[Risolto]Dimostrazione formula.
Scrivo in questa sezione in quanto il problema l'ho incontrato durante lo studio del modello di regressione semplice. Se dovessi avere sbagliato chiedo scusa.
L'identità che non riesco a dimostrare è la seguente:
\[\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2} = \sum_{i=1}^n\frac{x_i - \bar x}{\sum_{j=1}^nx_j^2 - n\bar x^2}y_i = \sum_{i=1}^n\frac{x_i - \bar x}{\sum_{j=1}^n(x_j-\bar x)^2}\]
In particolare dal primo membro al secondo membro non riesco a trovare la proprietà che giustifica il passaggio dalla divisione di due sommatorie alla sommatoria della divisione tra dividendo e la sommatoria al divisore.
Poi il passaggio dal divisore del secondo membro al divisore del terzo membro, rimanendo il dividendo immutato.
L'unica parte che sono riuscito a svolgere è la seguente:
\[\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2} = \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \frac{\sum_{i=1}^ny_i}{n}}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2} = \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - \bar x\sum_{i=1}^ny_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2}\]
ma non so se è la strada corretta.
Fausto
L'identità che non riesco a dimostrare è la seguente:
\[\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2} = \sum_{i=1}^n\frac{x_i - \bar x}{\sum_{j=1}^nx_j^2 - n\bar x^2}y_i = \sum_{i=1}^n\frac{x_i - \bar x}{\sum_{j=1}^n(x_j-\bar x)^2}\]
In particolare dal primo membro al secondo membro non riesco a trovare la proprietà che giustifica il passaggio dalla divisione di due sommatorie alla sommatoria della divisione tra dividendo e la sommatoria al divisore.
Poi il passaggio dal divisore del secondo membro al divisore del terzo membro, rimanendo il dividendo immutato.
L'unica parte che sono riuscito a svolgere è la seguente:
\[\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \bar y}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2} = \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - n\bar x \frac{\sum_{i=1}^ny_i}{n}}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2} = \frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i - \bar x\sum_{i=1}^ny_i}{\sum_{i=1}^nx_i^2 - n\bar x^2}\]
ma non so se è la strada corretta.
Fausto
Risposte
Si tratta del calcolo del coefficiente $b_1$ del sistema di Cramer. Comunque ciò che devi dimostrare è questo:
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n x_i^2-nbarx^2)=(\sum_{i=1}^n (x_i-barx)(y_i-bary))/(\sum_{i=1}^n (x_i-barx)^2)$
Dimostralo così:
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-nbarxbary-nbarxbary+nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n x_i^2-2nbarxbarx+nbarx^2)$
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-bary\sum_{i=1}^n x_i-barx\sum_{i=1}^n y_i+nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n x_i^2-\sum_{i=1}^n 2x_ibarx+\sum_{i=1} barx^2)$
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-bary\sum_{i=1}^n x_i-barx\sum_{i=1}^n y_i+\sum_{i=1}^nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_ibarx+barx^2))$
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-bary\sum_{i=1}^n x_i-barx\sum_{i=1}^n y_i+barx\sum_{i=1}^nbary)/(\sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_ibarx+barx^2))$
Adesso continua tu. Raccoglimento a fattor comune.
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n x_i^2-nbarx^2)=(\sum_{i=1}^n (x_i-barx)(y_i-bary))/(\sum_{i=1}^n (x_i-barx)^2)$
Dimostralo così:
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-nbarxbary-nbarxbary+nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n x_i^2-2nbarxbarx+nbarx^2)$
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-bary\sum_{i=1}^n x_i-barx\sum_{i=1}^n y_i+nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n x_i^2-\sum_{i=1}^n 2x_ibarx+\sum_{i=1} barx^2)$
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-bary\sum_{i=1}^n x_i-barx\sum_{i=1}^n y_i+\sum_{i=1}^nbarxbary)/(\sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_ibarx+barx^2))$
$(\sum_{i=1}^n x_iy_i-bary\sum_{i=1}^n x_i-barx\sum_{i=1}^n y_i+barx\sum_{i=1}^nbary)/(\sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_ibarx+barx^2))$
Adesso continua tu. Raccoglimento a fattor comune.
Grazie per la risposta,
ecco la continuazione, metto tutti i passaggi così vedi se scrivo strafalcioni:
\[\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^n\bar yx_i-\sum_{i=1}^n\bar xy_i+\sum_{i=1}^n\bar x \bar y}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2)}\]
\[\frac{\sum_{i=1}^n(x_iy_i-\bar yx_i-\bar xy_i+\bar x \bar y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2)}\]
\[\frac{\sum_{i=1}^n(x_i(y_i-\bar y)-\bar x(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2))}\]
\[\frac{\sum_{i=1}^n((y_i-\bar x)(y_i-\bar y))}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2)}\]
Così può andare bene?
ecco la continuazione, metto tutti i passaggi così vedi se scrivo strafalcioni:
\[\frac{\sum_{i=1}^nx_iy_i-\sum_{i=1}^n\bar yx_i-\sum_{i=1}^n\bar xy_i+\sum_{i=1}^n\bar x \bar y}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2)}\]
\[\frac{\sum_{i=1}^n(x_iy_i-\bar yx_i-\bar xy_i+\bar x \bar y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2)}\]
\[\frac{\sum_{i=1}^n(x_i(y_i-\bar y)-\bar x(y_i-\bar y)}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2))}\]
\[\frac{\sum_{i=1}^n((y_i-\bar x)(y_i-\bar y))}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x^2)}\]
Così può andare bene?
Attenzione non è
$(\sum_{i=1}^n(x_i-barx)(y_i-bary))/(\sum_{i=1}^n(x_i-barx^2))$ ma
$(\sum_{i=1}^n(x_i-barx)(y_i-bary))/(\sum_{i=1}^n(x_i-barx)^2)$
$(\sum_{i=1}^n(x_i-barx)(y_i-bary))/(\sum_{i=1}^n(x_i-barx^2))$ ma
$(\sum_{i=1}^n(x_i-barx)(y_i-bary))/(\sum_{i=1}^n(x_i-barx)^2)$
Hai ragione, grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo