Sigma Algebra

[gbspeedy]

Sia $\Omega=[0,1 ]$ con la sigma algebra di Lebesgue e la misura di Lebesgue P.
Ho due funzioni X e Y su $\Omega$ con X($\omega)=\omega^2$ e Y$(\omega)=1_(1/3,2/3)(\omega)$ (funzione indicatrice)
Devo trovare $\sigma(X), \sigma(Y) ,\sigma(XY)$.

Io so che $\sigma(X)={X^-1(B) : B\in B(R)} $ sono le controimmagini dei booreliani.

$X^-1(a,b)= [0,1] if a<0,b>1; [0,sqrt(b)] if a<0,01;[sqrt(a),sqrt(b)] if 0 $

quindi posso dire che $\sigma(X)=B(R)\cap \Omega$oppure $\sigma(X)=B(0,1)$?

[gbspeedy]

è giusto?

[DajeForte]

Insomma. Nell'ultima espressione usi cose diverse tra loro: una sigma algebra su Omega, una su R ed Omega. Sono cose diverse tra loro.

Però forse capisco cosa intendi e direi che non sei lontano. Prova a formalizzare un po meglio ed anche a come dimostrare che effettivamente quella è la sigma algebra che cerchi.

[gbspeedy]

la sigma algebra generata da X sono i boreliani sull'intervallo [0,1] quindi scrivo $\sigma(X)$=B([0,1])?

[DajeForte]

Si è giusto, ma non lo hai dimostrato fino in fondo (a meno che non hai fatto delle considerazioni che non hai scritto).

[gbspeedy]

ogni intervallo di tipo [a,b] in [0,1] è controimmagine di un certo intervallo.Quindi la sigma algebra di X contiene ogni intervallo chiuso di [0,1] e contiene la sigma algebra generata da qs intervalli che è B([0,1]).

[DajeForte]

Si. Con questo dimostri che Borel([0,1]) è un sottoinsieme di sigma(X). Dovresti dimostrare anche l'inclusione inversa, che ad esempio è vera perché la funzione è continua (dunque preimmagini di borelliani di R sono borelliani di [0,1]).