Sigma-field
Ciao a tutti! avrei bisogno di una mano con questo esercizio. Ho la soluzione ma non riesco a capirla molto bene. Magari è banale, ma il linguaggio è molto matematico, magari voi potete aiutarmi in una "traduzione colloquiale" 
Allora , il quesito dice: sia $Omega= {0,1,2,... }.$ Sia $A$ l'insieme di sottoinsiemi di $Omega$ che siano finiti o il cui complemento sia infinito. Si dica se $A$ è un $sigma-field$.
La risposta dice no perchè $A$ non è chiuso nelle operazioni sui countable set. O qualcosa del genere. E' scritto in inglese "not closed under countable set operations".
Io non so cosa significhi "countable set operation".
Vi ringrazio per il vostro aiuto!!!
Allora , il quesito dice: sia $Omega= {0,1,2,... }.$ Sia $A$ l'insieme di sottoinsiemi di $Omega$ che siano finiti o il cui complemento sia infinito. Si dica se $A$ è un $sigma-field$.
La risposta dice no perchè $A$ non è chiuso nelle operazioni sui countable set. O qualcosa del genere. E' scritto in inglese "not closed under countable set operations".
Io non so cosa significhi "countable set operation".
Vi ringrazio per il vostro aiuto!!!
Risposte
grazie!!! dire che omega ha la cardinalità dei naturali, vuol dire, in parole povere, che omega è l'insieme di tutti i numeri naturali e quindi è infinito?
ma quindi se invece di omega fatto di tutti i numeri naturali avessi avuto diciamo i numeri naturali da 1 a 7, allora in quel caso sì che avrei avuto una sigma-algebra, vero?
grazie!!!
ma quindi se invece di omega fatto di tutti i numeri naturali avessi avuto diciamo i numeri naturali da 1 a 7, allora in quel caso sì che avrei avuto una sigma-algebra, vero?
grazie!!!
Vedo che studi probabilita' in un contesto di misura. Dove studi?
Non sapevo inoltre che sigma-field volesse dire sigma-algebra.
Comunque nel tuo caso non hai una sigma-algebra, pero' l'esempio che ti fa Sergio e' sbagliato.
Infatti l'unione che ti fa lui ti restituisce $Omega=NN$ ma il suo complemento e' l'insieme vuoto che e' finito (il complemento va fatto rispetto all'insieme sul quale si costruisce la sigma algebra). Con questo dimostri che $Omega$ appartiene alla sigma. Si puo anche facilmente verificare che dato un insieme nella sigma il suo complemento appartiene alla sigma (seconda proprieta').
Il problema sorge sull'unione numerabile. Ti conviene prendere (ci sono altre maniere) gli insiemi di Sergio ma solo quelli dispari che ti crea una successioni numerabile di eventi della sigma. L'unione ti da l'insieme dei numeri dispari che non e' finito ed il suo complemento e' l'insieme dei pari che a sua volta non e' finito e quindi l'unione non e' nella sigma algebra.
Puoi facilmente verificare che invece e' chiuso rispetto all'unione finita, e dunque hai un'algebra ma non una sigma algebra.
Non sapevo inoltre che sigma-field volesse dire sigma-algebra.
Comunque nel tuo caso non hai una sigma-algebra, pero' l'esempio che ti fa Sergio e' sbagliato.
Infatti l'unione che ti fa lui ti restituisce $Omega=NN$ ma il suo complemento e' l'insieme vuoto che e' finito (il complemento va fatto rispetto all'insieme sul quale si costruisce la sigma algebra). Con questo dimostri che $Omega$ appartiene alla sigma. Si puo anche facilmente verificare che dato un insieme nella sigma il suo complemento appartiene alla sigma (seconda proprieta').
Il problema sorge sull'unione numerabile. Ti conviene prendere (ci sono altre maniere) gli insiemi di Sergio ma solo quelli dispari che ti crea una successioni numerabile di eventi della sigma. L'unione ti da l'insieme dei numeri dispari che non e' finito ed il suo complemento e' l'insieme dei pari che a sua volta non e' finito e quindi l'unione non e' nella sigma algebra.
Puoi facilmente verificare che invece e' chiuso rispetto all'unione finita, e dunque hai un'algebra ma non una sigma algebra.
cioè tu mi dici di considerare l'insieme $A$ di sottoinsiemi finiti di $Omegaa$ dato dall'unione di tutti i singoli elementi dispari, e quindi $A_0 = {0}$, $A_1={1}$ e così via, così tutto $A$ è una successine numerabile di eventi, non finita e il cui complemento è non-finito pure (sono tutti i numeri pari) come la traccia richiede.
