Scambio del limite con la media

[stelladinatale1]

Scusate ma sto studiando una dimostrazione e ci sono dei pezzi che non mi sono tanto chiari.

Questo mi sembrava un passaggio facilissimo, ma adesso non mi torna più:
ho una successione di funzioni $\{f_k\}_k$ su $\mathbb{R}$ continue e limitate t.c. $f_k\downarrow\mathbb{1}_{(-\infty, -\lambda]\cup[\lambda, +\infty)}$ e una varabile aleatoria $Z$ che è una normale standard.
Perchè $\lim_{k\to+\infty}\mathbb{E}(f_k(Z))=P(|Z|\geq\lambda)$
(Se al posto dell'$=$ avessi $\leq$ andrebbe bene comunque).

Mi sembra che si deve poter scambiare il limite con la media.
Ma non posso usare nè il teorema di convergenza monotona ( perchè la mia successione di funzioni è decrescente), nè il teorema di convergenza dominata (perchè la mia successione di funzioni non è uniformemente limitata).
Forse c'è un teorema di convergenza monotona anche per funzioni decrescenti?
Grazie

[DajeForte]

C'è una versione per successioni decrescenti, ma devi aggiungere anche altre ipotesi tipo che la successione sia dominata da una funzione integrabile.

Bisognerebbe vedere se hai una specificazione più precisa di queste funzioni (sicuramente qualche cosa si può fare magari usando la continuità). Oppure visto che la successione è decrescente hai che:

$+ infty>s up f_1>f_k(x)$ per ogni $x$ e $k$, ovvero essendo decrescenti sono dominate da $f_1$.

[stelladinatale1]

Ciao Daje Forte.
Effettivamente si, posso usare allora il teorema di convergnza dominata, in quanto so che la mia successione di funzioni continue e limitate è decrescente, quindi è anche uniformemente limitata in quanto ho:
$f_k(x)\leqf_1(x)\leq c$ $\forall k$
dove $c$ è una costante che ha ovviamente media finita.
Quindi il teorema di convergenza dominata si può applicare.
Giusto?
Grazie mille