Somma di VC non indipendenti

[Netfrog]

Ciao a tutti,
ora ho una domanda teorica riguardo alla somma e differenza di VC.
Nel caso in cui abbia X e Y indipendenti allora ho che la densità di probabilità della somma (o differenza che sia) è data dalla convoluzione delle due densità di prob di X e Y e questo discende dal fatto che la densità di probabilità congiunta è pari al prodotto tra le marginali di X e Y

come spiegato molto bene anche qui: viewtopic.php?f=34&t=152956&hilit=somma+variabili+casuali

ma se X e Y non sono indipendenti? cosa posso dire?
E' una domanda puramente teorica quindi vorrei qualcosa a livello concettuale o delle formule, se ce ne sono. Altrimenti sarei tentato di rispondere scrivendo tutte le varie formule di correlazione, covarianza, marginali, valori attesi congiunti ma non so se andrei fuori tema

grazie

[Lo_zio_Tom]

Usi il metodo generale

$ F_(z )=int int_(D) f(xy) dxdy $

Proviamo questo

$ f (x; y)=2$ per $0
Calcolare la distribuzione di $ z=x+y $

nel caso in esame le variabili non sono indipendenti. Per rendertene conto puoi calcolare le marginali e controllare che il prodotto non ti da la congiunta. Oltretutto che non siano indipendenti lo si vede subito dal fatto che il dominio non è rettangolare.

A conti fatti abbiamo:

$F_(Z)(z)-= {{: ( 0 , ;z<0 ),( z^2/2 , ;0 <=z <1 ),( 1-(2-z)^2/2 ,;1 <=z <2 ),( 1 , z>=2 ) :}$

da cui derivando otteniamo una densità triangolare: $f_(Z)(z)=(1-|1-z|)I_((0;2))(z)$

Infatti, notiamo che $z in (0;2)$ e la sua CDF è data dall'area del grafico seguente moltiplicato per la congiunta



se non ti trovi con i conti fatti sentire

[Netfrog]

In questo caso ho che la probabilità di densità congiunta è pari a 2 nel triangolo di vertici (0,0) (0,1) (1,0) e zero altrove.
Per determinare le marginali uso le formule:

\(\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dy \)

\(\displaystyle f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{XY}(x,y)dx \)

ottenendo rispettivamente:

\(\displaystyle f_x(x)=-2x+2;0\leq x<1 \)

\(\displaystyle f_y(y)=-2y+2;0\leq y<1 \)

che a occhio non può fare 2 quindi non sono indipendenti.

Quindi se mi dovesse chiedere all'esame somma e differenza di VC non indipendenti potrei fare questo esempio? A livello puramente di formule non si può dir molto quindi, ok

[Lo_zio_Tom]

Il dominio è il triangolo di vertici $(0,0) $ $(0,1) $ $(1,1) $

La $ f (y) $ è sbagliata. Viene

$ f (y)=int_(0)^(y) 2dx=2y $

[Netfrog]

Giusto avevo mal interpretato il triangolo di dominio. Non è (1,0) il terzo vertice ma (1,1) dato che y>x

[Netfrog]

Per quanto riguarda il caso di z tra 0 e 1 mi torna quello che esce a te sia calcolando l'area del triangolo che integrando:

\(\displaystyle \int_{0}^{z/2}dx\int_{x}^{z-x}2dy= z^2/2 \)

Diverso invece per il caso z tra 1 e 2 dove io integrerei da x a 1 lungo y e da 0 a z/2 lungo x ma non credo si faccia cosi dato che non esce...
Come determino l'ascissa in questo caso?

grazie

[Lo_zio_Tom]

Se proprio vuoi calcolare la CDF con l'integrale doppio invece che usare il metodo geometrico devi partizionare il dominio in due


$2int_(0)^(z-1)dxint_(x)^(1)dy+2int_(z-1)^(z/2)dxint_(x)^(z-x)dy$

[Netfrog]

Ok! Ora mi torna, anche facendo 1-l'area del triangolino in alto all'interno del triangolo della congiunta. Che agonia

Grazie

[Ste_1990]

Ciao a tutti, rinviato fino a che ho potuto, ma alla fine anch'io devo dare sto diavolo di esame.
Una domanda, verosimilmente idiota, chiedo scusa in anticipo.

Per cominciare, si fa differenza tra il caso 0
A livello di calcolo puramente geometrico, come mai l'area del triangolino quando 0 Io (da perfetto inesperto qual sono) vedo che la base è si z, ma l'altezza è z/2 , quindi facendo molto semplicemente (base*altezza)/2 mi verrebbe $ z^2/4 $ , dove sbaglio?

Per quanto riguarda il caso 1 ( Perchè ad esempio se procedo vedendo dove si intersacano le rette y=x e y=z-x trovo il punto x=y=z/2, a questo punto per avere l'altezza farei 1-z/2 ritrovandomi con un $ (2-z)/2 $ che non è l'altezza usata da voi )

Chiedo scusa per la rottura, grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

Per quanto riguarda $0
Per $1

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[Ste_1990]

"tommik":Per quanto riguarda $0
Per $1

Moltiplico per 2 . . Perchè?
Centra con $ f(x,y)=2 $ ?

Grazie

[Lo_zio_Tom]

Certo. La CDF è il risultato dell'integrale. Dato che la densità è costante è come dire area di integrazione per $ f (xy) $

quando $1

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[Ste_1990]

Momento che forse sto finalmente cominciando ad imparare qualcosa! (emozione *_*)

Quindi se volessi formulare una regola generale, quando calcolo geometricamente l'area (Salvo i casi in cui faccio 1 - etc.. si pensi al caso 1

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[Lo_zio_Tom]

La CDF non è l'area di integrazione. È il volume del solido con base l'area di integrazione . Quindi se la densità è uiforme puoi fare come hai detto

[Ste_1990]

Grazie della risposta, me lo segno e continuo a spulciare gli altri topic sulle trasformazioni per fare esercizio!