Quesito Probabilità, momeneta truccata

[Antob1]

Buongiorno, chiedo un aiuto per la risoluzione di un quesito di probabilità (allego di seguito il mio svolgimento, ed espongo il mio dubbio)

Quesito:

Una moneta è truccata in modo tale che la probabilità che esca testa sia il doppio di quella che esca croce. Supponendo che si lanci 3 volte la moneta, trovare la probabilità che si verifichino i seguenti eventi
A:{escono almeno due teste}
B:{escono almeno due croci}

Svolgimento:

Ho assunto che poiché la probabilità che esca testa è il doppio di quella che esca croce, allora detti due eventi

T : { esce testa }

C : { esce croce }

P(T) = 2P(C)

Questo è vero per un lancio, e dovrebbe risultare vero anche su tre, lanci.

Quindi per tre lanci, lo spazio campione è:

S: { TTT, TTC, TCC, CCC, CCT, CTT, TCT, CTC }

da cui, se la moneta non fosse truccata

P(A) = 0.5

P(B) = 0.5

ma non saprei come gestire il fatto che la moneta è truccata, chiedo cortesemente una chiarimento, se fosse possibile con passaggi, grazie mille a chiunque possa dedicarmi del tempo

[ghira1]

"Antob":
P(T) = 2P(C)

E quindi..?

[gugo82]

Innanzitutto, osserva che $P(T) = 2/3$ e $P(C) = 1/3$.

Fai un diagramma ad albero e moltiplica le probabilità che trovi sui rami che segui per arrivare ai singoli risultati utili, poi somma tutto.

Ad esempio, facciamo solo due lanci (così il diagramma viene semplice da disegnare sul forum): abbiamo:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-3; ymax=3;
noaxes();
marker="arrowdot";
text([1,-1],"1/3",left); text([3,-2.5],"1/3", belowleft); text([3,-1.5],"2/3", aboveleft);
line([0,0], [2,-2]); text([2,-2], "(C, *)", belowleft); line([2,-2],[4,-3]); text([4,-3],"(C, C)", below); line([2,-2],[4,-1]); text([4,-1],"(C, T)", above);
text([1,1],"2/3",left); text([3,2.5],"2/3", aboveleft); text([3,1.5],"1/3", belowleft);
line([0,0], [2,2]); text([2,2], "(T, *)", aboveleft); line([2,2],[4,3]); text([4,3],"(T, T)", above); line([2,2],[4,1]); text([4,1],"(T, C)", below);[/asvg]
cosicché abbiamo:

$P(text(esce almeno una T)) = P(T,T) + P(T,C) + P(C,T) = 2/3 * 2/3+ 2/3 * 1/3 + 1/3 * 2/3 = 2/3 + 2/9 = 8/9$

oppure:

$P(text(esce almeno una T)) = 1 - P(text(escono due C)) = 1 - 1/3 * 1/3= 1-1/9 = 8/9$.

[Antob1]

"gugo82":Innanzitutto, osserva che $P(T) = 2/3$ e $P(C) = 1/3$.

Fai un diagramma ad albero e moltiplica le probabilità che trovi sui rami che segui per arrivare ai singoli risultati utili, poi somma tutto.

Ad esempio, facciamo solo due lanci (così il diagramma viene semplice da disegnare sul forum): abbiamo:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-3; ymax=3;
noaxes();
marker="arrowdot";
text([1,-1],"1/3",left); text([3,-2.5],"1/3", belowleft); text([3,-1.5],"2/3", aboveleft);
line([0,0], [2,-2]); text([2,-2], "(C, *)", belowleft); line([2,-2],[4,-3]); text([4,-3],"(C, C)", below); line([2,-2],[4,-1]); text([4,-1],"(C, T)", above);
text([1,1],"2/3",left); text([3,2.5],"2/3", aboveleft); text([3,1.5],"1/3", belowleft);
line([0,0], [2,2]); text([2,2], "(T, *)", aboveleft); line([2,2],[4,3]); text([4,3],"(T, T)", above); line([2,2],[4,1]); text([4,1],"(T, C)", below);[/asvg]
cosicché abbiamo:

$P(text(esce almeno una T)) = P(T,T) + P(T,C) + P(C,T) = 2/3 * 2/3+ 2/3 * 1/3 + 1/3 * 2/3 = 2/3 + 2/9 = 8/9$

oppure:

$P(text(esce almeno una T)) = 1 - P(text(escono due C)) = 1 - 1/3 * 1/3= 1-1/9 = 8/9$.

Ciao, e grazie mille per la risposta, tuttavia non ho capito perché:
$P(T) = 2/3$ e $P(C) = 1/3$.
Come mai La probabilità che esca testa è 2/3, mentre quella che esca croce è 1/3 ?

[ghira1]

"Antob":
$P(T) = 2/3$ e $P(C) = 1/3$.
Come mai La probabilità che esca testa è 2/3, mentre quella che esca croce è 1/3 ?

Tu avevi detto $P(T) = 2P(C)$. E non dovrebbe essere necessario dirti che $P(T)+P(C)=1$.