Salve a tutti... quesito di statistica su v.c. gaussiana
Salve a tutti!
sono nuovo del forum, quindi abbiate un pò di pazienza se commetto qualche errore nel postare il mio problema.
Detto questo il mio problema che ho presentato anche su answers senza risposte è credo molto semplice e non so se sia propriamente statistico ma di semplice passaggi matematici riguardanti però la trasformazione di una v.c. gaussiana in una v.c. gaussiana standardizzata.
Nel mio libro trovo che la formula
dalla funzione della v.c. gaussiana è
p(x) = 1/ ợ * √ 2π * e^[-(x-m)^2 / 2*(ợ^2)]
e ponendo
z = (x - m)/ợ
si ottiene
p(x) = 1/√ 2π * e^
z^2) / 2]
ciò che non capisco è PERCHE' si elimina lo scarto quadratico medio ợ al denominatore???
Non dovrei ottenere invece p(x) = 1/√ ợ * 2π * e^z^2) / 2]
visto che sostituisco solo la x?
Grazie per qualsiasi aiuto fornito, ho anche altre domande riguardanti i modelli di v.c. ma non vorrei procedere senza aver capito questa, che probabilmente è stupidaggine :/
Ciao
Balengs
sono nuovo del forum, quindi abbiate un pò di pazienza se commetto qualche errore nel postare il mio problema.
Detto questo il mio problema che ho presentato anche su answers senza risposte è credo molto semplice e non so se sia propriamente statistico ma di semplice passaggi matematici riguardanti però la trasformazione di una v.c. gaussiana in una v.c. gaussiana standardizzata.
Nel mio libro trovo che la formula
dalla funzione della v.c. gaussiana è
p(x) = 1/ ợ * √ 2π * e^[-(x-m)^2 / 2*(ợ^2)]
e ponendo
z = (x - m)/ợ
si ottiene
p(x) = 1/√ 2π * e^
z^2) / 2]ciò che non capisco è PERCHE' si elimina lo scarto quadratico medio ợ al denominatore???
Non dovrei ottenere invece p(x) = 1/√ ợ * 2π * e^
z^2) / 2]visto che sostituisco solo la x?
Grazie per qualsiasi aiuto fornito, ho anche altre domande riguardanti i modelli di v.c. ma non vorrei procedere senza aver capito questa, che probabilmente è stupidaggine :/
Ciao
Balengs
Risposte
scusate con [ ( mi è venuto il tipo con le braccia conserte
Intanto dovresti imparare ad usare le formule del forum per rendere il tuo messaggio comprensibile.
Comunque credo che il tuo dubbio possa essere spiegato semplicemente con un po' di teoria.
La $N(mu,sigma^2)$ ha, per definizione, densità uguale a$1/(sqrt(2pisigma^2))*e^(-1/2*((x-mu)/sigma)^2)$. Sempre per definizione, una Normale Standard ha media nulla e varianza unitaria, cioè è $N(0,1)$ e quindi sostituendo questi valori alla funzione prima ottengo $1/(sqrt(2pi))*e^(-x^2/2)$.
Quindi la ragione della formula $Z=(X-mu)/sigma$ è data da questo aspetto di teoria che ti ho appena detto, e dalle proprietà di media e varianza.
Cioè, poniamo di avere $Y\simN(mu,sigma^2)$ e voglio standardizzarla. Allora devo trasformarla in una $N(0,1)$.
Come faccio? Intanto la media deve passare da $mu$ a $0$ e quindi semplicemente faccio $mu-mu$ e questo$-mu$ lo porto fuori, quindi $Y\simN(mu,sigma^2) => Y-mu\simN(0,sigma^2)$
Ora la varianza deve passare da $sigma^2$ a $1$. Come faccio? La divido per se stessa, cioè $sigma^2/sigma^2$ e porto fuori il denominatore. Il punto è che per portarlo fuori c'è un ulteriore passaggio, dato che la teoria ci dice che $V(aX)=a^2V(X)$ con $a$ costante e $X$ variabile casuale. Quindi se voglio dividere per $sigma^2$ e portare fuori, devo metterlo sotto radice e quindi $(Y-mu)/(sqrt(sigma^2))=(Y-mu)/sigma\simN(0,1)$
A questo punto è solo questione di sostituire alla formula generale i valori $mu=0$ e $sigma^2=1$ e credo che non ci possano essere dubbi
Comunque credo che il tuo dubbio possa essere spiegato semplicemente con un po' di teoria.
