Si forma una variabile aleatoria a partire da due variabili

[stefanomusilli96]

Non conosco l'argomento molto bene, quindi ho bisogno di aiuto. Ecco la traccia:

Si considerino due variabili congiuntamente gaussiane X~N($1,1$), Y~N($2,4$), con coefficiente di covarianza p(x,y)=$1/2$, e si formi la variabile aleatoria
Z=$X-tY$
a) si determini la pdf di Z
b) si determini il valore di T per cui la varianza è unitaria
c) Per tale valore di t su determini P($|Z|>1$)

Ecco il mio tentativo, probabilmente sbagliato:

a) E[Z]=$E[X]-t*E[Y]=1-2t$
V[Z]=$V[X]+t^2*V[Y]=1+4t^2$
Z~N($1-2t,1+4t^2$)
P(Z=z)=$1/(sqrt (2*pi*(1+4t^2)))*e^(-(z-(1-2t)^2)/(2 (1+4t^2)))$

b) $1+4t^2=1$ -> t=0

c) Z=X-0Y=X
P(|Z|>1)=$1-P(0<=Z<=1)=1-(P(Z=1)-P(Z=0))=1-((1/sqrt(2*pi*1)*e^(-(1-1)^2/(2*1)))-(1/(sqrt(2*pi*1))*e^(-(0-1)^2/(2*1))))=0.84$

[Lo_zio_Tom]

"stefanomusilli96":Non conosco l'argomento molto bene,

Ecco il mio tentativo, probabilmente sbagliato:

scusa ma se dici di non conoscere bene l'argomento dovresti prima studiarlo per bene....non credi?

comunque sì, è già sbagliato dal calcolo della varianza di Z....

il valore di t per cui la Z ha varianza unitaria è ovviamente anche $t=0$ ma in questo caso risulterebbe $Z=X$....mentre Z ha varianza unitaria anche per $t=1/2$

oltre non sono andato perché vorrei vedere una bozza un po' più ragionata

[stefanomusilli96]

Qual'è il modo corretto? Dire solo che ho sbagliato non mi è di nessun aiuto.

[Lo_zio_Tom]

"stefanomusilli96":Qual'è il modo corretto? Dire solo che ho sbagliato non mi è di nessun aiuto.

l'aiuto c'è, eccome se c'è.....basta sapere come calcolare $V(X+-aY)$

Per controllo, la soluzione è questa:

$Z~N(1-2t;4t^2-2t+1)$

Escludendo la soluzione banale $t=0$ per la quale avremmo che $Z-=X$, abbiamo:

$V(Z)=1$ per $t=1/2$

e quindi $Z~N(0;1)$

per cui $P(|Z|>1)=2*Phi(-1)~~0.32$

[stefanomusilli96]

Grazie. Ho solo un problema. Non è $4t^2-t+1$, essendo V[Z]=$V[X]+t^2*V[Y]+2*(-t)*1/2$ ?

[Lo_zio_Tom]

come vedi, con un minimo di attenzione sei già sulla strada giusta....

io ho interpretato il tuo testo così: $rho_(XY)=1/2$..quindi la covarianza è $rho*sigma_X * sigma_Y =1$

il resto della soluzione è praticamente immediato con l'uso delle tavole

[stefanomusilli96]

Quindi $1/2$ è la correlazione? E la covarianza è uguale a $1/2*sqrt(1)*sqrt(4)=1$ ? Ok grazie.

[Lo_zio_Tom]

giusto per fare chiarezza, ed usare i termini corretti

Correlazione = $E(X*Y)$

Covarianza = $E(X*Y)-E(X)E(Y)$

Coefficiente di correlazione lineare = $rho_(XY)=(Cov(X,Y))/(sigma_X*sigma_Y)$

questa è la terminologia che si usa su tutti i principali testi di Statistica. Il termine coefficiente di covarianza non l'ho mai sentito....e di libri ne ho letti diversi....la tua notazione p(x,y) è ancora più blanda.....perché ho immaginato che p=$rho$

Quindi già che ci siamo, ti chiedo cortesemente di scrivere i testi nel modo più completo e chiaro possibile, in modo da evitare fraintendimenti e perdite di tempo.

grazie

[stefanomusilli96]

Sì il simbolo è quello, non p. Non sapevo come farlo. Il testo dice coefficiente di covarianza, non è colpa mia. Comunque grazie.