Ricavare valor medio atteso da equazione di Langevin
Salve,
ho un'equazione stocastica di Langevin:
$ dH / dt = f(H) + g(H) * r(t) $
dove:
- H è la variabile di stato;
- f(H) è la funzione deterministica;
- g(H) è la funzione deterministica modulante il rumore;
- r(t) è il rumore.
Trovare la soluzione a questa equazione significa ricavare la funzione di probabilità.
Come mai il valor medio atteso si ricava:
sostituendo al rumore il valor medio ed imponendo pari a zero l'equazione di Langevin così modificata?
$ Hmedia : f(H) + g(H) * = 0 $
Grazie mille,
Silvia
ho un'equazione stocastica di Langevin:
$ dH / dt = f(H) + g(H) * r(t) $
dove:
- H è la variabile di stato;
- f(H) è la funzione deterministica;
- g(H) è la funzione deterministica modulante il rumore;
- r(t) è il rumore.
Trovare la soluzione a questa equazione significa ricavare la funzione di probabilità.
Come mai il valor medio atteso si ricava:
sostituendo al rumore il valor medio ed imponendo pari a zero l'equazione di Langevin così modificata?
$ Hmedia : f(H) + g(H) *
Grazie mille,
Silvia
Risposte
Ciao Silvia,
provo a formularti una risposta: se applichi l'operatore "Media" (utilizzo la notazione fisica matematica, cosa veramente infelice per un matematico) alla tua equazione trovi che:
$<\frac{d}{dt}H> =+$
Ora vediamo prima il secondo membro: $f(H)$ non è stocastico e quindi "mediato" rimane sé stesso; $g(H)$ non è stocastico e quindi è indipendente da $r(t)$ da cui (come nel caso precedente avrai) $ = g(H)$.
Per il primo mebro $<\frac{d}{dt}H>$ a patto di scambiare l'operatore media con l'operatore derivata "dovresti" avere che:
$\frac{d}{dt} =0$, rimango un attimo interdetto dalla tua formulazione del problema.
Hai per caso un riferimento specifico da dove l'hai preso?
provo a formularti una risposta: se applichi l'operatore "Media" (utilizzo la notazione fisica matematica, cosa veramente infelice per un matematico) alla tua equazione trovi che:
$<\frac{d}{dt}H> =
Ora vediamo prima il secondo membro: $f(H)$ non è stocastico e quindi "mediato" rimane sé stesso; $g(H)$ non è stocastico e quindi è indipendente da $r(t)$ da cui (come nel caso precedente avrai) $
Per il primo mebro $<\frac{d}{dt}H>$ a patto di scambiare l'operatore media con l'operatore derivata "dovresti" avere che:
$\frac{d}{dt}
Hai per caso un riferimento specifico da dove l'hai preso?
Ciao, matematico!
Ti spiego in che caso applico quanto ho scritto.
Il modello che sto studiando è un modello di equazioni differenziali stocastiche che serve a studiare l'andamento dei livelli idrici all'interno di un invaso.
La prima equazione regola la dinamica delle portate entranti:
$ dQ / dt = -b*Q+r(t) $
dove Q è la portata antrante;
b è il coefficiente di esaurimento;
r(t) è il termine stocastico modellato come un white shot noise, la cui media è a*l (a è il salto medio di portata; l è la frequenza media di accadimento degli eventi di piena)
Applicando quanto ho scritto risulta:
$ -b*Q+a*l=0 $
Risolvendo l'equazione in funzione di Q ricavo la portata media:
$ Qmedia=(a*l) / b $ che coincide col valor medio della distribuzione gamma.
La seconda equazione regola la dinamica dei livelli idrici:
$ dH / dt = 1 / A *(Q_u-Q) = 1 / A * (k*H^(3/2)-Q) $
dove Qu è la portata uscente;
Q è la portata entrante, la cui distribuzione è nota grazie alla prima equazione.
Anche in questo caso, se voglio il valor medio dei livelli idrici:
$ dH / dt = 1 / A * (k*H^(3/2)-(a*l) / b) = 0 $
risolvo l'equazione in funzione di H
Colgo l'occasione per farte un'altra domanda... che mi è venuta in mente scrivendo.
Un sistema dinamico, guidato da una forzante modellata per mezzo di un white shot noise, ha come soluzione una distribuzione di probabilità gamma?
Grazie mille!!
Silvia
P.S. Io non studio scienze statistiche, matematica o fisica... Forse, dopo questa tesi, sarò un ing... è la prima volta che vedo tanta statistica tutta insieme... e mi piace! Ma caspita, è un continuo aprire porte con taaaaaaanti punti interrogativi!
Tu, matematico, penserai... "ahh... questi ingegneri che si divertono a fare i matematici..."
Grazie ancora!
Ti spiego in che caso applico quanto ho scritto.
Il modello che sto studiando è un modello di equazioni differenziali stocastiche che serve a studiare l'andamento dei livelli idrici all'interno di un invaso.