La $N(mu,sigma^2)$ ha, per definizione, densità uguale a$1/(sqrt(2pisigma^2))*e^(-1/2*((x-mu)/sigma)^2)$. Sempre per definizione, una Normale Standard ha media nulla e varianza unitaria, cioè è $N(0,1)$ e quindi sostituendo questi valori alla funzione prima ottengo $1/(sqrt(2pi))*e^(-x^2/2)$.
Quindi la ragione della formula $Z=(X-mu)/sigma$ è data da questo aspetto di teoria che ti ho appena detto, e dalle proprietà di media e varianza.
Cioè, poniamo di avere $Y\simN(mu,sigma^2)$ e voglio standardizzarla. Allora devo trasformarla in una $N(0,1)$.
Come faccio? Intanto la media deve passare da $mu$ a $0$ e quindi semplicemente faccio $mu-mu$ e questo$-mu$ lo porto fuori, quindi $Y\simN(mu,sigma^2) => Y-mu\simN(0,sigma^2)$
Ora la varianza deve passare da $sigma^2$ a $1$. Come faccio? La divido per se stessa, cioè $sigma^2/sigma^2$ e porto fuori il denominatore. Il punto è che per portarlo fuori c'è un ulteriore passaggio, dato che la teoria ci dice che $V(aX)=a^2V(X)$ con $a$ costante e $X$ variabile casuale. Quindi se voglio dividere per $sigma^2$ e portare fuori, devo metterlo sotto radice e quindi $(Y-mu)/(sqrt(sigma^2))=(Y-mu)/sigma\simN(0,1)$
A questo punto è solo questione di sostituire alla formula generale i valori $mu=0$ e $sigma^2=1$ e credo che non ci possano essere dubbi
"Balengs":
ciò che non capisco è PERCHE' si elimina lo scarto quadratico medio ợ al denominatore???
Non dovrei ottenere invece p(x) = 1/√ ợ * 2π * e^
visto che sostituisco solo la x?
Ciao. Non basta solo "sostituire"...
Per avere la funzione densità di probabilità di una variabile trasformata (in questo caso dalla standardizzazione), occorre anche moltiplicare per la derivata $dx/dz$. (*)
Dato che $z=(x-\mu)/\sigma->x=\mu+\sigma*z$ allora $dx/dz=\sigma$. Ciò spiega perchè il $\sigma$ poi si semplifica.
(*) almeno è così nel caso in cui la funzione che lega le variabili x e z è biunivoca (come nel caso della standardizzazione).
Vi ringrazio per le risposte 
Con ciò ragazzi vorrei farvi presente che io sono, per dirla eufemisticamente, poco portato per la matematica e ho sviluppato un interesse solo recente ( diciamo che alcune letture mi hanno fatto comprendere l'importanza di questa disciplina).
Detto questo mi rivolgo prima a te Arado:
so che la v.c. casuale gaussiana standardizzata ha media = 0 e varianza = 1.
Non è che non mi interessa o non lo sapessi ... Ho visto la formula e volevo capire perchè visto che vorrei comrpendere ciò che studio.
Ma non è che ci ho capito molto, anche perchè non ho capito che passaggi hai fatto e non ho mai risolto come hai fatto tu.
@Cenzo
il libro mi dà quei duei risultati (cioè mi dà la formula della gaussiana quella di "z" e mi dà infine la formula della guassiana standardizzata e non fa la minima menzione di derivazione....
Vi assicuro che la volontà e la voglia di apprendere non mancano, ciao
balengs
Con ciò ragazzi vorrei farvi presente che io sono, per dirla eufemisticamente, poco portato per la matematica e ho sviluppato un interesse solo recente ( diciamo che alcune letture mi hanno fatto comprendere l'importanza di questa disciplina).
Detto questo mi rivolgo prima a te Arado:
so che la v.c. casuale gaussiana standardizzata ha media = 0 e varianza = 1.
Non è che non mi interessa o non lo sapessi ... Ho visto la formula e volevo capire perchè visto che vorrei comrpendere ciò che studio.
Ma non è che ci ho capito molto, anche perchè non ho capito che passaggi hai fatto e non ho mai risolto come hai fatto tu.
@Cenzo
il libro mi dà quei duei risultati (cioè mi dà la formula della gaussiana quella di "z" e mi dà infine la formula della guassiana standardizzata e non fa la minima menzione di derivazione....
Vi assicuro che la volontà e la voglia di apprendere non mancano, ciao
balengs
Beh, rifacciamo i conti passo passo.
Poniamo $Y\simN(mu,sigma^2)$. Voglio standardizzarla ed avere $Z\simN(0,1)$
Il passaggio immediato per arrivare a $Z$ è fare $Y\simN(mu-mu, sigma^2/sigma^2)$. Fin qua credo non ci siano problemi, mi ritroverei con $(0,1)$ come vorrei.
