Sequenza di variabili casuali
Buongiorno. Sto cercando di risolvere il seguente esercizio.
Sia $(X_n)_(ninaleph)$ una sequenza di variabili casuali con $X_n<=X_(n+1)$ ogni $ninaleph$. Si assuma che $lim_(n -> oo)X_n(omega)=X(omega)$ per ogni $omega$. Inoltre, si assuma che $X~N(2,1/2)$. Quale affermazione è vera?
(1): $E(X_nI_{{X_n>=0}})=2$ per ogni $n$;
(2): $E(X_nI_{{X_n>=0}})~~2$ per $n$ abbastanza grande;
(3): $lim_(n ->oo)E(X_n)=2$;
(4): $lim_(n ->oo)E(X_n)=1/2$;
(5): nessuna delle altre risposte.
Sappiamo che: $X~ N(2,\frac{1}{2})$ è una gaussiana, con densità: $rho (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-((x-\mu )}/(2\sigma ^2)$; inoltre $lim_(n -> oo)E(X_n)=E(lim_(n -> oo)X_n)=E(X)$; $I$ è la funzione indicatrice. Qual è il passo successivo? Quale ulteriore informazione mi serve per risolverlo? Aiutatemi....
Sia $(X_n)_(ninaleph)$ una sequenza di variabili casuali con $X_n<=X_(n+1)$ ogni $ninaleph$. Si assuma che $lim_(n -> oo)X_n(omega)=X(omega)$ per ogni $omega$. Inoltre, si assuma che $X~N(2,1/2)$. Quale affermazione è vera?
(1): $E(X_nI_{{X_n>=0}})=2$ per ogni $n$;
(2): $E(X_nI_{{X_n>=0}})~~2$ per $n$ abbastanza grande;
(3): $lim_(n ->oo)E(X_n)=2$;
(4): $lim_(n ->oo)E(X_n)=1/2$;
(5): nessuna delle altre risposte.
Sappiamo che: $X~ N(2,\frac{1}{2})$ è una gaussiana, con densità: $rho (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}e^{-((x-\mu )}/(2\sigma ^2)$; inoltre $lim_(n -> oo)E(X_n)=E(lim_(n -> oo)X_n)=E(X)$; $I$ è la funzione indicatrice. Qual è il passo successivo? Quale ulteriore informazione mi serve per risolverlo? Aiutatemi....
Risposte
"Francobati":
inoltre $lim_(n -> oo)E(X_n)=E(lim_(n -> oo)X_n)=E(X)$
Be, se hai questo hai fatto. Infatti la 3) segue immediatamente. Però qua penso tu abbia usato convergenza monotona. Ma non hai tra le ipotesi la non negatività delle funzioni; dunque in generale non lo puoi concludere. Difatti la 3 può verificarsi come no: ad esempio non è neanche detto che $E[X_n]$ sia ben definito.
In relazione a questo, se vedi la 1) e la 2) hai l'indicatrice che ti mette in condizioni di applicare convergenza monotona.
Ti basta questo per proseguire?
Grazie. Quindi come posso motivare e dimostrare che la risposta esatta è la 3? L'assunzione $lim_(n -> oo)X_n(omega)=X(omega)$ è importante?
Te lo ho scritto non è detto che valga. Dai conti che ho fatto nessuna è vera
Ma l'ipotesi di non negatività delle funzioni non è questa: Sia $(X_n)_(ninaleph)$ una sequenza di variabili casuali con $X_n<=X_(n+1)$???
"Francobati":
Ma l'ipotesi di non negatività delle funzioni non è questa: Sia $(X_n)_(ninaleph)$ una sequenza di variabili casuali con $X_n<=X_(n+1)$???
No. Questa è l'ipotesi di crescenza delle funzioni non della loro non negatività.
ok, grazie mille. Mi potresti dare qualche suggerimento su questo? Riguarda il calcolo del valore atteso.
Sia $l_(+) calligrafica$ l'insieme delle variabili casuali semplici non negative. Scelto $X=7*I_{{X<=7}}+7epsilon*I_{{X>7}}inl_+$, per $epsilon>0$. Quale affermazione è vera?
(1): $E(X)=P(X>7)$;
(2): $E(1/epsilonX)=7/epsilonP(X<=7)+7P(X>7)$;
(3): $E(X)=0$;
(4): $(E(X))/7=P(X>=7)$, purché $epsilonrarr0$;
(5): $E(X)=epsilon$.
