Relazione coefficiente di regressione-coefficiente di correl

[Sk_Anonymous]

Premetto che sono uno studente universitario, quindi gli esercizi sono assegnati da un docente universitario.
Riguardo al seguente questio, so: il coefficiente di regressione b= $sigma_{xy}$/$sigma_x^2$
Il coefficiente di determinazione è: $r^2$=$sigma_{xy}^2$/$(sigma_x^2$$*$$sigma_y^2)$
Il coefficiente di correlazione è: $r$=$sigma_{xy}$/$(sigma_x$$*$$sigma_y)$
Se il coefficiente di regressione è negativo, vuol dire che la covarianza ($sigma_{xy}$) è negativa, perchè il denominatore del coefficiente di regressione è sempre postivo. Ma questo implica che anche il coefficiente di correlazione sia negativo?
0,43% dorebbe essere $r^2$, corretto?
In un gruppo di paesi, il coefficiente di regressione del tasso di mortalità infantile sul reddito pro-capite è negativo e la frazione della varianza del suddetto tasso, spiegata dal reddito, è del 43 %.
Qual è il valore del coefficiente di correlazione lineare tra le due variabili?
(A)0,65
B) -0,43
C) 0,36
D) 0,53
E) -0,65
F) 0,25

[Sk_Anonymous]

Grazie mille, comunque il coefficiente di determinazione può essere espresso anche nella formula che ho scritto. Inoltre, quello che hai detto è dimostrato dal fatto che lo scarto qudratico medio varia tra zero e un max. Frequento l'università ma non mi è capitato sin adesso di trovare docenti così chiari e nello stesso tempo molto competenti come te. Non ci crederei, ma cercherò col tempo di rinnegare quanto di sbagliato possa aver detto nei tuoi confronti. Grazie mille. Avrei un'altra cosa da chiederti, posso avere la tua mail?

[olaxgabry]

"polt":Grazie mille, comunque il coefficiente di determinazione può essere espresso anche nella formula che ho scritto.

Vero, però quella che ti ha scritto Sergio è assai meglio nella pratica. Ti aggiungo che l'$R^{2}$ nella pratica serve veramente a poco in quanto qualsiasi regressore tu aggiunga nel modello di regressione di partenza, l'$R^{2}$ cresce sempre (o al massimo rimane lo stesso se il coefficiente del regressore è zero). Per ovviare al problema si usa l'$R^{2}$ corretto che è pari a

$R_{c}^{2}=1-\frac{n-1}{n-k}*(1-R^{2})$

dove $k$ è il numero di regressori del modello compresa la costante.

Inoltre ricordati che l'$R^{2}$ lo puoi utilizzare solo se nel modello è presente la costante in quanto in assenza di costante la formula

$TSS=ESS+RSS$

non è più vera. In tale caso si usa l'$R^{2}$ centrato, ma non vado oltre per non "ammattirti" troppo.
Ciao

[Sk_Anonymous]

Grazie mille Olax, tu sei un caso a parte. Cioè il docente dei docenti. Adesso posto un altro esercizio sulla scomposizione della varianza totale, e ti chiedo, come anche a Sergio, se conoscete una formula alternativa a quella che propongo. Magari più appropriata. Grazie.