Solo che, così come nelle equazioni, se ad esempio tolgo $mu$ a "destra", devo toglierlo anche a "sinistra" per mantenere l'equaglianza e quindi $Y-mu\simN(mu-mu,sigma^2)$ e la proprietà del valore atteso mi permette di fare questo. Adesso devo fare lo stesso per la varianza, cioè devo dividere per $sigma^2$ da entrambe le parti. Il punto è che per la varianza non è così "semplice" come per la media, perchè la varianza ha una proprietà che ci dice che, data $X$ v.c. ed $a$ costante $RR$ $=>V(aX)=a^2V(X)$. Questo vuol dire che non posso semplicemente portare fuori e dividere per $sigma^2$, ma devo dividere per $sqrt(sigma^2)$ e quindi arrivo a spiegare la formula che hai citato te, cioè $(Y-mu)/sqrt(sigma^2)\simN(mu-mu,sigma^2/sigma^2)=N(0,1)$
Una volta che hai capito questo in realtà arrivi anche a quello che ti diceva cenzo, anche se è un argomento un po' più "avanzato". Cioè, se ho una variabile $Y$ ed ho una sua trasformazione $T(Y)$ (che in questo caso è $Z=(Y-mu)/sigma$) posso ricavare la densità di $Z$ grazie ad una semplice formula che mi dice proprio di trovare l'inversa della trasformazione ( $Z=(Y-mu)/sigma=>Y=sigmaZ+mu$) e farne la derivata rispetto a $Z$ che fa $sigma$. A questo punto, per passare dalla densità di $Y$ che è la Normale, a quella di $Z$ che è la Normale standard (cioè una sua particolare trasformazione), sostituisco a $y$ il valore $z=(y-mu)/sigma$ e moltiplico per la derivata $sigma$ e questo spiega il tuo dubbio iniziale.
Infine si tratta di due modi diversi per arrivare allo stesso risultato, il secondo però presume la conoscenza di quel teorema sulla trasformazione di variabili continue sotto particolari ipotesi.
Poniamo $Y\simN(mu,sigma^2)$. Voglio standardizzarla ed avere $Z\simN(0,1)$
Il passaggio immediato per arrivare a $Z$ è fare $Y\simN(mu-mu, sigma^2/sigma^2)$. Fin qua credo non ci siano problemi, mi ritroverei con $(0,1)$ come vorrei.
Solo che, così come nelle equazioni, se ad esempio tolgo $mu$ a "destra", devo toglierlo anche a "sinistra" per mantenere l'equaglianza e quindi $Y-mu\simN(mu-mu,sigma^2)$ e la proprietà del valore atteso mi permette di fare questo. Adesso devo fare lo stesso per la varianza, cioè devo dividere per $sigma^2$ da entrambe le parti. Il punto è che per la varianza non è così "semplice" come per la media, perchè la varianza ha una proprietà che ci dice che, data $X$ v.c. ed $a$ costante $RR$ $=>V(aX)=a^2V(X)$. Questo vuol dire che non posso semplicemente portare fuori e dividere per $sigma^2$, ma devo dividere per $sqrt(sigma^2)$ e quindi arrivo a spiegare la formula che hai citato te, cioè $(Y-mu)/sqrt(sigma^2)\simN(mu-mu,sigma^2/sigma^2)=N(0,1)$
Una volta che hai capito questo in realtà arrivi anche a quello che ti diceva cenzo, anche se è un argomento un po' più "avanzato". Cioè, se ho una variabile $Y$ ed ho una sua trasformazione $T(Y)$ (che in questo caso è $Z=(Y-mu)/sigma$) posso ricavare la densità di $Z$ grazie ad una semplice formula che mi dice proprio di trovare l'inversa della trasformazione ( $Z=(Y-mu)/sigma=>Y=sigmaZ+mu$) e farne la derivata rispetto a $Z$ che fa $sigma$. A questo punto, per passare dalla densità di $Y$ che è la Normale, a quella di $Z$ che è la Normale standard (cioè una sua particolare trasformazione), sostituisco a $y$ il valore $z=(y-mu)/sigma$ e moltiplico per la derivata $sigma$ e questo spiega il tuo dubbio iniziale.
Infine si tratta di due modi diversi per arrivare allo stesso risultato, il secondo però presume la conoscenza di quel teorema sulla trasformazione di variabili continue sotto particolari ipotesi.
