Quanti numeri ci sono, formati dalle cifre da 1 a 6, la cui somma è 21?
Buon giorno a tutti, vi pongo questo banale quesito:
Quanti numeri ci sono, formati dalle cifre da 1 a 6(usando 6 cifre), la cui somma è 21?
Quanti numeri ci sono, formati dalle cifre da 1 a 6(usando 6 cifre), la cui somma è 21?
Risposte
Che significa? Quanti addendi si possono usare? Per esempio $16+5=21$ va bene ma va bene anche sommare $21$ volte $1$? Non è chiaro ... qual è il teso originale del quesito?
ciao axpgn, scusa la mia dimenticanza, occorre che le cifre usate siano sempre 6.
esempio di numeri che appartengono all' insieme richiesto, sono:
123456
111666
esempio di numeri che appartengono all' insieme richiesto, sono:
123456
111666
"curie88":
Quanti numeri ci sono, formati dalle cifre da 1 a 6(usando 6 cifre), la cui somma è 21?
Salvo errori e se non ho dimenticato qualche caso, i numeri totali possibili sono $4272$
6 6 6 1 1 1 20 6 6 5 2 1 1 180 6 6 4 3 1 1 180 6 6 4 2 2 1 180 6 6 3 3 2 1 180 6 6 3 2 2 2 60 6 5 5 3 1 1 180 6 5 5 2 2 1 180 6 5 4 2 2 2 120 6 5 4 3 2 1 720 6 5 4 4 1 1 180 6 5 3 3 3 1 120 6 5 3 3 2 2 180 6 4 4 4 2 1 120 6 4 4 3 3 1 180 6 4 4 3 2 2 180 6 4 3 3 3 2 120 6 3 3 3 3 3 6 5 5 5 4 1 1 60 5 5 5 3 2 1 120 5 5 5 2 2 2 20 5 5 4 3 3 1 180 5 5 4 3 2 2 180 5 5 4 4 2 1 180 5 4 4 4 3 1 120 5 4 4 4 2 2 60 5 4 4 3 3 2 180 5 4 3 3 3 3 30 4 4 4 4 4 1 6 4 4 4 4 3 2 30 4 4 4 3 3 3 20 TOTALE 4272
Ma hai "partizionato" a mano? A quest'ora non mi è possibile ... 
A me risultano: $4332$, ed ho usato lo stesso metodo, ma, sono certo, che si può fare di meglio...
Comunque grazie per la risposta.
Comunque grazie per la risposta.
@nino
Ti manca $5-5-3-3-3-2$ che sono proprio i $60$ di differenza ...
Ti manca $5-5-3-3-3-2$ che sono proprio i $60$ di differenza ...
Un approccio diverso.
Possiamo pensare che le cifre siano le facce mostrate da normali dadi esaedrici.
Con un dado ciascun risultato da 1 a 6 si può ottenere in un solo modo.
Con due dadi ciascun risultato da 2 a 12 si può ottenere, rispettivamente in
$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 $ modi.
Con tre dadi ciascun risultato da 3 a 18 si può ottenere, rispettivamente in
$ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1 $ modi.
Si potrebbe procedere fino ad ottenere in quante maniere si possono ottenere i risultati da 6 a 36 lanciando sei dadi, ma a noi interessa solo il risultato 21. Questo si può ottenere, dividendo i dadi in due terne, ottenendo 3 dalla prima e 18 dalla seconda, oppure 4 e 17, 5 e 16...; approfittando dell'evidente simmetria otteniamo che:
$ m=2 ( 1^2+3^2+6^2+10^2+15^2+21^2+25^2+27^2)=4332 $
Ciao
B.
Possiamo pensare che le cifre siano le facce mostrate da normali dadi esaedrici.
Con un dado ciascun risultato da 1 a 6 si può ottenere in un solo modo.
Con due dadi ciascun risultato da 2 a 12 si può ottenere, rispettivamente in
$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 $ modi.
Con tre dadi ciascun risultato da 3 a 18 si può ottenere, rispettivamente in
$ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1 $ modi.
