Serie Storiche

[squalllionheart]

Scusate ho un processo AR(2) e mi chiede di dire per quali valori dei parametri il processo è lineare.
Va bene dire che la linearità a dimostrata nel momento in cui dimostro la stazionarietà e scrivo i valori dei parametri per cui è dimostrata la stazionarietà?

[markowitz]

Scusa mi potresti dire su che libro hai trovato un esercizio con questa richiesta ? Come già ti avevo fatto intendere mi sembra una richieta priva di senso. A meno di desidrare una risposta del tipo: per qualsiasi valore dei parametri il processo è lineare ... certo essendo un AR una combinazione lineare di valriabili ritardate ... era meglio chiedere cos'è un AR.
La stazionarietà poi è altra cosa, anche un AR non stazionario è un processo lineare.

N.B: quanto detto vale per quelo che comunemente si intende con la sigla AR(2) che si esprime nella forma che hai già esposto altrove ... più in generale questo vale per gli AR(p) ... dopodichè modelli non lineari si esistono.

[squalllionheart]

Sull'esame di econometria….
Infatti anche a me la cosa non suona bene caro markowitz e mi scuso per ridondanza della domanda….e ti assicuro che ho guardato sui principali testi di econometria in circolazione Green Johnston Verbeek….

In effetti ci sono AR che sono NON sono stazionari ma che sono ovviamente lineari….
Ma secondo te se dico che è dimostrata le stazionarietà allora sono anche lineari va bene? Cioè è un po' come se dicessi se una funzione se è derivabile è certa anche continuità?

[squalllionheart]

Dopo tanto cercare sulle sue dispense ho trovato:

Linear processes: ARMA
Important class of stochastic processes made by linear process :
$y_t = \mu +\epsilon_t+ \phi_1 \epsilon_{t-1} + \phi_2 \epsilon_{t-2} + … = μ + \sum_{i=0}^{\infty} \phi_i \epsilon_{t-i} $
We say that $y_t$ represents a moving average of the $\epsilon_t$ with coefficients $\phi_i$.
The sequence of (non-random and non-time varying) coefficients {ψ} must satisfy,
as a minimal condition:

$\sum_{i=1}^{\infty} \phi_i^2 < \infty$

Quindi a quanto pare lineare significa per lui scrivabile come combinazione di $\epsilon_i$, e sembra sia chiarito anche perché voglia la stazionarietà…perché se un processo AR( p ) in generale se è stazionario può essere invertito e se può essere invertito allora posso scriverlo con un MA…. e tutto torna sembrerebbe… tu che dici Marcoviz?

[markowitz]

"squalllionheart":
Quindi a quanto pare lineare significa per lui scrivabile come combinazione di $ \epsilon_i $, e sembra sia chiarito anche perché voglia la stazionarietà…perché se un processo AR( p ) in generale se è stazionario può essere invertito e se può essere invertito allora posso scriverlo con un MA…. e tutto torna sembrerebbe… tu che dici Marcoviz?

Ti dico che bisogna stare molto attenti, in generale niente è più facile che confondersi
immaginavo che saremmo andati a parare qui, ed è proprio un punto in cui bisogna fare attenzione a cosa diciamo.
In generale se si pretende il tecnicismo si deve fare estrema attenzione, è facilissimo dire cose inesatte (la matematica è bastarda )... se ci accontentiamo di essere via via meno tecnici ... allora si può diventare via via sempre più liberali su ciò che diciamo ... via via si rischia poi di diventare anche poco chiari e ... andando ancora un po via via ... ecco perché gli economisti dicono un sacco di frasi contorte ed anche di ... cazzate

perdonamo l'umorismo

comunque:
- I processi $AR$ ed $MA$ sono lineari per definizione e quindi lo sono anche gli $ARMA$ e questo a prescindere da stazionarietà ed invertibilità
- I processi AR se stazionari ammettono una rappresentazione $MA(oo)$
- l'invertibilità (del processo) riguarda la componente $MA$, se questa è invertibile allora ammette anche una rappresentazione $AR(oo)$
- la stazionarietà dei processi AR passa attraverso l'invertibilità del polinomio nell'operatore ritardo (non è l' $AR$ in se ad essere "invertito" o comunque non è per questa componente che si parla di invertibilità). Se la stazionarietà vale, allora il processo può essere rappresentato come una combinazione lineare infinita delle innovazioni, un $MA(oo)$ appunto ... ma capisci che è una cosa molto diversa rispetto a dire che il processo $AR(2)$ è lineare se è stazionario.

Nella frase che riporti della dispensa non mi sembra ci sia nulla di contraddittorio con quanto ho detto e questo è rassicurante.
In ogni caso vai magari a farti un giro a ricevimento per farti chiarire i dubbi direttamente dal prof. ... ed in ogni caso scrivi ciò che vuole lui

[squalllionheart]

Ciao, la definizione fornita dal proff si discosta leggermente da quello che pensavo io nel senso che parla di processi lineari e li scrive come combinazione lineare di white noise, mentre io pensavo che potessimo parlare di processi lineari in due casi o nel caso di combinazioni lineari di white noise, che combinazioni lineari di osservazioni passate, e sembra che un AR non sia sempre lineare con la sua definizione, perché un AR con la sua definizione è lineare solo se lo posso scrivere come combinazione lineare di white noise e questo è possibile se e solo se è stazionario…

Detto questo sembrerebbe che un MA è sempre lineare, mentre un AR è lineare se è stazionario…

Ho trovato una dispensa che parla del Principio di dualità tra AR(p) e MA(q) afferma il seguente asserto:

1A) Un processo a media mobile è sempre stazionario ma per essere invertibile le radici del polinomi caratteristico devono essere esterne al cerchio unitario
1B) Un processo a autoregressivo è sempre invertibile ma per essere stazionario le radici del polinomio caratteristico devono essere esterne al cerchio unitario
2) Un AR(p) può essere sempre espresso come una media mobile di infiniti termini, cioè
Un MA(q) può essere espresso, se invertibile, come un processo autoregressivo infinito, cioè
.
3) I coefficienti di autocorrelazione totale di un MA(r ) si comportano analogamente ai coeff. di autocorrelazione parziale di un AR(r ).

Ti ringrazio mi hai aiutato a chiudere il cerchio, grazie per la pazienza .