La prima equazione regola la dinamica delle portate entranti:
$ dQ / dt = -b*Q+r(t) $
dove Q è la portata antrante;
b è il coefficiente di esaurimento;
r(t) è il termine stocastico modellato come un white shot noise, la cui media è a*l (a è il salto medio di portata; l è la frequenza media di accadimento degli eventi di piena)
Applicando quanto ho scritto risulta:
$ -b*Q+a*l=0 $
Risolvendo l'equazione in funzione di Q ricavo la portata media:
$ Qmedia=(a*l) / b $ che coincide col valor medio della distribuzione gamma.
La seconda equazione regola la dinamica dei livelli idrici:
$ dH / dt = 1 / A *(Q_u-Q) = 1 / A * (k*H^(3/2)-Q) $
dove Qu è la portata uscente;
Q è la portata entrante, la cui distribuzione è nota grazie alla prima equazione.
Anche in questo caso, se voglio il valor medio dei livelli idrici:
$ dH / dt = 1 / A * (k*H^(3/2)-(a*l) / b) = 0 $
risolvo l'equazione in funzione di H
Colgo l'occasione per farte un'altra domanda... che mi è venuta in mente scrivendo.
Un sistema dinamico, guidato da una forzante modellata per mezzo di un white shot noise, ha come soluzione una distribuzione di probabilità gamma?
Grazie mille!!
Silvia
P.S. Io non studio scienze statistiche, matematica o fisica... Forse, dopo questa tesi, sarò un ing... è la prima volta che vedo tanta statistica tutta insieme... e mi piace! Ma caspita, è un continuo aprire porte con taaaaaaanti punti interrogativi!
Tu, matematico, penserai... "ahh... questi ingegneri che si divertono a fare i matematici..."
Grazie ancora!
Ciao Silvia,
da quello che scrivi per ricavare la $Q$ sembra che tu stia considerando lo stato stazionario (cioè poni la derivata uguale a zero perché consideri il sistema a "regime"), comunque mi rimangono ancora dei dubbi.
La prima equazione se la guardi bene (senza considerare $r(t)$ stocastico) è una comune equazione differenziale del primo ordine con termine noto. Anche se si considera il termine $r(t)$ come stocastico la soluzione generale ha la forma comune al caso non stocastico (ti lascio un link che ho trovato, vedi eq.7):http://www.pma.caltech.edu/~mcc/Ph127/b/Lecture16.pdf.
Per la domanda generale che poni
se si considera $Q$ come una densità di probabilità, mi verrebbe da dire che la sua forma differenziale (ovviamente dal tipo di soluzione) apparterrà alla famiglia esponenziale (di cui fa parte anche la densità gamma), però non mi sbilancierei così facilmente a darti una risposta affermativa alla tua domanda.
Andrea
P.S. Comunque sia il problema è interessante, potrei pensare di apllicarlo in ottica delle reti per lo streaming
!
P.S.2. In bocca al lupo per la tesi!
da quello che scrivi per ricavare la $Q$ sembra che tu stia considerando lo stato stazionario (cioè poni la derivata uguale a zero perché consideri il sistema a "regime"), comunque mi rimangono ancora dei dubbi.
La prima equazione se la guardi bene (senza considerare $r(t)$ stocastico) è una comune equazione differenziale del primo ordine con termine noto. Anche se si considera il termine $r(t)$ come stocastico la soluzione generale ha la forma comune al caso non stocastico (ti lascio un link che ho trovato, vedi eq.7):http://www.pma.caltech.edu/~mcc/Ph127/b/Lecture16.pdf.
Per la domanda generale che poni
"SSmile":
Un sistema dinamico, guidato da una forzante modellata per mezzo di un white shot noise, ha come soluzione una distribuzione di probabilità gamma?
se si considera $Q$ come una densità di probabilità, mi verrebbe da dire che la sua forma differenziale (ovviamente dal tipo di soluzione) apparterrà alla famiglia esponenziale (di cui fa parte anche la densità gamma), però non mi sbilancierei così facilmente a darti una risposta affermativa alla tua domanda.
Andrea
P.S. Comunque sia il problema è interessante, potrei pensare di apllicarlo in ottica delle reti per lo streaming
!P.S.2. In bocca al lupo per la tesi!
Effettivamente io tratto il sistema a regime! Infatti poi cerco le distribuzioni di probabilità stazionarie.
Quidni se ho capito si impone uguale a zero perchè tratto il sistema a regime e ricavo il valor medio della Q perchè ho dato il valor medio del rumore... Interessante!
Cmq, dal momento che la domanda non mi sembra banale chiedo ai prof e ti faccio sapere!!
L'integrazione della prima equazione avviene normalmente! Il rumore alla fine diventa additivo.. nn lo integri... anche se nn ho capito bene il perchè!
Grazie ancora e buona applicazione all'ottica! Non appena so qualcosa chiarirò i dubbi del forum!
Quidni se ho capito si impone uguale a zero perchè tratto il sistema a regime e ricavo il valor medio della Q perchè ho dato il valor medio del rumore... Interessante!
Cmq, dal momento che la domanda non mi sembra banale chiedo ai prof e ti faccio sapere!!
L'integrazione della prima equazione avviene normalmente! Il rumore alla fine diventa additivo.. nn lo integri... anche se nn ho capito bene il perchè!
Grazie ancora e buona applicazione all'ottica! Non appena so qualcosa chiarirò i dubbi del forum!
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