"Radice quadrata" di N(0,1)
Buongiorno.
Premetto che la mia preparazione in probabilità è deboluccia, ma mi trovo a dover usare alcuni strumenti in altri ambiti della matematica.
Il mio problema, forse assolutamente banale, è il seguente. Mi chiedo se esiste una distribuzione di probabilità $\mathcal{D}$ con la seguente proprietà: se $X,Y$ sono variabili aleatorie con distribuzione $\mathcal{D}$ allora il prodotto $XY$ ha distribuzione $N(0,1)$.
Più in generale, fissato un intero $n$, avrei bisogno di una distribuzione di probabilità $\mathcal{D}_n$ per cui, se $X_1 , ... , X_n$ sono variabili aleatorie con distribuzione $\mathcal{D}_n$, allora il prodotto $X_1 \cdots X_n$ è $N(0,1)$.
Sono abbastanza sicuro che se queste cose esistono sono anche abbastanza studiate. Tuttavia non ho trovato molte informazioni in merito.
Grazie
Premetto che la mia preparazione in probabilità è deboluccia, ma mi trovo a dover usare alcuni strumenti in altri ambiti della matematica.
Il mio problema, forse assolutamente banale, è il seguente. Mi chiedo se esiste una distribuzione di probabilità $\mathcal{D}$ con la seguente proprietà: se $X,Y$ sono variabili aleatorie con distribuzione $\mathcal{D}$ allora il prodotto $XY$ ha distribuzione $N(0,1)$.
Più in generale, fissato un intero $n$, avrei bisogno di una distribuzione di probabilità $\mathcal{D}_n$ per cui, se $X_1 , ... , X_n$ sono variabili aleatorie con distribuzione $\mathcal{D}_n$, allora il prodotto $X_1 \cdots X_n$ è $N(0,1)$.
Sono abbastanza sicuro che se queste cose esistono sono anche abbastanza studiate. Tuttavia non ho trovato molte informazioni in merito.
Grazie
Risposte
Assumo che tu voglia le due v.a. da moltiplicare indipendenti e identicamente distribuite.
Se ne hai due con densita' $f(\cdot)$ si tratta di risolvere
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)f\left(\frac{z}{x}\right)\frac{1}{|x|}\text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} \)
Puoi provare, ma non mi sembra banale.
Sei sicuro che il prodotto non debba essere LOG-normale? Perche' in quel caso e' noto che le variabili di partenza sono ancora log-normali.
Se ne hai due con densita' $f(\cdot)$ si tratta di risolvere
\(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)f\left(\frac{z}{x}\right)\frac{1}{|x|}\text{d}x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}} \)
Puoi provare, ma non mi sembra banale.
Sei sicuro che il prodotto non debba essere LOG-normale? Perche' in quel caso e' noto che le variabili di partenza sono ancora log-normali.
Stamani, prima di leggere la tua risposta, ero arrivato alla stessa condizione per la densità di $X$ e $Y$.
Per quanto riguarda il commento sulle log-normali, sinceramente non lo so...avevo un problema in cui mi avrebbe fatto comodo una distribuzione con quella proprietà, ma appunto la mia preparazione su queste cose non è molto ferrata. Forse può far comodo anche se la distribuzione del prodotto è log-normale...hai un po' di bibliografia/commenti/esempi ?
Per quanto riguarda il commento sulle log-normali, sinceramente non lo so...avevo un problema in cui mi avrebbe fatto comodo una distribuzione con quella proprietà, ma appunto la mia preparazione su queste cose non è molto ferrata. Forse può far comodo anche se la distribuzione del prodotto è log-normale...hai un po' di bibliografia/commenti/esempi ?
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