[RISOLTO]problema con un esercizio
ciao ragazzi ho un problema con un esercizio vi scrivo il testo e quello che sono riuscito a fare...
i componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuali del 3% e 7% rispettivamente.I due tipi di difettosita si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si puo assumere che le presenze dell'uno o dell'altro siano indipendenti tra loro.
insieme dei possibili risulati $\Omega = {D_1,D_2}$
eventi:
$D_1 = $si presenta il primo difetto
$D_2=$si presenta il secondo difetto
$P(D_1) = 0.03$
$P(D_2) = 0.07$
domande
a)probabilità che un componente presenti entrambi i difetti?
$P(D_1 nn D_2) = P(D_1)*P(D_2)=0.03*0.07$ e il risultato torna
b)probabilità che un componente sia difettoso (cioè che presenti almeno uno dei due difetti)?
$P((D_1 nn D_2^c) uu (D_2 nn D_1^c) uu (D_1 nn D_2))$ e anche questo punto sviluppando mi viente
c)probabilità che il componente presenti il difetto 1, sapendo che esso è difettoso?
non riesco a capire come devo impostare.... il risultato è $0.306$
grazie in anticipo ragazzi....
i componenti prodotti da una certa ditta possono presentare due tipi di difetti, con percentuali del 3% e 7% rispettivamente.I due tipi di difettosita si possono produrre in momenti diversi della produzione per cui si puo assumere che le presenze dell'uno o dell'altro siano indipendenti tra loro.
insieme dei possibili risulati $\Omega = {D_1,D_2}$
eventi:
$D_1 = $si presenta il primo difetto
$D_2=$si presenta il secondo difetto
$P(D_1) = 0.03$
$P(D_2) = 0.07$
domande
a)probabilità che un componente presenti entrambi i difetti?
$P(D_1 nn D_2) = P(D_1)*P(D_2)=0.03*0.07$ e il risultato torna
b)probabilità che un componente sia difettoso (cioè che presenti almeno uno dei due difetti)?
$P((D_1 nn D_2^c) uu (D_2 nn D_1^c) uu (D_1 nn D_2))$ e anche questo punto sviluppando mi viente
c)probabilità che il componente presenti il difetto 1, sapendo che esso è difettoso?
non riesco a capire come devo impostare.... il risultato è $0.306$
grazie in anticipo ragazzi....
Risposte
Ti rispondo velocemente che sono nuovo e ci metto un'eternità con Latex (poi provo a scrivertelo in formule), comunque credo che tu debba usare il teorema di Bayes.
Teorema di Bayes:
$$P(A_i|E)= \frac{P(E|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^n P(E|A_j)P(A_j)}$$
Essendo insipendenti gli eventi, sia sopra che sotto lo puoi scrivere come il prodotto delle due probabilità.
$$\frac{P(D_1)P(D_2)+P(D_1)P(D_2^c)}{P(D_1)P(D_2)+P(D_1)P(D_2^c)+P(D_1^c)P(D_2)}$$
dovrebbe venire così in calcoli $\frac{0,03}{0,0979} = 0,3064351....$
( spero non ci siano errori)
$$P(A_i|E)= \frac{P(E|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^n P(E|A_j)P(A_j)}$$
Essendo insipendenti gli eventi, sia sopra che sotto lo puoi scrivere come il prodotto delle due probabilità.
$$\frac{P(D_1)P(D_2)+P(D_1)P(D_2^c)}{P(D_1)P(D_2)+P(D_1)P(D_2^c)+P(D_1^c)P(D_2)}$$
dovrebbe venire così in calcoli $\frac{0,03}{0,0979} = 0,3064351....$
( spero non ci siano errori)
ok difatti avevo pensato proprio a questa formula ma.... ti dico cosa ho pensato
gli eventi sono indipendenti perchè oltre a dirlo il testo si possono verificare uno o entrambi senza che uno influenzi l'altro.
per la formula di bayes non so come devo fare ovvero:
$A_i$ per me è $D_1$ giusto?
$E$ per me deve essere il sottoinsieme delle parti di $Omega$ che contiene il fatto che il prodotto si difettoso indistintamente da quale difetto abbia giusto?
ultimo risolvendo la formula non riesco a capire perche mi ritrovo che mi si semplifica tutto sembra strano.... ma è così.
comuncque grazie tanto....
gli eventi sono indipendenti perchè oltre a dirlo il testo si possono verificare uno o entrambi senza che uno influenzi l'altro.
per la formula di bayes non so come devo fare ovvero:
$A_i$ per me è $D_1$ giusto?
$E$ per me deve essere il sottoinsieme delle parti di $Omega$ che contiene il fatto che il prodotto si difettoso indistintamente da quale difetto abbia giusto?
ultimo risolvendo la formula non riesco a capire perche mi ritrovo che mi si semplifica tutto sembra strano.... ma è così.
comuncque grazie tanto....
E di nulla, figurati! Scusami se rispondo ora. In effetti Bayes non l'ho mai trovato così immediato come procedimento.
Comunque si, secondo il mio ragionamento $A_i$ sarebbe $D_1$
$E=\{\text{evento componente difettoso}\}$ come hai detto giustamente te.
Al numeratore consideri tutti i casi in cui si ha che il componente difettoso sapendo che presenta almeno il difetto 1: $D_1$.
Per cui si calcola la probabilità dell'evento in cui si presentano tutti e due difetti e la probabilità dell'evento in cui si presenta il primo e non il secondo. Al denominatore invece metti tutti i casi possibili in cui si presenta la componente difettosa.
In numeri dovrebbe essere così:
$$\frac{0,03 \cdot 0,93 + 0,03 \cdot 0,07}{0,03 \cdot 0,93 + 0,07 \cdot 0,97 + 0,03 \cdot 0,07}$$
Comunque si, secondo il mio ragionamento $A_i$ sarebbe $D_1$
$E=\{\text{evento componente difettoso}\}$ come hai detto giustamente te.
Al numeratore consideri tutti i casi in cui si ha che il componente difettoso sapendo che presenta almeno il difetto 1: $D_1$.
Per cui si calcola la probabilità dell'evento in cui si presentano tutti e due difetti e la probabilità dell'evento in cui si presenta il primo e non il secondo. Al denominatore invece metti tutti i casi possibili in cui si presenta la componente difettosa.
In numeri dovrebbe essere così:
$$\frac{0,03 \cdot 0,93 + 0,03 \cdot 0,07}{0,03 \cdot 0,93 + 0,07 \cdot 0,97 + 0,03 \cdot 0,07}$$
Grazie mille.
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