Si può dimostrare?

[mobley]

Sia:
- $a=b$ entrambi costanti;
- $c\in L^+ nn L^-$;
- $f(c)=\alphax+\betay$ con $x,y$ noti e $\alpha,\beta$ costanti;
- $Sup_(L^-)f(c)<=a<=Inf_(L^+)f(c)$.
C'è un modo per dimostrare che $a=b=f(c)$?

[Luca.Lussardi]

Non so altri, ma io non ho capito nulla...

[mobley]

"Luca.Lussardi":Non so altri, ma io non ho capito nulla...

Ottimo

Vabbè, provo a spiegarmi meglio...
Definiamo:
1) $mathbb(E)^mathbb(Q)[e^(-r\tau_0)\psi(\tau_0,S_(\tau_0))]:= Sup_(\tau)mathbb(E)^mathbb(Q)[e^(-r\tau)\psi(\tau,S_(\tau))]$, dove ${\psi(t,S_t)}_(t\in[0,T])$ è un processo stocastico tale che $\psi:[0,T] xx \mathbb(R)->\mathbb(R)$ è una funzione convessa e lipschitziana e $\tau_0$ è il più piccolo elemento del vettore ${\tau_0,...\tau_n}$ espressione di una serie di istanti temporali.
2) $\Theta:={\theta_0,...,\theta_n}$ un vettore tale per cui $\forall \theta:=(\alpha,\beta) \in \Theta , V_t(\theta):=\alpha_tS_t+\beta_tB_t$, con $\alpha_t,\beta_t \in \mathbb(R)^+$.
Assumiamo poi che sotto certe condizioni $V_t(\theta)$ replica esattamente $\psi$, ovvero $V_t(\theta)-= \psi(t,S_t)$ (c.d. "strategia ottima").
3) ${ ( max{L_(BS)f,\psi-f}=0 ),( f(T,\cdot)=\psi(T,\cdot) ):}$ (con la prima espressione definita in $[0,T[ xx \mathbb(R)$ e la seconda definita in $\mathbb(R)^+$) un problema di massimizzazione con disuguaglianza differenziale che tramite approccio variazionale (ringrazio te Luca e @dissonance per il chiarimento) riscriviamo $ { ( L_(BS)f<=0 ),( f>=\psi ),( (f-\psi)L_(BS)f=0 ),( f(0,\cdot)=\psi(0,\cdot) ):} $.
Sia inoltre $L_(BS)f:=(\partialf)/(\partialt)+(r-q)S(\partialf)/(\partialS)+1/2sigma^2S^2(\partial^2f)/(\partialS^2)-rf$ un operatore differenziale in $f$.
4) $f(t,x):=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r(T-t))\psi(\tau,S_(\tau)^(t,x))]$, con $S^(t,x)$ soluzione del moto browniano geometrico che descrive la dinamica di $S_t$ variabile dipendente per $\psi$.
5) $\mathcal(A):=\Theta$ un certo insieme, e siano $\mathcal(A)_\psi^+:={\theta\in\mathcal(A) : V_t(\theta)>=\psi(t,S),\forallt\in[0,T]}$ e $\mathcal(A)_\psi^(-):={\theta\in\mathcal(A) , \exists\tau : \psi(\tau,S_\tau)>=V_\tau(\theta)}$ due sottoinsiemi di $\mathcal(A)$ tali che si dimostra $Sup_(\theta\in \mathcal(A)_(\psi)^(-))V_(\tau)(\theta)<=f<=Inf_(\theta\in \mathcal(A)_(\psi)^(+))V_(t)(\theta)$.

Inoltre si dimostra che se $\theta \in \mathcal(A)_\psi^+ nn \mathcal(A)_\psi^-$ valgono le seguenti condizioni:
6) $V_0(\theta)=\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r\tau_0)\psi(\tau_0,S_(\tau_0)]=Sup_(\tau)\mathbb(E)^(\mathbb(Q))[e^(-r\tau)\psi(\tau,S_(\tau)]$;
7) $\tau_0=Inf_(t\in[0,T]){f(t,S)=\psi(t,S)}$.

