Quesito sull'evento impossibile
Ciao a tutti, il quesito che sto per proporvi era nel mio compito di statistica e non sono riuscito a risolverlo, pur ragionandoci sopra per almeno una mezz'ora. Eccolo:
Commentare la seguente affermazione: un evento impossibile ha probabilità zero di verificarsi, ma un evento con probabilità zero può verificarsi.
Non ho alcuna idea su quale possa essere la risposta, sembra contraddire la proprietà transitiva della logica. Grazie per le eventuali risposte.
Commentare la seguente affermazione: un evento impossibile ha probabilità zero di verificarsi, ma un evento con probabilità zero può verificarsi.
Non ho alcuna idea su quale possa essere la risposta, sembra contraddire la proprietà transitiva della logica. Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Un evento impossibile non può verificarsi, ma non vale il "viceversa". Infatti se un evento ha probabilità zero, si parla sempre di probabilità quindi non è da escludere a priori il fatto che si possa verificare.
Almeno io l'ho interpretata così, ma non sono sicuro...Perché effettivamente sembra una contraddizione!
Almeno io l'ho interpretata così, ma non sono sicuro...Perché effettivamente sembra una contraddizione!
Se io ti chiedo di pensare un numero reale tra $0$ e $1$ , che probabilità ho di indovinare il numero da te pensato?
E' chiaramente $0$, visto che il numero di casi possibili è infinito e c'è un solo caso favorevole.
Ma non è impossibile che io indovini.
E' chiaramente $0$, visto che il numero di casi possibili è infinito e c'è un solo caso favorevole.
Ma non è impossibile che io indovini.
"Gi8":
Se io ti chiedo di pensare un numero reale tra $0$ e $1$ , che probabilità ho di indovinare il numero da te pensato?
E' chiaramente $0$, visto che il numero di casi possibili è infinito e c'è un solo caso favorevole.
Ma non è impossibile che io indovini.
Giusto, infatti in probabilità si usano due nomi diversi: "evento impossibile" è un evento di probabilità $0$ che non può sicuramente verificarsi, mentre "evento quasi impossibile" è un evento di probabilità $0$ che tuttavia può verificarsi.
"retrocomputer":
Giusto, infatti in probabilità si usano due nomi diversi: "evento impossibile" è un evento di probabilità $0$ che non può sicuramente verificarsi, mentre "evento quasi impossibile" è un evento di probabilità $0$ che tuttavia può verificarsi.
Io uso una altra notazione.
Evento impossibile è l'insieme vuoto;
Evento quasi impossibile un evento di probabilità 0.
"DajeForte":
Io uso una altra notazione.
Evento impossibile è l'insieme vuoto;
Almeno nel caso finito credo che ci possano essere eventi non vuoti ma impossibili... In una $\sigma$-algebra ne posso aggiungere quanti ne voglio senza pregiudicarne l'utilizzo, no?
vorrei capire nella tua notazione quale sarebbe un evento impossibile?
"DajeForte":
vorrei capire nella tua notazione quale sarebbe un evento impossibile?
Beh, prendi l'insieme dei numeri da 1 a 6 con la $\sigma$-algebra di tutte le parti e la probabilità uniforme e aggiungi il numero 7 all'insieme definendo la sua probabilità 0...
Un esempio che non serve a niente, d'accordo
Ovvero $Omega={1,...,7}$
Ma $P({7})=0$ allora perchè non dovrebbe essere un evento quasi ipossibile.
Ma $P({7})=0$ allora perchè non dovrebbe essere un evento quasi ipossibile.
"DajeForte":
Ovvero $Omega={1,...,7}$
Ma $P({7})=0$ allora perchè non dovrebbe essere un evento quasi ipossibile.
Se so che $\Omega$ contiene tutte le eventualità possibili per un dato esperimento, vedrai che se ne aggiungo una ulteriore, essa sarà impossibile, per il dato esperimento... O no?
E comunque la definizione di probabilità richiede solo che $\mathbb{P}(\Omega)=1$, giusto? Il ché implica $\mathbb{P}(\emptyset)=0$
Dove intervengono, in ambito probabilistico, i concetti di certezza o di impossibilità?
Se lanci un dado a sei facce (da 1 a 6) e modellizzi $Omega$ come ovvio.
Se poi come dici te aggiungi un altro $omega in Omega$ diciamo il 7 a me verrebbe da dire che il modello non è costruito correttamente, poi bo sono questioni di punti di vista e niente di significativo, credo.
