Sequenza Diabolica :P
È data una sequenza di 10000 cifre scelte a caso (le cifre vanno da zero a nove). Calcolare la probabilità che la sequenza contenga la stringa 55555 almeno una volta. La stringa deve contenere esattamente cinque cinque (cioè 555555 non va bene).
Mi vergogno un po' a chiedre perché sembra facilino, ma proprio non mi viene in mente l'idea giusta.
Qualcuno mi dà uno spunto?
Grazie
Mi vergogno un po' a chiedre perché sembra facilino, ma proprio non mi viene in mente l'idea giusta.
Qualcuno mi dà uno spunto?
Grazie
Risposte
Un consiglio.
Fai lo stesso esercizio con 10 cifre (da 0 a 9), sempre con l'uscita del "55555".
Puoi farlo anche a mente, poi estendi il problema, e lo generalizzi.
Fai lo stesso esercizio con 10 cifre (da 0 a 9), sempre con l'uscita del "55555".
Puoi farlo anche a mente, poi estendi il problema, e lo generalizzi.
Il problema lì per lì non mi sembra così facile facile, come uno potrebbe desumere dalla riposta di Umby.
Illustro una possibile via risolutiva (che però si rivela un cul de sac)
Conviene distinguere subito i due casi :
a) la stringa di cinque 5 compare in posizione terminale
b) la stringa di cinque 5 compare in mezzo alla stringa di N simboli
Caso a)
-2 possibilità: 55555 all'inizio o alla fine -> molteplicità 2
-5 posti presi dai cinque 5 ->molteplicità 1
-1 posto preso da un non-5 ->molteplicità 9 (tutti i segni da 0 a 9, escluso il 5)
-negli altri N-6 posti uno qualunque degli altri 10 segni (il 5 compreso) -----> molteplicità 10^(N-6)
In tutto: 2x1x9x10^(N-6) = 18 10^(N-6) (a prima vista sembra giusto, ma non è così ...)
Caso b)
- collocazione della stringa dei cinque 5 all'interno dela sequenza data -> molteplicità L-6 (il posto iniziale del 55555 va da 2 a L-5)
-5 posti sono presi dai cinque 5: molteplicità 1
-2 posti ai lati della stringa "55555", entrambi occupati da un non-5: molteplicità 9^2
-negli altri N-7 posti uno qualunque degli altri 10 segni (il 5 compreso): molteplicità 10^(N-7)
In tutto: altolà!... non si possono mica sommare le possibiltà nel caso (b) , ma neanche nel caso (a).
Capisci perchè?
Alllora come proseguire il calcolo ? A te la palla! Dovrai pur fare qualcosa anche tu, no?
Illustro una possibile via risolutiva (che però si rivela un cul de sac)
Conviene distinguere subito i due casi :
a) la stringa di cinque 5 compare in posizione terminale
b) la stringa di cinque 5 compare in mezzo alla stringa di N simboli
Caso a)
-2 possibilità: 55555 all'inizio o alla fine -> molteplicità 2
-5 posti presi dai cinque 5 ->molteplicità 1
-1 posto preso da un non-5 ->molteplicità 9 (tutti i segni da 0 a 9, escluso il 5)
-negli altri N-6 posti uno qualunque degli altri 10 segni (il 5 compreso) -----> molteplicità 10^(N-6)
In tutto: 2x1x9x10^(N-6) = 18 10^(N-6) (a prima vista sembra giusto, ma non è così ...)
Caso b)
- collocazione della stringa dei cinque 5 all'interno dela sequenza data -> molteplicità L-6 (il posto iniziale del 55555 va da 2 a L-5)
-5 posti sono presi dai cinque 5: molteplicità 1
-2 posti ai lati della stringa "55555", entrambi occupati da un non-5: molteplicità 9^2
-negli altri N-7 posti uno qualunque degli altri 10 segni (il 5 compreso): molteplicità 10^(N-7)
In tutto: altolà!... non si possono mica sommare le possibiltà nel caso (b) , ma neanche nel caso (a).
Capisci perchè?
Alllora come proseguire il calcolo ? A te la palla! Dovrai pur fare qualcosa anche tu, no?
"seascoli":
Il problema lì per lì non mi sembra così facile facile, come uno potrebbe desumere dalla riposta di Umby.
dai... a 10 cifre è facile...
Il numero possibile di stringhe lunghe 10 caratteri e fatte con 10 segni (da "0" a "9") è pur sempre un rispettabile $10^10$.
Ma in questo caso particolare gioca un fattore decisivo, e cioè che, dovunque capiti un filetto di cinque "5", automaticamente viene esclusa la possibilità che se ne verifichi un altro (di filetti, dico), a causa della necessità di almeno un segno intercalante. Allora gli eventi (cioè i filetti in varie posizioni) formano un insieme esaustivo di eventi fra loro incompatibili e puoi (eccezionalmente) sommare i numeri di casi favorevoli corrispondenti a ciascuno dei suddetti eventi.
Ma adesso prova un po' a fare, non dico il caso di una stringa lunga 10mila caratteri , ma il caso di una lunga 20 o anche solo 15.
Beh, allora come fai? Ti metti a contare i miliardi di miliardi di casi?
Voglio dire, e lo ribadisco, che, a meno che tu non volessi divertirti alle spalle di Picrill, l'esempio, verso cui l'hai indirizzato, è del tutto fuorviante in quanto occulta totalmente la reale complessità del problema. Non è così?
Ma in questo caso particolare gioca un fattore decisivo, e cioè che, dovunque capiti un filetto di cinque "5", automaticamente viene esclusa la possibilità che se ne verifichi un altro (di filetti, dico), a causa della necessità di almeno un segno intercalante. Allora gli eventi (cioè i filetti in varie posizioni) formano un insieme esaustivo di eventi fra loro incompatibili e puoi (eccezionalmente) sommare i numeri di casi favorevoli corrispondenti a ciascuno dei suddetti eventi.
Ma adesso prova un po' a fare, non dico il caso di una stringa lunga 10mila caratteri , ma il caso di una lunga 20 o anche solo 15.
Beh, allora come fai? Ti metti a contare i miliardi di miliardi di casi?
Voglio dire, e lo ribadisco, che, a meno che tu non volessi divertirti alle spalle di Picrill, l'esempio, verso cui l'hai indirizzato, è del tutto fuorviante in quanto occulta totalmente la reale complessità del problema. Non è così?
Grazie a tutti quelli che hanno risposto. Grazie seascoli in particolare. Per rispondere alla tua domanda: capisco perché i calcoli funzionano così ma esiste davvero un metodo "facile" per proseguire il calcolo? Le diverse combinazioni del caso b) non sono indipendenti, mi riesce difficile pensare a come calcolarne la probabilità. Comunque siccome questo era un esercizio assegnato dal prof chiederò a lui per la soluzione entro qualche giorno e vi farò sapere, la cosa mi pare strana.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Picrill wrote:
"Mi vergogno un po' a chiedere perché sembra facilino, ma proprio non mi viene in mente l'idea giusta."
Invece a me, viste anche le difficoltà segnalate da seascoli, pare che l'esercizio sia "difficilino".
Sarei proprio curioso di sapere se (e come) lo risolve il tuo prof.
Che ne dici di tornare a darci l'eventuale soluzione?
"Mi vergogno un po' a chiedere perché sembra facilino, ma proprio non mi viene in mente l'idea giusta."
Invece a me, viste anche le difficoltà segnalate da seascoli, pare che l'esercizio sia "difficilino".
Sarei proprio curioso di sapere se (e come) lo risolve il tuo prof.
Che ne dici di tornare a darci l'eventuale soluzione?
No in effetti il problema non è elementare (mea culpa), ma a prima vista mi era sembrato così innocente... Appena vedo il prof gli chiedo e vi metto la soluzione, spero entro la prossima settimana.
-> at Picrill
Secondo me il tuo prof non ti darà nessuna soluzione esatta del tuo "quesito facilino", per cui non credo che potrai mantenere la tua promessa.
In questo forum fu proposto circa un mese fa (cfr. topic "Esercizio 2" in questa stessa sezione) un quesito analogo, e cioè (con lieve variazione):
Si lancia un dado finchè non escono per la prima volta di seguito 4 sei. Qual è la probabilità che ciò accada in meno di 100 lanci?
Ebbene, quel quesito (puoi controllare) è rimasto senza risposta (sembra che improvvisamente tutti abbiano smesso di interessarsene, forse perchè era troppo difficile? )
Aspetto con ansia un tuo aggiornamento ...
Secondo me il tuo prof non ti darà nessuna soluzione esatta del tuo "quesito facilino", per cui non credo che potrai mantenere la tua promessa.
In questo forum fu proposto circa un mese fa (cfr. topic "Esercizio 2" in questa stessa sezione) un quesito analogo, e cioè (con lieve variazione):
Si lancia un dado finchè non escono per la prima volta di seguito 4 sei. Qual è la probabilità che ciò accada in meno di 100 lanci?
Ebbene, quel quesito (puoi controllare) è rimasto senza risposta (sembra che improvvisamente tutti abbiano smesso di interessarsene, forse perchè era troppo difficile? )
Aspetto con ansia un tuo aggiornamento ...
