Re: Vettore aleatorio Normale

[Istinto]

E' noto che $X=(X_1,X_2,X_3)∼N(\mu,\Sigma)$, dove:
\begin{equation*}\mu=\begin{pmatrix}
-1 \\0 \\1 \\ \end{pmatrix},
\end{equation*}\begin{equation*}\Sigma=
\begin{bmatrix} 9 & 3 & 3\\ 3 & 4 & 0\\ 3 & 0 & 4
\end{bmatrix}\quad
\end{equation*}
Indicare il supporto e la funzione di densità congiunta di $X_2$ e $X_3$. Se possibile, applicare a quest'ultima funzione il teorema di fattorizzazione commentando il risultato.
Determinare la regressione di $X_3$ da $X_2$ commentando il risultato.
Determinare la regressione di $X_3$ da $X_1$ commentando il risultato.

[Lo_zio_Tom]

la prima cosa da fare è calcolare la matrice delle correlazioni, che si trova agevolmente partendo da $Sigma$

$rho=[ ( 1 , 1/2 , 1/2 ),( 1/2 , 1 , 0 ),(1/2 , 0 , 1) ] $

Ricordo che: una coppia di variabili congiuntamente gaussiane si denotano con

$(X;Y)~ N(mu_(X),mu_(Y),sigma_(X),sigma_(Y),rho)$ e la loro espressione è questa:

$f(x,y)=1/(2pisigma_(X)sigma_(Y)sqrt(1-rho^2))Exp{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_(X))^2/sigma_(X)^2-2rho((x-mu_(X))(y-mu_(Y)))/(sigma_(X)sigma_(Y))+(y-mu_(Y))^2/sigma_(Y)^2]}$


$f(x,y)=1/(2pisigma_(X)sigma_(Y)sqrt(1-rho^2))Exp{-1/(2(1-rho^2))[(x-mu_(X))^2/sigma_(X)^2}Exp{-1/(2(1-rho^2))[-2rho((x-mu_(X))(y-mu_(Y)))/(sigma_(X)sigma_(Y))+(y-mu_(Y))^2/sigma_(Y)^2]}$

aggiungendo e togliendo la quantità $rho^2(x-mu_(X))^2/sigma_(X)^2$ nel secondo esponenziale in modo da completare il quadrato possiamo fattorizzare la PDF congiunta nel seguente modo:

$f(x,y)=[1/(sigma_(X)sqrt(2pi))e^(-1/(2sigma_(X)^2)(x-mu_(X))^2)]\cdot1/(sigma_(Y)sqrt(1-rho^2)sqrt(2pi))e^(-1/(2sigma_(y)^2(1-rho^2))(y-mu_(Y)-rhosigma_(Y)/sigma_(X)(x-mu_(X)))^2]$

ora ricordando che

$f(x,y)=f(x)f(y|x)$, la funzione dopo la parentesi quadra deve necessariamente essere $f(y|x)$ e, come si vede bene, è ancora una gaussiana di media $mu_(y)+rhosigma_(Y)/sigma_(X)(x-mu_(X))$...e quindi abbiamo trovato anche la regressione richiesta dall'esercizio.....(che, come ci aspettiamo, è funzione della variabile che subordina)

ovviamente questo ragionamento lo puoi applicare sempre ma è utile solo se utilizzato con le variabili $X_(1)$ vs $X_(2)$ oppure alle variabili $X_(1)$ vs $X_(3)$. Di certo non con le variabili $X_(2)$ vs $X_(3)$ dato che, avendo correlazione nulla (data la normalità dei dati) sono indipendenti. In questo caso la pdf congiunta è il prodotto di due densità normali, quindi i risultati richiesti seguono immediatamente senza alcun calcolo...(basta porre $rho=0$ nei precedenti risultati)

Ti ricordo infatti che, sotto distribuzione gaussiana, incorrelazione e indipendenza stocastica coincidono

spero di averti chiarito un po' le idee sul problema

ciao