A quel punto realizzo che l'unione dei due, ossia di $A$ e del suo complemento non è finita e quindi non può costituire una sigma-algebra.
E' questo quello che mi consigli ? perchè se è così allora io non ho capito...
nel senso, io ho 3 proprietà che, una volta che son tutte verificate, sono sicura che si tratta di una sigma-algebra
e queste 3 propriertà sono
1. $Omega$ e l'insieme vuoto devono appartenere alla $A$-tonda
2. $A$ e $A^c$ devono appartenere a $Omega$ e quindi ad $A$-tonda
3. l'unione delle partizioni di $A$-tonda deve appartenere a $A$-tonda
allora, chi è $A$-tonda adesso? quali partizioni creo tali che almeno una delle 3 proprietà non è verificata?
chiedo venia per la mia bassissima elasticità mentale sull'argomento...
A quel punto realizzo che l'unione dei due, ossia di $A$ e del suo complemento non è finita e quindi non può costituire una sigma-algebra.
E' questo quello che mi consigli ? perchè se è così allora io non ho capito...
nel senso, io ho 3 proprietà che, una volta che son tutte verificate, sono sicura che si tratta di una sigma-algebra
e queste 3 propriertà sono
1. $Omega$ e l'insieme vuoto devono appartenere alla $A$-tonda
2. $A$ e $A^c$ devono appartenere a $Omega$ e quindi ad $A$-tonda
3. l'unione delle partizioni di $A$-tonda deve appartenere a $A$-tonda
allora, chi è $A$-tonda adesso? quali partizioni creo tali che almeno una delle 3 proprietà non è verificata?
chiedo venia per la mia bassissima elasticità mentale sull'argomento...
Non capisco bene quello che vuoi dire: provo ad interpretare.
Nel punto A se hai un insieme $A=Omega$ allora $A^c=Omega\A=emptyset$. La cardinalita dell'insieme vuoto e' 0 proprio perche' e' sottoinsieme di qualsiasi altro insieme.
Per quanto riguarda i due insiemi da te scritti l'insieme A e un insieme "ordinario" l'altro contiene elementi ed insiemi.
Nel punto A se hai un insieme $A=Omega$ allora $A^c=Omega\A=emptyset$. La cardinalita dell'insieme vuoto e' 0 proprio perche' e' sottoinsieme di qualsiasi altro insieme.
Per quanto riguarda i due insiemi da te scritti l'insieme A e un insieme "ordinario" l'altro contiene elementi ed insiemi.
No ma gli elementi di $Omega$ sono appunto elementi e non insiemi.
Prendi $Omega={1,2,3}$ ed $\mathcal{A}={Omega, \emptyset ,{1,2},{3}}$...
Stavo scrivendo ma leggo che hai aggiunto una frase.
La cardinalita' del vuoto e' 0 che e' minore della cardinalita' dei naturali.
Prendi $Omega={1,2,3}$ ed $\mathcal{A}={Omega, \emptyset ,{1,2},{3}}$...
Stavo scrivendo ma leggo che hai aggiunto una frase.
La cardinalita' del vuoto e' 0 che e' minore della cardinalita' dei naturali.
@Nico
Quello che dicevo io era: prendi gli insiemi $A_i={2*i}$ per $i=0,1,2,...$ che sono nella sigma. Ne fai l'unione ed ottieni $A=uu_(i=0)^(infty)A_i={0,2,4,6,...}$
Se ne prendi il complemento ottieni $Omega - A={1,3,5,...}$; entrambi non sono finiti dunque A non appartiene alla sigma.
Quello che dicevo io era: prendi gli insiemi $A_i={2*i}$ per $i=0,1,2,...$ che sono nella sigma. Ne fai l'unione ed ottieni $A=uu_(i=0)^(infty)A_i={0,2,4,6,...}$
Se ne prendi il complemento ottieni $Omega - A={1,3,5,...}$; entrambi non sono finiti dunque A non appartiene alla sigma.
