
La risposta corretta sarebbe $P(E_1 uu E_2)= P(E_1) +P(E_2) - P(E_1 nn E_2)$
Allora, io non direi che è proprio il contrario, piuttosto che la formula suggerita ($ 1/2 + 1/3 $ ) è incompleta, poiché quella precia sarebbe:
$ P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2) $
Tuttavia, se i due eventi E1 e E2 fossero incompatibili, potrebbe essere valida dal momento che $ P(E1∩E2) = 0 $
$ P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2) $
Tuttavia, se i due eventi E1 e E2 fossero incompatibili, potrebbe essere valida dal momento che $ P(E1∩E2) = 0 $
Un altro caso: "se ho due eventi E1 e E2 allora la probabilità che avvenga almeno uno dei due eventi è maggiore o uguale alla probabilità dei songoli eventi"
Devo ragionare sull'eventualità che si verifichi E1 o E2 (o tutti e due), è ancora un caso di somma logica, giusto?
Sicché: $ P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2) $, il cui risultato non potrà essere inferiore ad E1 o E2, perciò rispondo che è vero.
Devo ragionare sull'eventualità che si verifichi E1 o E2 (o tutti e due), è ancora un caso di somma logica, giusto?
Sicché: $ P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2)−P(E1∩E2) $, il cui risultato non potrà essere inferiore ad E1 o E2, perciò rispondo che è vero.
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