Quesito di probabilità

[Sk_Anonymous]

Se ho una v.a. X normale standard, come faccio a trovare la distribuzione e la densità di $Y=e^X$ ?

[fran881]

$Y=e^X$ quindi detta F la funzione di ripartizione di Y si ha:
$F(t)=P(Y<=t)=P(e^X<=t)=P(X<=lnt)=1/(sqrt(2pi))int_(-infty)^(lnt)e^-(x^2/2)dx$

[elgiovo]

Per i quesiti di probabilità c'è una sezione apposita. Comunque, se apri il tuo libro (non morde) in corrispondenza del capitolo "funzioni di una variabile aleatoria" sono sicuro che troverai una risposta.

[_nicola de rosa]

"yavanna":Se ho una v.a. X normale standard, come faccio a trovare la distribuzione e la densità di $Y=e^X$ ?

Teorema di trasformazione sulle variabili aleatorie.

Sia $X$ una v.a. continua con pdf $f_X(x)$ assegnata, la pdf della v.a. $Y=g(X)$ è

$f_Y(y)=[(f_X(x))/|(d(g'(x)))/(dx)|]_(x=g^(-1)(y))$

Nel tuo caso $f_X(x)=1/(sqrt(2pi))*e^(-x^2/2)$, $g(x)=e^x$ per cui $g'(x)=e^x$ e $x=g^(-1)(y)=lny$ avendo posto $y>0$.

Pertanto $f_Y(y)=[(1/(sqrt(2pi))*e^(-x^2/2))/|e^x|]_(x=lny)=[(1/(sqrt(2pi))*e^(-(ln^2y)/2))/|y|]=(1/(sqrt(2pi))*e^(-(ln^2(y))/2))/y*u(y)$ dal momento che $y>0->|y|=y$