Ricavare convergenza quasi certa da quella in distribuzione

[johnhappy1]

Ciao a tutti! Avrei necessita di capire se è vero che date 2 variabili aleatorie reali $X$ e $Y$ definite nello stesso spazio di probabilità, tali che $X=Y$ e $2X= X+Y$ entrambe le uguaglianze in distribuzione, allora $X=Y$ quasi certamente.
Non sono riuscito a trovare dei controesempi, quindi x adesso sono convinto che si possa dimostrare. Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto.

[DajeForte]

Sono sicuro ci sia una strada diretta, altrimenti se assumi $X in L^2$ puoi procedere così.

Dalla seconda relazione ottieni $4 Var[X]=Var[X]+Var[Y]+2Cov[X,Y]$ da cui ricavi $Var[X]=Cov[X,Y]$. Questo ti dice che c'è correlazione massima tra X e Y, ovvero $Y=aX+b$ per qualche a, b in R.
Concludo dimostrando che a=1 e b=0.

[johnhappy1]

Scusa se ti rispondo solo adesso! Grazie mille per la tua risposta, mi è stata molto utile. Il caso che mi serviva era proprio quello $L^2$, ma cmq proverò anche a cercare qualcosa nel caso più generale.