Il tutto sta nel comprendere la definizione di insieme finito. Qua c'e' la storia delle biezioni pero' alla fine della solfa l'insieme vuoto viene preso come finito con cardinalita' 0.
in questo momento sono molto confusa.
perdonatemi se vi chiedo di ritornare per un attimo al mio banale quesito.
allora, io ho $\mathcal{A}={Omega, \emptyset ,{1},{2},{3}.....}$
e $A= {0,1,3,5,7,...}$ e $A^c ={2,4,6,8,.... }$
perchè la terza proprietà non è rispettata?
perdonatemi se vi chiedo di ritornare per un attimo al mio banale quesito.
allora, io ho $\mathcal{A}={Omega, \emptyset ,{1},{2},{3}.....}$
e $A= {0,1,3,5,7,...}$ e $A^c ={2,4,6,8,.... }$
perchè la terza proprietà non è rispettata?
$Omega=NN$
$\mathcal(A)={A sube Omega\ |\ A text( e' finito o ) A^c :=Omega-A text( e' finito)}$.
Ci chiediamo: $Omega$ appartiene ad $mathcal(A)$?.
Si perche' $Omega^c =Omega-Omega=emptyset$ che e' finito.
$\mathcal(A)={A sube Omega\ |\ A text( e' finito o ) A^c :=Omega-A text( e' finito)}$.
Ci chiediamo: $Omega$ appartiene ad $mathcal(A)$?.
Si perche' $Omega^c =Omega-Omega=emptyset$ che e' finito.
Nicos87:
la terza proprieta' dice che presa una successione numerabile di insiemi di $mathcal(A)$ la loro unione appartiene ancora ad $mathcal(A)$.
Ora prendi la successione ${0},{2},{4},{6},...$, che e' formata da eventi di $mathcal(A)$ (perche' ciascuno insieme e' finito (e' formato da un solo elemento)).
Ne fai l'unione ed ottieni l'insieme ${0,2,4,6,...}$ (i numeri pari).
Ora chiediti se questa appartiene ad $mathcal(A)$.
Per come e' difinita la sigma-algebra (vedi mio post precedente) questo insieme od il suo complementare devono risultare finiti.
L'insieme ${0,2,4,6,...}$ non e' finito ed il suo complementare $Omega-{0,2,4,6,...}={1,3,5,...}$ non e' finito.
Quindi ${0,2,4,6,...}$ non appartiene ad $mathcal(A)$. Hai dunque trovato una successione di eventi di $mathcal(A)$ tale che la loro unione non appartiene ad $mathcal(A)$ e dunque non e' una sigma algebra.
la terza proprieta' dice che presa una successione numerabile di insiemi di $mathcal(A)$ la loro unione appartiene ancora ad $mathcal(A)$.
Ora prendi la successione ${0},{2},{4},{6},...$, che e' formata da eventi di $mathcal(A)$ (perche' ciascuno insieme e' finito (e' formato da un solo elemento)).
Ne fai l'unione ed ottieni l'insieme ${0,2,4,6,...}$ (i numeri pari).
Ora chiediti se questa appartiene ad $mathcal(A)$.
Per come e' difinita la sigma-algebra (vedi mio post precedente) questo insieme od il suo complementare devono risultare finiti.
L'insieme ${0,2,4,6,...}$ non e' finito ed il suo complementare $Omega-{0,2,4,6,...}={1,3,5,...}$ non e' finito.
Quindi ${0,2,4,6,...}$ non appartiene ad $mathcal(A)$. Hai dunque trovato una successione di eventi di $mathcal(A)$ tale che la loro unione non appartiene ad $mathcal(A)$ e dunque non e' una sigma algebra.
@ Sergio: Non capisco l'osservazione che fai nel tuo ultimo post.
Esistono insiemi infiniti numerabili cha appartengono all'algebra.
Esistono insiemi infiniti numerabili cha appartengono all'algebra.
No mi stavo divertendo...
C'e' sempre da imparare per tutti: sia per te che per me.
Spero che Nicos87 non si sia confusa, se hai problemi chiedi.
C'e' sempre da imparare per tutti: sia per te che per me.
Spero che Nicos87 non si sia confusa, se hai problemi chiedi.