Ho preso la decisione drastica di ricominciare a studiare tutto daccapo... Visto che non ho capito una mazza di quello che mi dici...
1)Mi spieghi che vuol dire il simbolo " ∼ " ??
2)Ma trasformazione non è una semplice sostituzione , mio Dio sto diventando matto è tutto il giorno che cerco di capirci qualcosa e non ci ho raccapezzato nulla
Non potresti mostrarmi il procedimento? Da quello potrei trarre le conclusioni da me ....
Mi sono scaricato le lezioni di statistica dell'università uninettuno e Scozzafava mi dice candidamente che per avere un numero aleatorio standardizzato devo "semplicemente prendere X sottrargli M e dividere per il suo scarto standard."
Ma che vuol DIRE!?!? NON ARRIVO AI RISULTATI che mi esponete voi.....
Vi assicuro che sono due giorni che cerco di arrivarci da solo e non so più dove sbattere la testa
1)Mi spieghi che vuol dire il simbolo " ∼ " ??
2)Ma trasformazione non è una semplice sostituzione , mio Dio sto diventando matto è tutto il giorno che cerco di capirci qualcosa e non ci ho raccapezzato nulla
Non potresti mostrarmi il procedimento? Da quello potrei trarre le conclusioni da me ....
Mi sono scaricato le lezioni di statistica dell'università uninettuno e Scozzafava mi dice candidamente che per avere un numero aleatorio standardizzato devo "semplicemente prendere X sottrargli M e dividere per il suo scarto standard."
Ma che vuol DIRE!?!? NON ARRIVO AI RISULTATI che mi esponete voi.....
Vi assicuro che sono due giorni che cerco di arrivarci da solo e non so più dove sbattere la testa
Allora... $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ significa che la variabile aleatoria $X$ "è distribuita come" ($\sim$) una v.c. Normale ($N$) di media $E[X]=\mu$ e varianza $Var(X)=E[(X-\mu)^2]=\sigma^2.$.
La pdf (funzione densità di probabilità) di una normale è: $f_{X}(x)=1/(\sigma\sqrt(2pi))*e^(-1/2*((x-mu)/sigma)^2)$
Ora sai che la normale standard è una $X\simN(0,1)$, cioè ha media $\mu=0$ e varianza $\sigma^2=1->\sigma=1$
Se sostituisci questi valori nella pdf della normale, ottieni $1/(1*\sqrt(2pi))*e^(-1/2*((x-0)/1)^2)=1/(\sqrt(2pi))*e^(-1/2*x^2)$
Tradizionalmente si suole indicare una normale standard con la lettera $Z$, per cui trovi espressa la sua pdf così: $f_{Z}(z)=1/(\sqrt(2pi))*e^(-1/2*z^2)$
E' possibile trasformare una normale non standard in una normale standard ? Si, mediante la standardizzazione, che è una particolare trasformazione di variabili casuali. La formula la conosci: $Z=(X-\mu)/\sigma$
La domanda che potremmo porci ora è: chi ci garantisce che questa trasformazione da' luogo ad una normale standard?
Dovremmo verificare che la media di questa variabile $Z$ è zero e la sua varianza è uno.
Sapresti farlo ? (suggerimento: utilizza l'operatore "speranza matematica" $E[.]$)
La pdf (funzione densità di probabilità) di una normale è: $f_{X}(x)=1/(\sigma\sqrt(2pi))*e^(-1/2*((x-mu)/sigma)^2)$
Ora sai che la normale standard è una $X\simN(0,1)$, cioè ha media $\mu=0$ e varianza $\sigma^2=1->\sigma=1$
Se sostituisci questi valori nella pdf della normale, ottieni $1/(1*\sqrt(2pi))*e^(-1/2*((x-0)/1)^2)=1/(\sqrt(2pi))*e^(-1/2*x^2)$
Tradizionalmente si suole indicare una normale standard con la lettera $Z$, per cui trovi espressa la sua pdf così: $f_{Z}(z)=1/(\sqrt(2pi))*e^(-1/2*z^2)$
E' possibile trasformare una normale non standard in una normale standard ? Si, mediante la standardizzazione, che è una particolare trasformazione di variabili casuali. La formula la conosci: $Z=(X-\mu)/\sigma$
La domanda che potremmo porci ora è: chi ci garantisce che questa trasformazione da' luogo ad una normale standard?
Dovremmo verificare che la media di questa variabile $Z$ è zero e la sua varianza è uno.
