Quantili data una funzione di densità

[marcoluca56-votailprof]

Salve ragazzi, ho un problema. Non riesco a capire come calcolare i quartili (e i quantili in generale) di una distribuzione data una funzione di densità. Normalmente è facile perchè lo calcolo tramite 1(N+1)/4 e così via, ma nella funzione di densità non riesco proprio a capirlo. E' una settimana che ci provo, ma non riesco a venirne a capo. Mi date una mano, per favore?

Ecco il testo, è il secondo quesito:

[frapippo1]

Calcola dapprima la funzione cumulata $F(x)$. Dopodiché puoi sfruttare la definizione di funzione inversa generalizzata o quantile $u$-esimo:
$G(u)="inf"{x: F(x)>=u}$, $0<=u<=1$.

Nel tuo caso, $u={1/4,1/2,3/4,1}$.

[marcoluca56-votailprof]

non capisco. Puoi esprimerti meglio per favore?

[frapippo1]

cosa non ti è chiaro?

[marcoluca56-votailprof]

come devo svolgerlo.

perchè nelle soluzioni risulta

q1= 0,3(periodico)
q2: 0,6 (periodico)
e l'ultimo quartile è uguale a 1

[retrocomputer]

Hai già trovato la funzione di ripartizione della variabile $X$?

[marcoluca56-votailprof]

no, non so come si fa

[retrocomputer]

$F(t)=\int_{-\infty}^t f(x)\ dx$

Prova e dicci cosa ti viene.

[marcoluca56-votailprof]

t cosa sarebbe? nel caso in esempio 0 o 1? inoltre dovrei fare 2 integrali in totale, giusto?

[retrocomputer]

$t$ è la variabile di $F$. Posso anche chiamarla $z$, $y$, o come mi pare... L'importante è distinguerla dalla $x$ che è invece la variabile della $f$. Credo che si chiami funzione integrale:

http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale# ... _Integrale

Come vedi puoi anche scambiare $x$ con $t$. L'importante è che siano ben distinte.

Posso sapere che cosa studi?

Poi sì, devi fare due integrali perché la $f$ è definita in due modi diversi (tra 0 e 1 e tra 1 e 2), mentre già sai che per $t\leq 0$ la $F$ è zero, mentre per $t>2$ è 1. Lo sai dalla teoria, ma puoi sempre fare altri due integrali e verificarlo...

[marcoluca56-votailprof]

Certo, Statistica al secondo anno di università (economia).

Io l'ho fatto, dimmi se è giusto per favore. Anche se non capisco a cosa mi serve per calcolarmi i quartili:

[retrocomputer]

Serve, serve Una volta che hai trovato la $F$, il valore $q_{1/4}$ tale che $F(q_{1/4})=1/4$ è il primo quartile e gli altri sono analoghi. In pratica devi poi invertire la $F$.

Ma per ora bisogna un po' rivedere il calcolo della $F$ che hai sicuramente sbagliato... Anche solo per il fatto che deve essere sempre non decrescente mentre la tua è decrescente...

Nell'intervallo tra 0 e 1 bisogna integrare tra 0 e $t$ (e non tra 0 e 1), mentre nell'intervallo tra 1 e 2 devi spezzare l'integrale in due: un integrale tra 0 e 1 + un integrale tra 1 e $t$.

[marcoluca56-votailprof]

mmmmm l'ho rifatto. Puoi dirmi se è giusto gentilmente?

[retrocomputer]

Ho contato tre errori...
Uno però è ripetuto due volte, e cioè non capisco da dove salta fuori il $T^2$ quando sostituisci.
L'altro errore è nel primo integrale della seconda riga: tra 0 e 1 la $f$ vale $3/4$ e quindi nell'integrale fra 0 e 1 ci deve essere $3/4$.

[marcoluca56-votailprof]

"retrocomputer":Ho contato tre errori...
Uno però è ripetuto due volte, e cioè non capisco da dove salta fuori il $T^2$ quando sostituisci.
L'altro errore è nel primo integrale della seconda riga: tra 0 e 1 la $f$ vale $3/4$ e quindi nell'integrale fra 0 e 1 ci deve essere $3/4$.

1) $T^2$ mi viene perchè quando sostituisco i valori al primo integrale (facendo F(b)-F(a)) mi viene 3/4 (t*t) - 3/4 (t*0) e quindi ecco il 3/4 $T^2$
non so se mi hai capito (o se ho fatto correttamente)

2) ammetto l'errore (scusa la qualità dell'immagine ma l'ho fatto con paint):

[retrocomputer]

Io te l'avevo detto di usare lettere diverse per la variabile di integrazione e per l'estremo di integrazione... Quando sostituisci la $t$ devi sostituirla alla... $t$ e non moltiplicare per $t$... Poi posso sempre sbagliarmi io, sia chiaro

[marcoluca56-votailprof]

ah ok, allora sarebbe:

1) il 1^ integrale viene 3/4 T +c

2) il 2^ integrale viene 3/4 + 1/4 T -1/4 +c


ok??

[retrocomputer]

Sì, ma niente $c$, visto che si tratta di integrali definiti.

A questo punto ti ricostruisci la $F$ che vale:

$0$ per $t\leq 0$
$3/4t$ per $0 $1/2+1/4t$ per $1 $1$ per $t>2$

e penso che non sia difficile trovare ora i quantili, visto che la $F$ è non decrescente... Si vedono quasi a occhio...

Per esempio, $q_{1/4}$ lo trovi dove la $F$ vale $3/4t$ perché qui $F(0)=0<1/4<3/4=F(1)$:
$3/4t=1/4$ $\Rightarrow$ $t=1/3=0.\bar 3$

[marcoluca56-votailprof]

ok ok ok ok ok ho capito grazieeee Gli altri li calcolo facendo una proporzione, mi viene molto più facile


Non ho capito solo 1 cosa: sostituisci 1/4 (il primo quartile) al 3/4 T ? Perchè il primo quartile lo calcoli proprio su 3/4 T e non sull'altra parte?

[retrocomputer]

"Marcoluca56":Gli altri li calcolo facendo una proporzione, mi viene molto più facile

Come fai con la proporzione?
Se ho capito il metodo che vuoi seguire, credo che valga solo in questo caso in cui i tre valori $1/4$, $1/2$ e $3/4$ vengono raggiunti dalla $F$ dove è lineare (per $t\in [0,1]$), altrimenti in generale non si può fare... Penso...

Non ho capito solo 1 cosa: sostituisci 1/4 (il primo quartile) al 3/4 T ? Perchè il primo quartile lo calcoli proprio su 3/4 T e non sull'altra parte?

No, non sostituisco, ma trovo il valore di $t$ tale che $F(t)=3/4t=1/4$ (così $t$ è il primo quartile). E scelgo $3/4t$ perché appunto la $F$ prende il valore $1/4$ nell'intervallo $[0,1]$, essendo $F(0)<1/4

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