A questo punto ho chiamato per comodità $a=f(t,S)$, $b=\psi(t,S)$, $c=\theta$, $f(c)=V_t(\theta)$, $L^(+)=\mathcal(A)_\psi^+$ e $L^(-)=\mathcal(A)_\psi^-$.

Sapendo tutto questo, c'è un modo per derivare la relazione $ tilde(S) (t):=Inf_(S>0){f(t,S)>\psi(t,S)}$?

[axpgn]

Io penso che qui ci vogliano 92 minuti di applausi (come per la corazzata Potemkin), perché sintetizzare tutto questo po' po' di roba in quelle quattro righe ed essere convinti che la gente comprenda è da record mondiale.

[mobley]

"axpgn":Io penso che qui ci vogliano 92 minuti di applausi (come per la corazzata Potemkin), perché sintetizzare tutto questo po' po' di roba in quelle quattro righe ed essere convinti che la gente comprenda è da record mondiale.

Beh, è anche da record mondiale il tempo che ho impiegato per scrivere tutto in latex quindi mi prendo il buono del tuo applauso

[axpgn]

Sinceramente c'è del buono nel mio applauso però la prossima volta pensaci bene prima

[mobley]

Aggiungo che secondo me c'è da sfruttare le proprietà di martingalità perché ${\tau<=t}=F_t$, con $F_t$ le informazioni a disposizione in tale istante e quindi un probabile condizionamento per una martingala...

[dissonance]

"mobley":Sia:
- $a=b$ entrambi costanti;
- $c\in L^+ nn L^-$;
- $f(c)=\alphax+\betay$ con $x,y$ noti e $\alpha,\beta$ costanti;
- $Sup_(L^-)f(c)<=a<=Inf_(L^+)f(c)$.
C'è un modo per dimostrare che $a=b=f(c)$?

Io invece faccio un applauso sincero. Questo è proprio quello che intendevo, quando dicevo che dovresti sintetizzare le tue domande. Io, ad esempio, di sicuro non mi metterò a leggere il secondo post, con tutta quella roba a me sconosciuta.

L'unico problema è che non hai definito tutto; cos'è $L^+$? Cos'è $L^-$? Se $a$ è uguale a $b$, che senso ha dar loro due nomi diversi?

[mobley]

"dissonance":Io invece faccio un applauso sincero.

Spero di sbagliarmi nell'avvertire un certo velo di ironia

"dissonance":Cos'è $L^+$? Cos'è $L^-$?

$L^+$ rappresenta $\mathcal(A)_\psi^+ sub \mathcal(A):=\Theta$. Viceversa $L^-$.

"dissonance": Se $a$ è uguale a $b$, che senso ha dar loro due nomi diversi?

Il fatto che $a=f(t,S)$ e $b=\psi(t,S)$ (con $a=b$) dipende dal fatto che $f$ è il prezzo di un contingent claim di payoff $\psi$. Ogni derivato è scritto su un certo underlying (nel senso che il valore di $f$ - che può essere un'opzione, un future, un opzione esotica etc. - "deriva" dal prezzo del suo sottostante $S$ - che a sua volta potrà essere un'azione, un future etc.) Perciò se ${S_t}_(t\in [0,T])$ variabile aleatoria sottostante assume un certo valore al tempo $t$, il profitto che garantirà il derivato sarà un certo $\psi$ e, di conseguenza, tale derivato avrà un certo valore $f$, più o meno alto a seconda del profitto garantito. Più semplicemente, ogni titolo derivato ha un valore $f$ di payoff $\psi$. Quindi in assenza di arbitraggio (alias quelle "certe condizioni" che ho citato prima), che sono strategie d'investimento che pur non richiedendo investimenti iniziali e non esponendo a rischi garantiscono un profitto positivo, vale la condizione $\psi=V_t$: qualunque strategia di arbitraggio $V_t$ non potrà far altro che replicare esattamente il payoff garantito dal derivato e quindi il mercato sarà "equo".