Sapresti farlo ? (suggerimento: utilizza l'operatore "speranza matematica" $E[.]$)
Non so come si fa una trasformazione! Io credevo fosse una semplice sostituzione cioè pensavo che:
ponendo Z= x - m / scarto quadratico medio
ottengo $1/(\sigma*\sqrt(2pi))*e^(-1/2*((x-0)/1)^2)=1/(\sqrt(2pi))*e^(-1/2*x^2)$
cioè los carto al denominatore non mi sparisce!
Potreste dirmi sotto quale argomento della matematica si trovano queste trasformazioni che me le vado a rivedere... così poi (forse potremmo parlare sun simile lunghezza d'onda ( spero :( )
ponendo Z= x - m / scarto quadratico medio
ottengo $1/(\sigma*\sqrt(2pi))*e^(-1/2*((x-0)/1)^2)=1/(\sqrt(2pi))*e^(-1/2*x^2)$
cioè los carto al denominatore non mi sparisce!
Potreste dirmi sotto quale argomento della matematica si trovano queste trasformazioni che me le vado a rivedere... così poi (forse potremmo parlare sun simile lunghezza d'onda ( spero :( )
La trasformazione di cui stiamo parlando adesso è la trasformazione di variabili casuali continue, che è un argomento di statistica.
Esiste un teorema che afferma:
Data $Y$ v.c. continua con funzione di densità nota $p_Y$ e data una sua trasformazione $T=g(Y)$ strettamente monotona e derivabile,
Allora la funzione di densità di $T$ è $p_T(t)=p_Y(g^(-1)(t))*|(d(g^(-1)(t)))/(dt)|
Dove $g^(-1)(t)$ è l'inversa della trasformazione e $(d(g^(-1)(t)))/(dt)$ è la sua derivata.
Facciamo un esempio semplice:
$p_Y(y)=2y$ con $y in [0,1]$
$T=e^(-y)$
Quindi:
$g^(-1)(t) -> t=e^(-y) -> y=-log(t)$
$(d(g^(-1)(t)))/(dt) = -1/t$
Dunque: $p_T(t)=2(-log(t))*|-1/t|=(-2log(t))/(t)$
Allo stesso modo lo fai con la Normale. In quel caso hai $Y\simN(mu,sigma^2)$ e e la trasformazione $Z=(Y-mu)/sigma$.
Quindi:
$g^(-1)(z) -> y=sigmaz+mu$
$(d(g^(-1)(z)))/(dz) = sigma$
Dunque: $p_Z(z)= 1/(sqrt(2pisigma^2))e^{-1/2((sigmaz+mu-mu)/sigma)}*|sigma| = 1/(sigma(sqrt(2pi)))e^{-1/2z}*|sigma| = 1/(sqrt(2pi))e^{-1/2z}$
In poche parole, oltre a sostituire, devi moltiplicare per la derivata dell'inversa
Esiste un teorema che afferma:
Data $Y$ v.c. continua con funzione di densità nota $p_Y$ e data una sua trasformazione $T=g(Y)$ strettamente monotona e derivabile,
Allora la funzione di densità di $T$ è $p_T(t)=p_Y(g^(-1)(t))*|(d(g^(-1)(t)))/(dt)|
Dove $g^(-1)(t)$ è l'inversa della trasformazione e $(d(g^(-1)(t)))/(dt)$ è la sua derivata.
Facciamo un esempio semplice:
$p_Y(y)=2y$ con $y in [0,1]$
$T=e^(-y)$
Quindi:
$g^(-1)(t) -> t=e^(-y) -> y=-log(t)$
$(d(g^(-1)(t)))/(dt) = -1/t$
Dunque: $p_T(t)=2(-log(t))*|-1/t|=(-2log(t))/(t)$
Allo stesso modo lo fai con la Normale. In quel caso hai $Y\simN(mu,sigma^2)$ e e la trasformazione $Z=(Y-mu)/sigma$.
Quindi:
$g^(-1)(z) -> y=sigmaz+mu$
$(d(g^(-1)(z)))/(dz) = sigma$
Dunque: $p_Z(z)= 1/(sqrt(2pisigma^2))e^{-1/2((sigmaz+mu-mu)/sigma)}*|sigma| = 1/(sigma(sqrt(2pi)))e^{-1/2z}*|sigma| = 1/(sqrt(2pi))e^{-1/2z}$
In poche parole, oltre a sostituire, devi moltiplicare per la derivata dell'inversa
vi voglio bene ragazzi
Grazie per tutte le informazioni mi farò sicuramente risentire (sperando di avere le idee un pò più chiare
Ciao ciao
Grazie per tutte le informazioni mi farò sicuramente risentire (sperando di avere le idee un pò più chiare
Ciao ciao
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