Se ad esempio immagini una sequenza infinità di lanci del dado e costruisci $Omega$ come il prodotto dello spazio descritto sopra allora ${omega}={(3)_{i in NN}}$ esiste nella per costruzione ma ha probabilità 0.
Se poi come dici te aggiungi un altro $omega in Omega$ diciamo il 7 a me verrebbe da dire che il modello non è costruito correttamente, poi bo sono questioni di punti di vista e niente di significativo, credo.
Se ad esempio immagini una sequenza infinità di lanci del dado e costruisci $Omega$ come il prodotto dello spazio descritto sopra allora ${omega}={(3)_{i in NN}}$ esiste nella per costruzione ma ha probabilità 0.
Grazie per le risposte ragazzi
"DajeForte":
Se lanci un dado a sei facce (da 1 a 6) e modellizzi $Omega$ come ovvio.
Se poi come dici te aggiungi un altro $omega in Omega$ diciamo il 7 a me verrebbe da dire che il modello non è costruito correttamente, poi bo sono questioni di punti di vista e niente di significativo, credo.
Sicuramente è un modello ridondante, inutile, direi, ma credo che sia corretto... Penso che si riesca a studiarci il lancio di un dado ottenendo gli stessi risultati del modello classico.
Non sono un esperto, ma mi pare che esistano casi in cui conviene ingrandire più o meno in questo modo l'insieme delle eventualità... Un esempio forse meno stupido potrebbe essere quello per dimostrare che la densità discreta della legge binomiale $B(n,p_n)$ con $np_n\to \lambda$ converge puntualmente verso la densità discreta della legge di Poisson di parametro $\lambda$: sappiamo che una variabile aleatoria con legge binomiale è a valori in $\{0,1,...,n\}$, ma per poter studiare la convergenza bisogna dare dei valori alla densità binomiale anche ai numeri maggiori di $n$ e naturalmente gli si da probabilità nulla, anche perché non possono proprio verificarsi...
Se ad esempio immagini una sequenza infinità di lanci del dado e costruisci $Omega$ come il prodotto dello spazio descritto sopra allora ${omega}={(3)_{i in NN}}$ esiste nella per costruzione ma ha probabilità 0.
Questo è un altro discorso: il singoletto $\omega$ è "quasi impossibile", non "impossibile".
"Sergio":
[quote="banzay"]Commentare la seguente affermazione: un evento impossibile ha probabilità zero di verificarsi, ma un evento con probabilità zero può verificarsi.
Non ho alcuna idea su quale possa essere la risposta, sembra contraddire la proprietà transitiva della logica. Grazie per le eventuali risposte.
Ho letto i messaggi successivi al tuo e, ovviamente, concordo al 100% con DajeForte.
Provo comunque a proporti esempi forse più "intuitivi".
a) Evento impossibile: lanci un dado; qual è la probabilità di avere $7$ come risultato? È $0$, perché $7$ è un evento impossibile. A rigore, se l'insieme dei risultati è $\{1,2,3,4,5,6\}$, l'evento impossibile è l'insieme vuoto $\emptyset$ (come dice DajeForte) cioè... un risultato che non è né 1, né 2, ...., né 6.
Formalmente, se $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$, allora $P(\emptyset)=P(\Omega^c)=0$; cioè la probabilità dell'evento impossibile è $0$ perché è la probabilità di qualcosa che appartiene al complemento di $\Omega$, non a $\Omega$, quindi $P(7)=P(14)=P(231)=P(1.5)=...=0$ semplicemente perché $7$, $14$, $231$, $1.5$ ecc. non appartengono all'insieme dei risultati possibili.
b) Evento quasi impossibile: aspetti una persona tra le 10 e le 11; qual è la probabilità che arrivi esattamente alle 10:15? È $0$, perché l'intervallo (10,11), intendendo 10 e 11 come numeri reali, contiene infiniti punti, 10:15 è uno tra infiniti punti, quindi la sua probabilità è (perdona la rozzezza) $1/\infty=0$. Ma non è affatto impossibile che quella persona arrivi proprio alle 10:15.
D'altra parte, non puoi restare senza una soluzione e qui il rimedio c'è, perché le 10:15 appartengono comunque all'insieme dei risultati possibili. La probabilità dell'istante 10:15 è zero (perché è uno di infiniti istanti), ma puoi arrivare a calcolare la probabilità che l'ora d'arrivo sia compresa in un intervallo, puoi cioè calcolare $P("10:14:30" < " ora d'arrivo " < "10:15:30")$.[/quote]
Grazie, sei stato chiarissimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo