Somma (finita e infinita) di misure (di probabilità)
Ciao, il mio obiettivo finale sarebbe quello di provare che, data una famiglia numerabile ($P^n$) di misure di probabilità, allora anche una loro combinazione lineare convessa $P=\sum_n a_n P^n$ (cioè tale che gli $a_i$ sono positivi e verificano $\sum_n a_i=1$) è una probabilità e per ogni funzione $g$ misurabile e limitata risulta
$\int g\ dP=\sum_n a_n \int g\ dP^n$.
Ma partiamo da cose banali con cui riesco in qualche modo a barcamenarmi
Caso finito.
Definiamo la somma di due misure $\mu$ e $\nu$ (definite sulla stessa $\sigma$-algebra $\mathcal{E}$) come
$(\mu+\nu)(A)=\mu(A)+\nu(A)$, e in modo analogo la somma di $n$ misure e la combinazione lineare convessa (finita).
Non sembra difficile provare che $P$ è una probabilità e che vale la formula dell'integrale: per vedere che è una probabilità basta verificare gli assiomi, e per l'integrale si parte dalle funzioni indicatrici, si estende per linearità alle funzioni semplici, si estende per approssimazione con funzioni semplici alle funzioni misurabili positive e infine si arriva alle funzioni limitate per convergenza dominata.
Ma nel caso infinito come si procede?
Una volta provato che la somma infinita di misure è una misura, sembra facile provare che una combinazione convessa di probabilità è una probabilità, ma per la somma infinita di misure come la mettiamo? Come provo la $\sigma$-additività della somma infinita di misure?
$\int g\ dP=\sum_n a_n \int g\ dP^n$.
Ma partiamo da cose banali con cui riesco in qualche modo a barcamenarmi
Caso finito.
Definiamo la somma di due misure $\mu$ e $\nu$ (definite sulla stessa $\sigma$-algebra $\mathcal{E}$) come
$(\mu+\nu)(A)=\mu(A)+\nu(A)$, e in modo analogo la somma di $n$ misure e la combinazione lineare convessa (finita).
Non sembra difficile provare che $P$ è una probabilità e che vale la formula dell'integrale: per vedere che è una probabilità basta verificare gli assiomi, e per l'integrale si parte dalle funzioni indicatrici, si estende per linearità alle funzioni semplici, si estende per approssimazione con funzioni semplici alle funzioni misurabili positive e infine si arriva alle funzioni limitate per convergenza dominata.
Ma nel caso infinito come si procede?
Una volta provato che la somma infinita di misure è una misura, sembra facile provare che una combinazione convessa di probabilità è una probabilità, ma per la somma infinita di misure come la mettiamo? Come provo la $\sigma$-additività della somma infinita di misure?
Risposte
Hai provato a sviluppare la sigma additività:
$P(bigcup_i A_i) = sum_n a_n P^n(bigcup_i A_i)$ dove gli $ A_i $ sono una collezione contabile di disgiunti?
$P(bigcup_i A_i) = sum_n a_n P^n(bigcup_i A_i)$ dove gli $ A_i $ sono una collezione contabile di disgiunti?
Sì, ho provato, e mi sono impantanato a quando dovrei scambiare le sommatorie, cioè provare che
$\sum_n \sum_i c_{n,i}=\sum_i \sum_n c_{n,i}$
Questo sono abbastanza sicuro che non vale in generale, ma visto che in questo caso i $c_{n,i}=a_nP^n(A_i)$ sono positivi, magari...
Aggiungo che nel caso della combinazione convessa di probabilità il discorso forse si semplifica perché ho a che fare con serie sicuramente convergenti, ma per una somma infinita di misure non necessariamente finite...
$\sum_n \sum_i c_{n,i}=\sum_i \sum_n c_{n,i}$
Questo sono abbastanza sicuro che non vale in generale, ma visto che in questo caso i $c_{n,i}=a_nP^n(A_i)$ sono positivi, magari...
Aggiungo che nel caso della combinazione convessa di probabilità il discorso forse si semplifica perché ho a che fare con serie sicuramente convergenti, ma per una somma infinita di misure non necessariamente finite...
Guarda ti rispondo di fretta, poi ne parliamo con calma.
Il fatto che i termini sono positivi ti permette di scambiare le sommatorie (indipendentemente dalla convergenza o meno).
Se ci rifletti un attimo ti accorgi che c'e' il teorema di Fubini-Tonelli dietro...
Il fatto che i termini sono positivi ti permette di scambiare le sommatorie (indipendentemente dalla convergenza o meno).
Se ci rifletti un attimo ti accorgi che c'e' il teorema di Fubini-Tonelli dietro...
Dici di utilizzare l'inversione dell'ordine di integrazione?
Cioè,
$a_nP^n(A_i)=\int a_n I_{A_i)dP^n$
$\sum_i a_nP^n(A_i)=\sum_i\int a_n I_{A_i)dP^n=\int \sum_i a_n I_{A_i)dP^n=\int a_n I_{\cup_iA_i)dP^n$
Ma quando poi vado a sommare su $n$ mi trovo una somma di misure, mentre Fubini-Tonelli riguarda il prodotto di misure...
Cioè,
$a_nP^n(A_i)=\int a_n I_{A_i)dP^n$
$\sum_i a_nP^n(A_i)=\sum_i\int a_n I_{A_i)dP^n=\int \sum_i a_n I_{A_i)dP^n=\int a_n I_{\cup_iA_i)dP^n$
Ma quando poi vado a sommare su $n$ mi trovo una somma di misure, mentre Fubini-Tonelli riguarda il prodotto di misure...
Il teorema di fubini lo applichi alle due sommatorie.
Considera i due spazi
$(NN,P(NN),mu)$ e
$(NN,P(NN),nu)$ dove le misure sono quelle di conteggio
e considerane lo spazio prodotto.
In questi spazi ( sigma finiti) gli integrali sono le sommatorie e la funzione da considerare è $f(n,i)=c_{n,i}$.
Formalizza bene, sistema i dettagli e fammi sapere.
Ciao
Considera i due spazi
$(NN,P(NN),mu)$ e
$(NN,P(NN),nu)$ dove le misure sono quelle di conteggio
e considerane lo spazio prodotto.
In questi spazi ( sigma finiti) gli integrali sono le sommatorie e la funzione da considerare è $f(n,i)=c_{n,i}$.
Formalizza bene, sistema i dettagli e fammi sapere.
Ciao
AHHH! Ho capito! Devo usare altre due misure per applicare Fubini-Tonelli...
$\int\int_{\mathbb{N}\times\mathbb{N}} c_{n,i}\ d(\mu\times\nu)=\int_\mathbb{N}(\int_\mathbb{N} c_{n,i}\ d\nu)d\mu=\int_\mathbb{N}(\int_\mathbb{N} c_{n,i}\ d\mu)d\nu$
che negli spazi che hai introdotto tu si riscrive proprio
$\sum_{\mathbb{N}\times\mathbb{N}} c_{n,i}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{i\in\mathbb{N}} c_{n,i}=\sum_{i\in\mathbb{N}}\sum_{n\in\mathbb{N}} c_{n,i}$
E con questo si vede che anche la combinazione lineare (eventualmente infinita) di misure è una misura.
Per provare la formula dell'integrale nel caso infinito direi che si possa procedere come nel caso finito: funzioni indicatrici, funzioni semplici, funzioni positive, funzioni qualsiasi.
Per esempio, con la funzione indicatrice $g=I_A$
$\int I_A\ dP=P(A)=\sum_n a_n P^n(A)=\sum_n a_n\int I_A\ dP^n$.
$\int\int_{\mathbb{N}\times\mathbb{N}} c_{n,i}\ d(\mu\times\nu)=\int_\mathbb{N}(\int_\mathbb{N} c_{n,i}\ d\nu)d\mu=\int_\mathbb{N}(\int_\mathbb{N} c_{n,i}\ d\mu)d\nu$
che negli spazi che hai introdotto tu si riscrive proprio
$\sum_{\mathbb{N}\times\mathbb{N}} c_{n,i}=\sum_{n\in\mathbb{N}}\sum_{i\in\mathbb{N}} c_{n,i}=\sum_{i\in\mathbb{N}}\sum_{n\in\mathbb{N}} c_{n,i}$
E con questo si vede che anche la combinazione lineare (eventualmente infinita) di misure è una misura.
Per provare la formula dell'integrale nel caso infinito direi che si possa procedere come nel caso finito: funzioni indicatrici, funzioni semplici, funzioni positive, funzioni qualsiasi.
Per esempio, con la funzione indicatrice $g=I_A$
$\int I_A\ dP=P(A)=\sum_n a_n P^n(A)=\sum_n a_n\int I_A\ dP^n$.
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