Sia $l_(+) calligrafica$ l'insieme delle variabili casuali semplici non negative. Scelto $X=7*I_{{X<=7}}+7epsilon*I_{{X>7}}inl_+$, per $epsilon>0$. Quale affermazione è vera?
(1): $E(X)=P(X>7)$;
(2): $E(1/epsilonX)=7/epsilonP(X<=7)+7P(X>7)$;
(3): $E(X)=0$;
(4): $(E(X))/7=P(X>=7)$, purché $epsilonrarr0$;
(5): $E(X)=epsilon$.
Ma questo non è difficile e potresti fare uno sforzo per dare una soluzione.
A parte questo considera la v.a. $X=7*I_{{X<=7}}+7epsilon*I_{{X>7}}$ (nota che si usa "X>7" per definire la variabile; questo on mi piace molto, ma va be lo considero come un insieme sensa significato specifico su X).
Il suo valore atteso è: $E[X] = 7 P(X<=7) + 7 \varepsilon P(X>7)$. Da qua prova ad impostare ragionamenti sou ognuna condizione e prova a concludere.
Comunque questi esercizi sono scritti in una forma matematica non bellissima; ad esempio la 4 cosa significa precisamente?
A parte questo considera la v.a. $X=7*I_{{X<=7}}+7epsilon*I_{{X>7}}$ (nota che si usa "X>7" per definire la variabile; questo on mi piace molto, ma va be lo considero come un insieme sensa significato specifico su X).
Il suo valore atteso è: $E[X] = 7 P(X<=7) + 7 \varepsilon P(X>7)$. Da qua prova ad impostare ragionamenti sou ognuna condizione e prova a concludere.
Comunque questi esercizi sono scritti in una forma matematica non bellissima; ad esempio la 4 cosa significa precisamente?
Nelle risposte del prof. nel primo esercizio ho la terza e nel secondo la seconda.
Per il secondo sono daccordo.
Per il primo considera una una v.a. $X$ distribuita $ N(2,1/2)$ ed $Y$ una variabile non negativa di media infinita.
Se difinisci $X_n=X-Y/n$ hai che la successione è crescente quasi certamente ad X.
Dunque questa successione rispetta le ipotesi date. Tuttavia $E[X_n]=- infty$ per ogni n che dunque non converge a 2.
Se aggiungi la condizione che una delle $X_n$ abbia media finita allora la relazione risulta vera, ma in generale non la puoi concluderere.
Chiedi delucidazioni al prof e vedi che ti dice.
Per il primo considera una una v.a. $X$ distribuita $ N(2,1/2)$ ed $Y$ una variabile non negativa di media infinita.
Se difinisci $X_n=X-Y/n$ hai che la successione è crescente quasi certamente ad X.
Dunque questa successione rispetta le ipotesi date. Tuttavia $E[X_n]=- infty$ per ogni n che dunque non converge a 2.
Se aggiungi la condizione che una delle $X_n$ abbia media finita allora la relazione risulta vera, ma in generale non la puoi concluderere.
Chiedi delucidazioni al prof e vedi che ti dice.
Nel secondo esercizio ho:
$ E[X]=7E[I_{X\leq7}]+7epsilonE[I_{X>7}] $
$E[X]=E[7I_({X\leq7})]+E[7epsilonI_{X>7}]$
$E[7I_{X\leq7}]=7E[I_{X\leq7}]$ e $E[7epsilonI_{X>7}]=7epsilonE[I_{X>7}]$
quindi:
$E[X]=7E[I_{X\leq7}]+7epsilonE[I_{X>7}]$
Ma come passo a questa: $E(1/epsilonX)=7/epsilonP(X<=7)+7P(X>7)$? Devo fare qualche raccoglimento a fattore comune? E quale?
$ E[X]=7E[I_{X\leq7}]+7epsilonE[I_{X>7}] $
$E[X]=E[7I_({X\leq7})]+E[7epsilonI_{X>7}]$
$E[7I_{X\leq7}]=7E[I_{X\leq7}]$ e $E[7epsilonI_{X>7}]=7epsilonE[I_{X>7}]$
quindi:
$E[X]=7E[I_{X\leq7}]+7epsilonE[I_{X>7}]$
Ma come passo a questa: $E(1/epsilonX)=7/epsilonP(X<=7)+7P(X>7)$? Devo fare qualche raccoglimento a fattore comune? E quale?
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