Banalmente, $f$ è una conseguenza di $\psi$: se $S$ aumenta, allora $\psi$ aumenta e quindi anche $\f$. Esprimono due concetti differenti ma da un punto di vista matematico si possono interpretare come la stessa cosa. Il problema sta nel fatto che la variazione in aumento non è sempre la stessa:

può accadere che un titolo sia "sopravvalutato" dal mercato rispetto al profitto che realmente garantisce

Quindi la disequazione di quella formula che vorrei capire da dove esce rappresenta tutti i punti in cui la funzione $f$ assume valori maggiori di $\psi$, con $\psi$ barriera fissata. Si tratta quindi di un problema a frontiera libera.

[gabriella127]

Mobley, poiché sono il tuo avvocato difensore , vorrei spezzare un lancia in tuo favore, ma anche un lancia in favore di chi dice che non si capisce niente e di chi ti invita a essere più sintetico (spezzo tre lance )

Tu sei sicuramente molto bravo e andrai avanti negli studi in modo brillante, e le carenze di esposizione quando parli di matematica sono secondo me la conseguenza di quello che ti dicevo il modo 'a tirar via' di insegnare la matematica a economia/finanza. Per cui non si acquisisce la forma mentis e il metodo matematico.
La matematica a economia, nella mia esperienza, non è che è una matematica sbagliata, ne' non rigorosa, è una matematica 'ritagliata' sulle applicazioni e senza approfondimento teorico.

Quindi:
1) Non devi pensare che le cose che fai tu siano pane quotidiano per tutti quelli che hanno studiato matematica. Sono cose complesse. Come ti dicevo, a economia ti ammollano cose avanzate (e spesso particolari) come se fosse acqua fresca e uno pensa che i matematici le sanno fin dalla più tenera infanzia.
Hai messo in Analisi matematica di base, un post che non è di analisi e men che meno di base. Si parla di processi stocastici, moti browniani, martingale, quindi va caso mai in Statistica e probalilità.
2) La 'mattonata' che hai scritto, sicuramente con il sudore della fronte e che comunque ti sarà utile, ha molti difetti di esposizione.
Soprattutto: non si introducono cose, simboli, lettere, funzioni, senza dire cosa sono, a parole. A meno che non siano cose ovvie tipo $R^n o L^p$.
I simboli variano da libro a libro, una cosa che un libro chiama 'filippo' un altro lo chiama 'francesco'.
Ad esempio, che cos'è $S_t$,?Che cosa è $B_t$?
Dici che $ Theta =(vartheta _1,...vartheta _n) $ , poi più sotto dici $ A=Theta $ un 'certo insieme'.
Introduci $L_(BS)f$ senza dire cos'è, e poi vari righi più sotto dici 'Sia l'operatore differenziale $L_(BS)f$.

Ripeto, ti dico queste cose con stima, se i matematici ti fanno causa sarò al tuo fianco .

[dissonance]

Sulla stima sono d'accordo, e prima non ero affatto ironico. Mi sembra che Gabriella abbia centrato in pieno il nocciolo della questione, si vede che sa bene di cosa parla.

[ot]Una ultima, piccola, critica: un problema di questo thread è il titolo. Non significa niente, a questo punto sarebbe quasi meglio lasciarlo in bianco.[/ot]

[gabriella127]

Grazie mille dissonance. E' che ci sono passata.

[mobley]

"gabriella127":Mobley, poiché sono il tuo avvocato difensore

Manca solo da definire la parcella a questo punto

"gabriella127": Non devi pensare che le cose che fai tu siano pane quotidiano per tutti quelli che hanno studiato matematica. Sono cose complesse. Come ti dicevo, a economia ti ammollano cose avanzate (e spesso particolari) come se fosse acqua fresca e uno pensa che i matematici le sanno fin dalla più tenera infanzia.
Hai messo in Analisi matematica di base, un post che non è di analisi e men che meno di base. Si parla di processi stocastici, moti browniani, martingale, quindi va caso mai in Statistica e probalilità.

