Semplice calcolo combinatorio
Un semplice esercizio che però non capisco come risolvere usando la probabilità uniforme.
Devo trovare la probabilità di estrarre almeno una coppia pescando casualmente 5 carte da un mazzo di 52.
Banalmente lo spazio campionario è $|\Omega| = ((52),(5))$ solo che non riesco a contare gli eventi favorevoli, escono numeri troppo piccoli
Allora ho cercato di usare questo metodo rozzo che non credo abbia senso:
Estraggo la prima carta
Probabilità di estrarre la 2a carta "uguale" alla prima: 1/17
Probabilità di estrarre la 3a carta "uguale" a una delle prime due: 3/25
... fino alla quinta, quindi sommo le probabilità e ottengo
$P = 1/17 + 3/25 + 9/49 + 1/4 = 0,612 => 61,2%$
A parte che credo fortemente che questo metodo sia sbagliato, qualcuno riesce a dirmi come contare gli eventi favorevoli? Grazie
Devo trovare la probabilità di estrarre almeno una coppia pescando casualmente 5 carte da un mazzo di 52.
Banalmente lo spazio campionario è $|\Omega| = ((52),(5))$ solo che non riesco a contare gli eventi favorevoli, escono numeri troppo piccoli
Allora ho cercato di usare questo metodo rozzo che non credo abbia senso:
Estraggo la prima carta
Probabilità di estrarre la 2a carta "uguale" alla prima: 1/17
Probabilità di estrarre la 3a carta "uguale" a una delle prime due: 3/25
... fino alla quinta, quindi sommo le probabilità e ottengo
$P = 1/17 + 3/25 + 9/49 + 1/4 = 0,612 => 61,2%$
A parte che credo fortemente che questo metodo sia sbagliato, qualcuno riesce a dirmi come contare gli eventi favorevoli? Grazie
Risposte
Ok, premesso che in realtà dovrei risolverlo usando la probabilità uniforme e che sono ancora molto arrugginito con questo corso, la probabilità di non ottenere alcuna coppia usando scelte successive è:
$P = 48/51 * 44/50 * 40/49 * 36/48 = 0.507 => P_c = 1 - 0.507 = 0.493 = 49.3% $
Corretto?
$P = 48/51 * 44/50 * 40/49 * 36/48 = 0.507 => P_c = 1 - 0.507 = 0.493 = 49.3% $
Corretto?
L'ultimo termine non è $36/44$ ma $36/48$
Si, ho sbagliato a scrivere scusate.
Invece se dovessi calcolare la probabilità di estrarre esattamente una coppia? Quindi una coppia ma non un tris, full, ecc? Questa volta dovrei usare la probabilità uniforme giusto? Qualche dritta? Ahah
Invece se dovessi calcolare la probabilità di estrarre esattamente una coppia? Quindi una coppia ma non un tris, full, ecc? Questa volta dovrei usare la probabilità uniforme giusto? Qualche dritta? Ahah
$52/52*3/51*48/50*44/49*40/48*(5!)/(3!*2!)$
Edit: modficato in 49 il 59 preesistente
Edit: modficato in 49 il 59 preesistente
Ehhh, già.
Anche perchè è difficile che in mazzo di 52 carte, ad un certo punto ne rimangano 59......
Anche perchè è difficile che in mazzo di 52 carte, ad un certo punto ne rimangano 59......
Grazie a entrambi, ma @superpippone , tu come ci sei arrivato a quel calcolo?
1) come prima carta può uscire qualunque carta
2) come seconda carta una qualunque delle 3 restanti per fare la coppia
3) le tre rimanenti tutte diverse e diverse dalla coppia fatta nelle estrazioni 1) e 2)
4) la coppia può uscire in qualunque delle $((5),(2))=(5!)/(2!3!)$ posizioni della cinquina di carte.
5) si moltiplica il tutto per ottenere la probabilità congiunta
@anti-spells: per favore, la prossima volta posta per intero ed in modo integrale il testo del problema. Quello che hai scritto tu
è un blando riassunto che si presta a diverse interpretazioni. Per risolvere un esercizio di Calcolo delle Probabilità occorre conoscere tutto il testo, virgole, aggettivi ed avverbi inclusi.