---> Picrill
Nel frattempo posso consigliarti di cambiare il nome del topic?
"Quesito elementare - sequenza" è fuorviante e non rende giustizia alla difficoltà del quesito.
Inoltre non è affatto attraente come il soggetto merita.
Posso suggerirti:
"Una sequenza diabolicamente interdispersa"?
oppure, più cabalisticamente:
"La presenza ossessiva del segno della Bestia"?
Lo sai che il "marchio" di Satana è un segno ripetuto?
666 è il segno della Bestia (cfr. "Apocalisse", Giovanni Evangelista, primo saeculo Erae Vulgaris)
Nel frattempo posso consigliarti di cambiare il nome del topic?
"Quesito elementare - sequenza" è fuorviante e non rende giustizia alla difficoltà del quesito.
Inoltre non è affatto attraente come il soggetto merita.
Posso suggerirti:
"Una sequenza diabolicamente interdispersa"?
oppure, più cabalisticamente:
"La presenza ossessiva del segno della Bestia"?
Lo sai che il "marchio" di Satana è un segno ripetuto?
666 è il segno della Bestia (cfr. "Apocalisse", Giovanni Evangelista, primo saeculo Erae Vulgaris)
In effetti il mio prof non ha mantenuto la promessa, o meglio, ha fornito soltanto un'approssimazione. Il suo ragionamento era più o meno così:
Definiamo una prova come il controllo di una stringa di sette cifre consecutive. Allora abbiamo un successo se le cinque cifre in mezzo sono 5, e la prima e l'ultima cifra sono diverse da 5. (Così facendo ignoriamo la possibilità che le prime cinque o le ultime cinque cifre possano essere dei 5. Il prof ha commentato dicendo che di fatti questa probabilità è trascurabile...). La probabilità di successo per ogni stringa esaminata è:
$ p = (\frac{9}{10}) (\frac{1}{10})^5 (\frac{9}{10}) = 81 \cdot 10^{-7} $
Siamo interessati alla probabilità di avere almeno un successo, e possiamo scegliere 10000 sequenze diverse che non sono independenti, ma hanno un'intersezione trascurabile (questa secondo me è una balla...), per cui assumendo che siano indipendenti usiamo la distribuzione di Poisson per approssimare:
$ P(\geq 1 \mbox{ successi }) = 1 - P(0 \mbox{ successi }) = 1 - \exp (- n p) = 1 - \exp(- 10000 \cdot 81 \cdot 10^(-5)) \approx 0.0778063 $
Eh mi dispiace parecchio se vi ho deluso con questa, anche io speravo in una soluzione rigorosa. Sarei curioso di sapere se esiste una via praticabile per ottenere una risposta precisa. Se avete qualche sviluppo postate pure.
Definiamo una prova come il controllo di una stringa di sette cifre consecutive. Allora abbiamo un successo se le cinque cifre in mezzo sono 5, e la prima e l'ultima cifra sono diverse da 5. (Così facendo ignoriamo la possibilità che le prime cinque o le ultime cinque cifre possano essere dei 5. Il prof ha commentato dicendo che di fatti questa probabilità è trascurabile...). La probabilità di successo per ogni stringa esaminata è:
$ p = (\frac{9}{10}) (\frac{1}{10})^5 (\frac{9}{10}) = 81 \cdot 10^{-7} $
Siamo interessati alla probabilità di avere almeno un successo, e possiamo scegliere 10000 sequenze diverse che non sono independenti, ma hanno un'intersezione trascurabile (questa secondo me è una balla...), per cui assumendo che siano indipendenti usiamo la distribuzione di Poisson per approssimare:
$ P(\geq 1 \mbox{ successi }) = 1 - P(0 \mbox{ successi }) = 1 - \exp (- n p) = 1 - \exp(- 10000 \cdot 81 \cdot 10^(-5)) \approx 0.0778063 $
Eh mi dispiace parecchio se vi ho deluso con questa, anche io speravo in una soluzione rigorosa. Sarei curioso di sapere se esiste una via praticabile per ottenere una risposta precisa. Se avete qualche sviluppo postate pure.
Davimal si riferiva alla discussione animata a seguito della ricerca di generalizzazione di un problema simile (una sequenza di 4 sei),
problema che puoi trovare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 36885.html
puoi vedere come mi è stato facile rispondere ad una domanda diretta nel caso particolare e "quante cantonate" ho preso nel tentare una generalizzazione.
ciao. buona lettura.
problema che puoi trovare qui:
https://www.matematicamente.it/forum/ese ... 36885.html
puoi vedere come mi è stato facile rispondere ad una domanda diretta nel caso particolare e "quante cantonate" ho preso nel tentare una generalizzazione.
ciao. buona lettura.
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