Certo, ci mancherebbe. Diciamo che ho scritto il post in piena "disperazione", con la speranza che magari anche solo una risposta di chiarimento mi avrebbe fatto riflettere e accendere la famosa lampadina.

"gabriella127": Non si introducono cose, simboli, lettere, funzioni, a meno che non siano cose ovvie tipo $R^n o L^p$. Ad esempio, che cos'è $S_t$,?Che cosa è $B_t$?

Come credo saprai, $S$ è il prezzo di un certo sottostante. Come ho scritto nel mio precedente post, è anch'esso una v.a. che segue un MBG. $B$ è invece quello che in gergo definiamo "money market account", vale a dire il prezzo di un titolo "non rischioso" con dinamica $dB_t=rB_tdt$ ed $r$ coefficiente deterministico.

"gabriella127":Dici che $ Theta =(vartheta _1,...vartheta _n) $ , poi più sotto dici $ A=Theta $ un 'certo insieme'.

In realtà su questo non c'è nulla da aggiungere: $\Theta$ è un vettore n-dimensionale di elementi $\theta:=(\alpha,\beta)$ (con $\alpha$ e $\beta$ che non ho detto cosa siano, ok, ma in quanto costanti non c'era bisogno. Per completezza, sono rispettivamente la quota di una ricchezza "ideale" unitaria investita nel titolo rischioso $S$ e la rimanente quota nel titolo non rischioso $B$: quindi $\alpha$ tot. di ricchezza investita in $S$ e $\beta=1-\alpha$ tot. di ricchezza investita in $B$). Ora, siccome ogni $\theta$ si può "immaginare" (come ho già scritto) come se fosse una strategia di arbitraggio associata ad un portafoglio $V$ il cui valore è $V_t:=\alpha_tS_t+\beta_tB_t$ (il quale portafoglio, tuttavia, se ci poniamo per ipotesi in "assenza" di arbitraggio finisce per replicare esattamente il payoff $\psi$ del derivato di valore $f$), e siccome ogni $\mathcal(A)$ definisce "proprio" l'insieme delle strategie di arbitraggio, allora $\Theta-=\mathcal(A)$.
Ma anche qui, sapere tutto questo dal punto di vista puramente matematico ritengo sia ininfluente.

"gabriella127":Introduci $L_(BS)f$ senza dire cos'è, e poi vari righi più sotto dici 'Sia l'operatore differenziale $L_(BS)f$.

Ho già definito $L_(BS)$ nel mio ultimo post, in spoiler.

In tutto ciò, ho solo risposto per dare una morte dignitosa a questo post, morte che si preannuncia tra 3...2...1...

Ripeto, ho scritto il post sperando davvero che in base alle informazioni che ho dato (che è tutto quello che bisogna sapere) qualcuno mi aiutasse a capire da dove uscisse fuori quella condizione, magari anche ragionando insieme. Ma posso capire che come per me molte cose di matematica pura sono complicate, per i molti matematici qui vale l'opposto.

[gabriella127]

"mobley":[quote="gabriella127"]Mobley, poiché sono il tuo avvocato difensore

Manca solo da definire la parcella a questo punto
[/quote]

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[Gughigt]

@mobley se non ricordo male la dimostrazione che cerchi puoi trovarla in: Bjørk, T. “Arbitrage theory in continuous time” che è IL manuale

[mobley]

"Gughigt":@mobley se non ricordo male la dimostrazione che cerchi puoi trovarla in: Bjørk, T. “Arbitrage theory in continuous time” che è IL manuale

Grazie mille Gughigt, lo cerco subito online e vedo se lo trovo sennò domani passo in biblioteca