Scuola Normale Superiore, problema 4, anno 2008/2009
Il problema 4 recitava così:
Un congresso scientifico conta 30 partecipanti, provenienti da 6 città, 5 per città.
La sala da pranzo della sede del convegno dispone di 6 tavoli da 5 posti.
Per favorire la conoscenza dei partecipanti, si decide che in nessun tavolo devono essere presenti due scienziati concittadini.
Si chiedono i modi possibili per disporre i partecipanti nei 6 tavoli.
Nota: considerare i tavoli come distinti, ma non badare all'ordine in cui i commensali sono seduti allo stesso tavolo.
E' sufficiente esprimere il risultato come prodotto di potenze.
A me venne, in sede di prova, un numero che appare troppo grande:
$6^5*5^6*4^6*3^6*2^6=23.219.011.584.000.000$.
La combinatoria, ahimè, non è il mio forte.
Se avete voglia di cimentarvi, poi fatemi sapere
Un congresso scientifico conta 30 partecipanti, provenienti da 6 città, 5 per città.
La sala da pranzo della sede del convegno dispone di 6 tavoli da 5 posti.
Per favorire la conoscenza dei partecipanti, si decide che in nessun tavolo devono essere presenti due scienziati concittadini.
Si chiedono i modi possibili per disporre i partecipanti nei 6 tavoli.
Nota: considerare i tavoli come distinti, ma non badare all'ordine in cui i commensali sono seduti allo stesso tavolo.
E' sufficiente esprimere il risultato come prodotto di potenze.
A me venne, in sede di prova, un numero che appare troppo grande:
$6^5*5^6*4^6*3^6*2^6=23.219.011.584.000.000$.
La combinatoria, ahimè, non è il mio forte.
Se avete voglia di cimentarvi, poi fatemi sapere
Risposte
Ah, combinatoria... 
Essendoci 5 posti per tavolo, ogni città avrà un tavolo dove non sarà presente. Questo può essere scelto in $6!$ modi.
Una volta designati i posti di ogni città, ogni città potrà disporre i suoi 5 scienziati in $5!$ modi, che va elevato alla sesta perchè ogni città può farlo.
Quindi a me verrebbe qualcosa come $6!\cdot5!^6$
(Premetto che io a Pisa non c'era, non sarei passato sicuro... e cmq mi piace Roma
)
Essendoci 5 posti per tavolo, ogni città avrà un tavolo dove non sarà presente. Questo può essere scelto in $6!$ modi.
Una volta designati i posti di ogni città, ogni città potrà disporre i suoi 5 scienziati in $5!$ modi, che va elevato alla sesta perchè ogni città può farlo.
Quindi a me verrebbe qualcosa come $6!\cdot5!^6$
(Premetto che io a Pisa non c'era, non sarei passato sicuro... e cmq mi piace Roma
)
A me facendo il calcolo viene qualcosa di ancora diverso: $6^5*5^5*4^5*3^5*2^5*6!$.
Il ragionamento che ho fatto è questo: il primo tavolo potrà essere formato scegliendo uno dei 6 scienziati di ogni città, il secondo uno dei 5 rimanenti di ogni città, il terzo uno ogni 4 e così' via. Fatti i vari gruppi ho poi pensato che il modo di disporli nei tavoli può essere calcolato come il numero delle permutazioni di 6 elementi. Non sono molto sicuro del risultato;mi sembra di aver tralasciato qualcosa, voi che ne pensate?
Il ragionamento che ho fatto è questo: il primo tavolo potrà essere formato scegliendo uno dei 6 scienziati di ogni città, il secondo uno dei 5 rimanenti di ogni città, il terzo uno ogni 4 e così' via. Fatti i vari gruppi ho poi pensato che il modo di disporli nei tavoli può essere calcolato come il numero delle permutazioni di 6 elementi. Non sono molto sicuro del risultato;mi sembra di aver tralasciato qualcosa, voi che ne pensate?
io ho ottenuto lo stesso risultato di Gatto89, ricavato (e quindi scritto) nel modo seguente: $6!*5^6*4^6*3^6*2^6$, quindi, in maniera più compatta, come proposto da Gatto89 ($6!*(5!)^6$), o, sotto forma di potenze, $6*5^7*4^7*3^7*2^7=2^22*3^8*5^7$.
il modo più semplice mi pare quello di "andare nell'ordine dei tavoli" e scegliere tra 6, 5, 4, 3, 2, 1 città una persona tra quelle che ci sono, partendo da 6.
ciao.
il modo più semplice mi pare quello di "andare nell'ordine dei tavoli" e scegliere tra 6, 5, 4, 3, 2, 1 città una persona tra quelle che ci sono, partendo da 6.
ciao.
Azzardo una risposta....
Io ho pensato che il numero dei tavoli possibili da 5 persone e in ognuno di essi sono presenti 5 scienziati non compaesani può essere:
$30*25*20*15*10$.
Ora il numero di possibili gruppi da 6 tavoli può essere:
$(30*25*20*15*10)/6=375000$.
Io ho pensato che il numero dei tavoli possibili da 5 persone e in ognuno di essi sono presenti 5 scienziati non compaesani può essere:
$30*25*20*15*10$.
Ora il numero di possibili gruppi da 6 tavoli può essere:
$(30*25*20*15*10)/6=375000$.
Io ho cercato di semplificare il problema:
mettiamo di avere 3 paesi con ognuno 2 scienziati. Devo preparare 3 tavoli da due posti con le stesse regole di prima.
Chiamo i 3 paesi 1,2,3.
Ora:
1 avrà gli scienziati A,B.
2 avrà C,D.
3 avrà E,F.
I tavoli potranno essere:
(AC)(BE)(DF)
(AC)(BF)(DE)
(AD)(BE)(CF)
(AD)(BF)(CE)
(AE)(BC)(DF)
(AE)(BD)(CF)
(AF)(BC)(DE)
(AF)(BD)(CE).
Quindi ragionando come ho fatto precedentemente, il risultato sarà $(6*4)/3=8$
mettiamo di avere 3 paesi con ognuno 2 scienziati. Devo preparare 3 tavoli da due posti con le stesse regole di prima.
Chiamo i 3 paesi 1,2,3.
Ora:
1 avrà gli scienziati A,B.
2 avrà C,D.
3 avrà E,F.
I tavoli potranno essere:
(AC)(BE)(DF)
(AC)(BF)(DE)
(AD)(BE)(CF)
(AD)(BF)(CE)
(AE)(BC)(DF)
(AE)(BD)(CF)
(AF)(BC)(DE)
(AF)(BD)(CE).
Quindi ragionando come ho fatto precedentemente, il risultato sarà $(6*4)/3=8$
@ nox89
se confronti il tuo risultato con il mio (e quindi con quello di Gatto89), il tuo in forma compatta sarebbe $(6!)^6$, facci caso. sei ancora dello stesso parere?
ciao.
se confronti il tuo risultato con il mio (e quindi con quello di Gatto89), il tuo in forma compatta sarebbe $(6!)^6$, facci caso. sei ancora dello stesso parere?
ciao.
Hai perfettamente ragione adaBTTLS, posso scrivere il risultato come dici tu, inoltre ho capito anche cosa avevo sbagliato nel mio ragionamento(avevo considerato 5 tavoli e 6 scienziati invece di 6 tavoli e 5 scienziati), il risultato che tu e gatto avete trovato mi sembra convincente.
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