Per esempio, nessuno ha detto che nel caso in esame l'estrazione fosse fatta senza reimmissione....e dunque tutti i calcoli fatti finora potrebbero essere errati
Inoltre, la "probabilità uniforme" non significa nulla, devi specificare che cosa intendi con una frase del genere....esiste la distribuzione uniforme, ma è un'altra cosa...se invece il tuo testo la definisce così allora devi spiegare anche a noi quali siano i termini di tale definizione.
spero di essermi spiegato bene...ovviamente il mio è solo un consiglio, tu puoi fare come credi
saluti
2) come seconda carta una qualunque delle 3 restanti per fare la coppia
3) le tre rimanenti tutte diverse e diverse dalla coppia fatta nelle estrazioni 1) e 2)
4) la coppia può uscire in qualunque delle $((5),(2))=(5!)/(2!3!)$ posizioni della cinquina di carte.
5) si moltiplica il tutto per ottenere la probabilità congiunta
@anti-spells: per favore, la prossima volta posta per intero ed in modo integrale il testo del problema. Quello che hai scritto tu
"anti-spells":
Un semplice esercizio che però non capisco come risolvere usando la probabilità uniforme.
Devo trovare la probabilità di estrarre almeno una coppia pescando casualmente 5 carte da un mazzo di 52.
è un blando riassunto che si presta a diverse interpretazioni. Per risolvere un esercizio di Calcolo delle Probabilità occorre conoscere tutto il testo, virgole, aggettivi ed avverbi inclusi.
Per esempio, nessuno ha detto che nel caso in esame l'estrazione fosse fatta senza reimmissione....e dunque tutti i calcoli fatti finora potrebbero essere errati
Inoltre, la "probabilità uniforme" non significa nulla, devi specificare che cosa intendi con una frase del genere....esiste la distribuzione uniforme, ma è un'altra cosa...se invece il tuo testo la definisce così allora devi spiegare anche a noi quali siano i termini di tale definizione.
spero di essermi spiegato bene...ovviamente il mio è solo un consiglio, tu puoi fare come credi
saluti
Il testo era questo: Si consideri un mazzo di 52 carte da Poker e si scelgano a caso 5 carte. Calcolare la probabilità che:
1) nelle 5 carte ci sia almeno una coppia
2) nelle 5 carte ci sia esattamente una coppia, cioè una coppia ma nessuna combinazione migliore
Nel libro è definita probabilità uniforme: Sia $\Omega$ un insieme finito. Definiamo per $A sube \Omega , P(A):= |A|/|\Omega|$
, essa verifica gli assiomi della probabilità e pertanto P è una probabilità, detta uniforme su $\Omega$ .
Ora ho capito, il metodo di superpippone è molto più intuitivo ma cercherò di imparare a contare gli elementi di $A$ .
1) nelle 5 carte ci sia almeno una coppia
2) nelle 5 carte ci sia esattamente una coppia, cioè una coppia ma nessuna combinazione migliore
Nel libro è definita probabilità uniforme: Sia $\Omega$ un insieme finito. Definiamo per $A sube \Omega , P(A):= |A|/|\Omega|$
, essa verifica gli assiomi della probabilità e pertanto P è una probabilità, detta uniforme su $\Omega$ .
Ora ho capito, il metodo di superpippone è molto più intuitivo ma cercherò di imparare a contare gli elementi di $A$ .
Leggendo il testo originale[nota]soprattutto leggendo il punto 2)[/nota] l'interpretazione più naturale è che ci stiamo riferendo ai punteggi del gioco del Poker. Quindi la probabilità di ottenere "almeno una coppia" è il complementare della probabilità dell'evento "ottengo un punteggio inferiore a quello di coppia"
e quindi il tuo calcolo non va bene perché includi anche la probabilità di combinazioni migliori, come Scala (Straight) e Colore (Flush)
La definizione del tuo libro di "probabilità uniforme" in altri testi è definita come "probabilità classica", ovvero casi favorevoli diviso casi possibili. Esistono anche altre definizioni di probabilità coerenti, come ad esempio quella "bayesiana"
e quindi il tuo calcolo non va bene perché includi anche la probabilità di combinazioni migliori, come Scala (Straight) e Colore (Flush)
"anti-spells":
Ok, premesso che in realtà dovrei risolverlo usando la probabilità uniforme e che sono ancora molto arrugginito con questo corso, la probabilità di non ottenere alcuna coppia usando scelte successive è:
$P = 48/51 * 44/50 * 40/49 * 36/48 = 0.507 $
Corretto?
La definizione del tuo libro di "probabilità uniforme" in altri testi è definita come "probabilità classica", ovvero casi favorevoli diviso casi possibili. Esistono anche altre definizioni di probabilità coerenti, come ad esempio quella "bayesiana"
È vero che non escludo colore e scala, però credo che il testo per combinazioni intenda "carte con numero uguale" , se comincio a considerare la possibilità di fare scala o colore sarebbe specificata, altrimenti una persona che non conosce bene il poker sbaglierebbe l'esercizio. La cosa più naturale che mi verrebbe da fare è escludere le combinazioni dei colori che dovrebbero essere $((13),(5)) * 4$ ? E per la scala ci sono $9*4 = 36$ casi da sottrarre ai casi favorevoli? Giusto?
"anti-spells":
Giusto?
'nsomma...
i $((13),(5))xx4$ casi che hai erroneamente calcolato rappresentano i colori includendo però anche le 36 scale colore (straight flush) e le 4 scale reali (royal flush).
Ma davvero pensi di avere $9xx4$ combinazioni di scala su quasi due milioni e seicentomila cinquine possibili???
Intanto le scale possibili sono 10: dalla più piccola, dall'asso al cinque, fino alla massima, dal dieci all'asso.
In totale le scale (straight) sono $10.200= 10xx4^5-40$
Si scusa ho contato solo le scale colori + le scale reali (intendevo dire 10x4 = 40 , che tra l'altro non mi ero nemmeno reso conto di aver già contato nel calcolo dei colori) , non essendo pratico del poker non ci ho pensato che basta avere cinquine ordinate di semi diversi (ho considerato appunto solo semi uguali) , comunque ho capito , grazie
Ecco comunque tutte le combinazioni dei punti possibili al poker con 52 carte:
Royal flush (scala reale): $4$
Straight Flush (scala colore): $9xx4=36$
Four of a kind[nota]Gergale: Quad[/nota] (poker): $13xx48=624$
Full House[nota]Gergale: Boat[/nota] (full): $13xx((4),(3))xx12xx((4),(2))=3.744$
Flush (colore): $((13),(5))xx4-40=5.108$
Straight (scala): $10xx4^5-40=10.200$
Set[nota]Nel Texas hold'em, a seconda di come è stato conseguito, anche Trips[/nota] (tris): $13xx((4),(3))xx((12),(2))xx4^2=54.912$
Two Pairs (doppia coppia): $((13),(2))xx((4),(2))xx((4),(2))xx44=123.552$
Pair (coppia)[nota]come già scritto da @arnett sopra[/nota]: $13xx((4),(2))xx((12),(3))xx4^3=1.098.240$
Nessun punto: $4^5xx((13),(5))-(4+36+5108+10200)=1.302.540$
Totale:
$4+36+624+3.744+5.108+10.200+54.912+123.552+1.098.240+1.302.540=2.598.960=((52),(5))$
combinazioni possibili
@anti-spells: Ora la partizione del "banale spazio campionario" (come lo chiami tu) è completa e, come puoi vedere, corretta.