In questo momento mi sento molto demoralizzata in tutta sincerità... temo proprio di non aver capito
ma perchè una sigma-algebra deve essere finita? o che cos'è che deve essere finito e perchè?
tutto quello che io so su questo argomento è che se io ho un' $Omega$ , posso prendere dei "pezzetti" di questa $Omega$ e chiamarli $\mathcal{A}$
ora questi "pezzetti uniti" chiamati $\mathcal{A}$ sono anche detti sigma-algebra se quelle 3 famose proprietà sono rispettate da questi "pezzetti uniti"
tipo io ho un tavolo che si chiama $Omega$, lo divido a pezzettini, prendo alcuni di questi pezzettini li metto insieme e li chiamo $\mathcal{A}$
ora posso dire di aver formato una sigma-algebra se
1. il tavolo appartiene a $\mathcal{A}$ e già qui non capisco... non dovrebbe essere il contrario? che $\mathcal{A}$ appartiene a $omega$
2. e no , continuando con questo esempio non mi trovo per niente... credo proprio che non capisco nemmeno di cosa stiamo parlando a questo punto
ma perchè una sigma-algebra deve essere finita? o che cos'è che deve essere finito e perchè?
tutto quello che io so su questo argomento è che se io ho un' $Omega$ , posso prendere dei "pezzetti" di questa $Omega$ e chiamarli $\mathcal{A}$
ora questi "pezzetti uniti" chiamati $\mathcal{A}$ sono anche detti sigma-algebra se quelle 3 famose proprietà sono rispettate da questi "pezzetti uniti"
tipo io ho un tavolo che si chiama $Omega$, lo divido a pezzettini, prendo alcuni di questi pezzettini li metto insieme e li chiamo $\mathcal{A}$
ora posso dire di aver formato una sigma-algebra se
1. il tavolo appartiene a $\mathcal{A}$ e già qui non capisco... non dovrebbe essere il contrario? che $\mathcal{A}$ appartiene a $omega$
2. e no , continuando con questo esempio non mi trovo per niente... credo proprio che non capisco nemmeno di cosa stiamo parlando a questo punto
Allora visto che ho creato confusione provo a rimediare.
Dato un insieme $Omega$ non vuoto una sigma algebra ($mathcal(A)$) su $Omega$ e' un insieme di insieme (ovvero e' un insieme i cui elementi sono a loro volta insiemi piu' precisamemte sottoinsiemi di $Omega$) tale che:
i) $Omega in mathcal(A)$
ii) $A in mathcal(A)$ implica $A^c in mathcal(A)$
iii) presa una qualunque successione numerabile $A_1,A_2,...$ di $mathcal(A)$ la loro unione appartiene ad $mathcal(A)$.
Prendi un tavolo quadrato. Lo dividi in quattro parti ($A_1,...,A_4$, che ti giocano il ruolo dei sottoinsiemi di $Omega$ e quindi sono a loro volta insiemi).
Se prendi $mathcal(A)={Omega,emptyset,A_1,A_2,A_3,A_4}$ non hai una sigma algebra perche' $A_1uuA_2 !in mathcal(A)$, quindi non vale la terza proprieta'; non vale neanche la seconda.
Se prendi invece $mathcal(A)={Omega,emptyset,A_1,A_2uuA_3uuA_4}$ questa e' invece una sigma-algebra (prova a farti tutte le possibili strutture.)
In questo caso dunque prendi: il tavolo intero, il niente, la parte uno e le parti 2,3,4 in una botta sola.
Dato un insieme $Omega$ non vuoto una sigma algebra ($mathcal(A)$) su $Omega$ e' un insieme di insieme (ovvero e' un insieme i cui elementi sono a loro volta insiemi piu' precisamemte sottoinsiemi di $Omega$) tale che:
i) $Omega in mathcal(A)$
ii) $A in mathcal(A)$ implica $A^c in mathcal(A)$
iii) presa una qualunque successione numerabile $A_1,A_2,...$ di $mathcal(A)$ la loro unione appartiene ad $mathcal(A)$.
Prendi un tavolo quadrato. Lo dividi in quattro parti ($A_1,...,A_4$, che ti giocano il ruolo dei sottoinsiemi di $Omega$ e quindi sono a loro volta insiemi).
Se prendi $mathcal(A)={Omega,emptyset,A_1,A_2,A_3,A_4}$ non hai una sigma algebra perche' $A_1uuA_2 !in mathcal(A)$, quindi non vale la terza proprieta'; non vale neanche la seconda.
Se prendi invece $mathcal(A)={Omega,emptyset,A_1,A_2uuA_3uuA_4}$ questa e' invece una sigma-algebra (prova a farti tutte le possibili strutture.)
In questo caso dunque prendi: il tavolo intero, il niente, la parte uno e le parti 2,3,4 in una botta sola.
così va molto meglio! grazie!!!!!
Figurati per me è sempre un piacere.
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