Quesito sulla distribuzione normale

[cristinapa]

Data la variabile casuale X $ ~ $ N (5,25), si calcolino la media e la varianza della variabile Y=( $ ×/5 $ - 1)^2 . Qual è la probabilità che Y assuma valore maggiore o uguale a 10,828?

[Lo_zio_Tom]

ti sta chiedeno la distribuzione di $Y=(X/5-1)^2=((X-5)/5)^2=((X-mu)/sigma)^2$....ovvero il quadrato di una normale standard che, come dovresti sapere, si distribuisce come una $chi_(1)^2$

a questo punto, sulle tavole della chi-quadro con un grado di libertà rispondi anche all'ultimo quesito....

l'unica parte del problema che puoi risolvere senza passare per la chi-quadro è il calcolo della media di $Y=(X/5-1)^2$....

$(X/5-1)$ infatti è una normale standard, ovvero una normale di media zero e varianza uno.


quindi $1=E(Y)-0^2$ da cui $E(Y)=1$

[cristinapa]

Non avrei mai risolto così :'(

[cristinapa]

io avevo azzardato questa soluzione (spero di non aver offeso troppo la statistica ma purtroppo non capisco quasi niente e mi tocca comunque fare quest'esame)

Io sò che in X ~ N (5,25) 5 è la media e 25 la varianza quindi vado a sostituire nella formula della Y e mi trovo media e varianza:
M (Y)= $ ((5/5)-1)^2 $ = 0 VAR (Y)= $ ((25/5) -1)^2 $ = 16
z= $ ((10,828 - 0)/(sqr (16))) $ = 2,71
P (Y >= 10,828) = P ( z >= 2,71) = 0,5 - 0,4966 = 0,0034

[Lo_zio_Tom]

supponiamo che X sia una normale standard, ovvero una normale di media zero e varianza uno.

vediamo come si distribuisce $Y=X^2$

$P{Y<=y}=P{X^2<=y}=P{-sqrt(y)
$=2/sqrt(2pi)int_(0)^(y)1/(2sqrt(z))e^(-z/2)dz=int_(0)^(y)1/(Gamma(1/2))1/sqrt(2z)e^(-z/2)dz$


da cui facilemente, derivando, ottieni

$f_(Z)=1/(Gamma(1/2))2^(-1/2)z^(-1/2)e^(-z/2)$

ovvero una chi-quadro con un grado di libertà

[cristinapa]

Si mi sa rimanderò

[cristinapa]