Senza memoria?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Avrei una domanda:
Sulla pagina wikipedia di Mancanza di memoria dice che è la proprietà delle distribuzioni esponenziale e quella geometrica. Ma un esercizio che ci ha dato diverse settimane fa la prof ci era richiesto di dimostrare la distribuzione esponenziale è l'unica distribuzione senza memoria.
Chi sbaglia?

Riporto l'enunciato dell'esercizio:
Dimostra che la distribuzione esponenziale è l'unica distribuzione senza memoria. Più precisamente, sia \(X\) una variabile aleatoria tale che \( \mathbb{P}(X > 0) > 0 \) e
\[ \mathbb{P}(X>t+s \mid X > t) = \mathbb{P}(X>s )\]
per ogni \( t,s \geq 0 \).
Dimostra che esiste \( \lambda > 0 \) tale che \( X \sim Exp(\lambda) \).

Indizio: porre \( G(t) = \mathbb{P}(X>t) \) e porre \( g(t) = - \ln G(t) \) e \( \lambda = g(1) \).

Dimostrazione dell'esercizio:

L'ipotesi implica che
\[ G(t+s)=G(t)G(s) \]
almeno quando \( G(t) > 0 \). Se \(G(t) = 0 \) l'uguaglianza è evidente, siccome \(G\) è decrescente e non negativa. In termini di \(g(x) = - \ln G(x) \) questa uguaglianza diviene
\[ g(t+s) = g(t) + g(s) \]
da notare che l'uguaglianza tiene e ha un senso anche se \( g= \infty \) poiché \( g(x) \in [0,\infty] \) per ciascun \(x \geq 0 \). Sia \(\lambda = g(1) \), allora \( g(2) = 2 \lambda \) e per ricorrenza abbiamo \( g(n) = n \lambda \) per tutti gli interi. Per ricorrenza abbiamo ancora che \( g(k/n) = k g(1/n) \) per tutti gli interi \(n,k \). Ponendo \(k=n \) otteniamo \( \lambda = g(1) = n g(1/n) \) e dunque \( g(k/n) = k/n \lambda \), ovvero \( g(q) = q \lambda \) per ciascun razionale \( q > 0 \). Per \(t > 0\) reale allora prendiamo una successione di razionali \(q_n \) che converge superiormente (edit: non ricordo mai come si dice in italiano, ma da destra fondamentalmente) a \(t\). Utilizzando la continuità a destra di \(g\) che segue da quella di \(G\), otteniamo
\[ g(t) = \lim_{n \to \infty} g(q_n) = \lim_{n \to \infty} q_n \lambda = t \lambda \]
(avremmo potuto utilizzare che \(G\) e quindi \(g\) è monotona, senza utilizzare la continuità a destra)
Quindi \(G(t) = \exp(-t\lambda) \) per ciascun \( t\). Poiché \( G(t) \to 0 \) quando \( t \to \infty \) abbiamo forzatamente che \( \lambda > 0 \) e la funzione vale \(0\) quando \(t < 0 \) e \( 1 - G(t) \) per \( t \geq 0 \). E`quindi la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria esponenziale di parametro \( \lambda \). E` impossibile che \( \lambda = \infty \) poiché \(G\) è continua a destra e \(G(0) > 0 \).

NB 1: Non abbiamo supposto ne che \(X\) è una variabile aleatoria continua, ne che \( \mathbb{P}(X \geq 0 ) = 1 \)
NB 2: Esistono delle funzione "senza memoria" che non sono della forma \( G(t) = e^{-\lambda t} \). Queste funzioni, evidentemente, non sono continue a destra ne monotone. La loro esistenza richiede una base di \( \mathbb{R} \) su \( \mathbb{Q} \) la cui costruzione necessita (una versione debole) dell'assioma della scelta.

[ghira1]

"3m0o":Avrei una domanda:
Sulla pagina wikipedia di Mancanza di memoria dice che è la proprietà delle distribuzioni esponenziale e quella geometrica. Ma un esercizio che ci ha dato diverse settimane fa la prof ci era richiesto di dimostrare la distribuzione esponenziale è l'unica distribuzione senza memoria.
Chi sbaglia?

La geometrica è senza memoria se il tempo va a scatti: numeri di lanci/tentativi/estrazioni. Chiedi alla prof cosa dice della geometrica.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"ghira":

La geometrica è senza memoria se il tempo va a scatti: numeri di lanci/tentativi/estrazioni. Chiedi alla prof cosa dice della geometrica.

Però nel "NB 1" dice che non abbiamo supposto che \(X\) sia continua... quindi a me sembra che lei escluda la geometrica.

Edit: A meno che la geometrica non sia la discretizzazione dell'esponenziale... ma mi sembra strano.

[ghira1]

"3m0o":
Però nel "NB 1" dice che non abbiamo supposto che \(X\) sia continua... quindi a me sembra che lei escluda la geometrica.

Mai hai detto $g(q) = q \lambda$ per ciascun razionale $q > 0$.

e dici "per ogni $t,s \geq 0$". Per ogni $t$ e $s$ dove?

Per la geometrica ci sono solo gli interi positivi, o magari non-negativi.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Non è vero, l'ho detto!

"3m0o": ovvero \( g(q) = q \lambda \) per ciascun razionale \( q > 0 \).

Mentre per quanto riguarda ai "per ogni" non li ho scritti per pigrizia, ma sarebbero qui:

"3m0o":
\[ G(t+s)=G(t)G(s) \]

"3m0o":
\[ g(t+s) = g(t) + g(s) \]

Dovrebbero essere in realtà:

\[ G(t+s)=G(t)G(s), \ \ \ \ \ \forall s,t \geq 0 \]

\[ g(t+s) = g(t) + g(s), \ \ \ \ \ \forall s,t \geq 0 \]

[ghira1]

"3m0o":Non è vero, l'ho detto!

E poi hai detto "Per $t>0$ reale allora..."

Quindi i tuoi $s$ e $t$ sono reali. Positivi, ma ok. Se ti limiti agli interi positivi o non-negativi "ogni" riguarda solo gli interi positivi o non-negativi e hai la distribuzione geometrica, tutto qui.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"ghira":
Chiedi alla prof cosa dice della geometrica.

Io avevo già chiesto... ma la prof non mi risponde
Purtroppo lei posta le lezioni pre-registrate su una piattaforma e per le domande possiamo mandargli delle mail...