Royal flush (scala reale): $4$
Straight Flush (scala colore): $9xx4=36$
Four of a kind[nota]Gergale: Quad[/nota] (poker): $13xx48=624$
Full House[nota]Gergale: Boat[/nota] (full): $13xx((4),(3))xx12xx((4),(2))=3.744$
Flush (colore): $((13),(5))xx4-40=5.108$
Straight (scala): $10xx4^5-40=10.200$
Set[nota]Nel Texas hold'em, a seconda di come è stato conseguito, anche Trips[/nota] (tris): $13xx((4),(3))xx((12),(2))xx4^2=54.912$
Two Pairs (doppia coppia): $((13),(2))xx((4),(2))xx((4),(2))xx44=123.552$
Pair (coppia)[nota]come già scritto da @arnett sopra[/nota]: $13xx((4),(2))xx((12),(3))xx4^3=1.098.240$
Nessun punto: $4^5xx((13),(5))-(4+36+5108+10200)=1.302.540$
Totale:
$4+36+624+3.744+5.108+10.200+54.912+123.552+1.098.240+1.302.540=2.598.960=((52),(5))$
combinazioni possibili
@anti-spells: Ora la partizione del "banale spazio campionario" (come lo chiami tu) è completa e, come puoi vedere, corretta.
(Vedasi la successiva risposta)
Chiedo scusa per l'episodio di "crossposting" in cui sono stato protagonista; ero di fretta e non ho, purtroppo, controllato che non vi fosse una discussione preesistente sullo stesso argomento.
Pubblico questa risposta per verificare se l'esercizio in questione possa essere risolto anche utilizzando semplicemente il calcolo combinatorio e le combinazioni, ma senza, però, considerare l'evento complementare (è un puro esercizio che mi piace fare, indipendentemente dal fatto che possano esserci strumenti più snelli per arrivare alla soluzione - che purtroppo non possiedo ancora).
Io ho provato a utilizzare, per la risoluzione, i calcoli indicati di seguito (l'interpretazione che ho dato è la seguente: basta che vi sia una coppia in due dei cinque posti e per i restanti potrebbe esserci qualsiasi carta che non sia stata già utilizzata per comporre la coppia "iniziale"; si fa riferimento solo al numero di carte "uguali", e non ai punteggi del poker):
$\frac{"Casi favorevoli"}{"Casi possibili"} = \frac{13 ((4), (2)) ((50), (3))}{((52), (5))} = 0.58823529$,
tuttavia, confrontando il risultato con quello che si otterrebbe utilizzando la probabilità dell'evento complementare (E="probabilità che le cinque carte estratte siano tutte diverse"), il risultato è diverso. Infatti, in quel caso, i calcoli sono i seguenti:
$\frac{"Casi favorevoli"}{"Casi possibili"} = 1 - \frac{4^5 ((13), (5))}{((52), (5))} = 0.492917167$.
Dove sbaglio?
Pubblico questa risposta per verificare se l'esercizio in questione possa essere risolto anche utilizzando semplicemente il calcolo combinatorio e le combinazioni, ma senza, però, considerare l'evento complementare (è un puro esercizio che mi piace fare, indipendentemente dal fatto che possano esserci strumenti più snelli per arrivare alla soluzione - che purtroppo non possiedo ancora).
Io ho provato a utilizzare, per la risoluzione, i calcoli indicati di seguito (l'interpretazione che ho dato è la seguente: basta che vi sia una coppia in due dei cinque posti e per i restanti potrebbe esserci qualsiasi carta che non sia stata già utilizzata per comporre la coppia "iniziale"; si fa riferimento solo al numero di carte "uguali", e non ai punteggi del poker):
$\frac{"Casi favorevoli"}{"Casi possibili"} = \frac{13 ((4), (2)) ((50), (3))}{((52), (5))} = 0.58823529$,
tuttavia, confrontando il risultato con quello che si otterrebbe utilizzando la probabilità dell'evento complementare (E="probabilità che le cinque carte estratte siano tutte diverse"), il risultato è diverso. Infatti, in quel caso, i calcoli sono i seguenti:
$\frac{"Casi favorevoli"}{"Casi possibili"} = 1 - \frac{4^5 ((13), (5))}{((52), (5))} = 0.492917167$.
Dove sbaglio?
Nel postare due messaggi uguali 
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"axpgn":
Nel postare due messaggi uguali
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Non me ne sono accorto, credevo si fosse cancellato da solo (ho fatto confusione con le formule e ho dovuto modificare, solo che avevo aperta una "finestra" che avevo già aperto prima e lì il messaggio non compariva
), e ora non riesco a cancellarlo più 
Non puoi più cancellarlo però puoi cancellarne il contenuto … e ci scrivi "non lo faccio più" 
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