Retta regressione lineare

[marcoderamo93]

Buona sera
il quesito che mi turba è il seguente:

Siano $X=N(2,2)$ e $Y=exp(1/4)$ calcolare la retta di regressione lineare di $Z=XY$ su $W=X-Y$

Svolgimento:

Devo trovare una retta del tipo $aW+b$ dove $a=(cov(Z,W))/(VAR(W))$ e $b=E(W)-aE(Z)$

Calcolo prima il denominatore di $a$

$VAR(W)=VAR(X-Y)=VAR(X)+VAR(-Y)=VAR(X)+VAR(Y)= 2+18=20$ sfruttando l'indipendenza e le distribuzioni note

$COV(Z,W)=COV(XY,X-Y)=COV(XY,X)+COV(XY,Y)=E(X^2Y)-E(X)E(XY)+E(XY^2)-E(Y)E(XY)=E(X^2)E(Y)-E(XY)[E(X)+E(Y)]+E(X)E(Y^2)$

dove $E(Y)=4,E(X)=2$ e $E(X^2)=VAR(X)+E(X)^2=6$ , $E(Y^2)=VAR(Y)+E(Y)^2=32$

sostituisco

$COV(Z,W)=24$ quindi $a=24/18=1.33$

passo al termine $b$

ho
$E(W)=E(X)-E(Y)=-2$
$E(Z)=E(XY)=E(X)E(Y)=8$
sostituisco
$b=-2-192=-194$

a concludere la rlg è $1.33W-194$

secondo voi è corretto?
grazie mille

[Lo_zio_Tom]

"Sasuke93":
Devo trovare una retta del tipo $aW+b$ dove $a=(cov(Z,W))/(VAR(W))$ e $b=E(W)-aE(Z)$

Questo succede copiando le formule (male) dalle slide quando basta un ragionamento di 10 secondi per avere la formula giusta

Dato che la retta di regressione è

$Z=aW+b$

prendendone il valore atteso di entrambi i membri ed isolando b ottieni

$b=E(Z)-aE(W)$


quindi l'intercetta è

$b=E(Z)-aE(W)=2\times 4+4/3\times(2-4)=16/3$

la covarianza viene -24 quindi il coefficiente angolare è $a=-24/18=-4/3$

Avevi due parametri da stimare e ne hai sbagliati due...

[marcoderamo93]

Hai ragione tommik. Il mio è stato un errore stupido e la tua "strigliata di orecchie" è giustissima.
Ho fatto bene a postare tutto l'esercizio cosi ho capito l'errore(che ammetto di aver commesso anche in esercizi discreti).

Uno dei miei principali dubbi era sulla covarianza

$COV(XY,X-Y)$ io inizialmente avevo scritto essa $COV(XY,X)-COV(XY,Y)$ poi ho pensato che come la varianza quel segno $(-1)$ poteva essere portato fuori ed elevato al quadrato. Giusta come proprietà? ho cercato anche sul web ma,forse anche per non aver cercato bene,non ho trovato una proprietà che mi spiegasse sta cosa.

Spero di essermi spiegato bene . Forse sono stato un po contorto. Detto ciò grazie infinite e soprattutto chiaro come sempre

[shadow881]

Sto affrontando anche io esercizi simili. Forse mi sbaglio ma $COV(X,-Y)=-COV(X.Y)$ quindi nel tuo caso $COV(XY,X)+COV(XY,-Y)=COV(XY,X)-COV(XY,Y)$.....però magari aspetta conferma da qualcuno più preparato