Si potrebbe procedere fino ad ottenere in quante maniere si possono ottenere i risultati da 6 a 36 lanciando sei dadi, ma a noi interessa solo il risultato 21. Questo si può ottenere, dividendo i dadi in due terne, ottenendo 3 dalla prima e 18 dalla seconda, oppure 4 e 17, 5 e 16...; approfittando dell'evidente simmetria otteniamo che:
$ m=2 ( 1^2+3^2+6^2+10^2+15^2+21^2+25^2+27^2)=4332 $
Ciao
B.
"axpgn":
Ma hai "partizionato" a mano? A quest'ora non mi è possibile ...
L'ho fatto su un foglietto, mentre guardavo la televisione...
(infatti, ho dimenticato una una partizione, mai distrarsi troppo...)
Ciao Nino
"nino_":
[quote="curie88"]
Quanti numeri ci sono, formati dalle cifre da 1 a 6(usando 6 cifre), la cui somma è 21?
Salvo errori e se non ho dimenticato qualche caso, i numeri totali possibili sono $4272$
6 6 6 1 1 1 20 6 6 5 2 1 1 180 6 6 4 3 1 1 180 6 6 4 2 2 1 180 6 6 3 3 2 1 180 6 6 3 2 2 2 60 6 5 5 3 1 1 180 6 5 5 2 2 1 180 6 5 4 2 2 2 120 6 5 4 3 2 1 720 6 5 4 4 1 1 180 6 5 3 3 3 1 120 6 5 3 3 2 2 180 6 4 4 4 2 1 120 6 4 4 3 3 1 180 6 4 4 3 2 2 180 6 4 3 3 3 2 120 6 3 3 3 3 3 6 5 5 5 4 1 1 60 5 5 5 3 2 1 120 5 5 5 2 2 2 20 5 5 4 3 3 1 180 5 5 4 3 2 2 180 5 5 4 4 2 1 180 5 4 4 4 3 1 120 5 4 4 4 2 2 60 5 4 4 3 3 2 180 5 4 3 3 3 3 30 4 4 4 4 4 1 6 4 4 4 4 3 2 30 4 4 4 3 3 3 20 TOTALE 4272[/quote]
come l'hai fatto? In questo tipo di esercizi non si devono usale le disposizioni o permutazioni o combinazioni?
Una di queste 3...
Ho esaminato tutti i modi possibili (6 cifre da 1 a 6 con somma 21), che sono 32 (avevo dimenticato 5 - 5 - 3 - 3 - 3 - 2)
Ad ognuno di questi, ho calcolato le permutazioni con elementi ripetuti:
$P'(n;m,r,s,...) = (n!)/(m!*r!*s!*...)$
facendo poi la somma.
Ad es. per il secondo caso:
$P'(6;2,1,1,2) = (6!)/(2!*1!*1!*2!) = 180$
Ad ognuno di questi, ho calcolato le permutazioni con elementi ripetuti:
$P'(n;m,r,s,...) = (n!)/(m!*r!*s!*...)$
facendo poi la somma.
Ad es. per il secondo caso:
$P'(6;2,1,1,2) = (6!)/(2!*1!*1!*2!) = 180$
"orsoulx":
Un approccio diverso.
Possiamo pensare che le cifre siano le facce mostrate da normali dadi esaedrici.
Con un dado ciascun risultato da 1 a 6 si può ottenere in un solo modo.
Con due dadi ciascun risultato da 2 a 12 si può ottenere, rispettivamente in
$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 $ modi.
Con tre dadi ciascun risultato da 3 a 18 si può ottenere, rispettivamente in
$ 1, 3, 6, 10, 15, 21, 25, 27, 27, 25, 21, 15, 10, 6, 3, 1 $ modi.
Si potrebbe procedere fino ad ottenere in quante maniere si possono ottenere i risultati da 6 a 36 lanciando sei dadi, ma a noi interessa solo il risultato 21. Questo si può ottenere, dividendo i dadi in due terne, ottenendo 3 dalla prima e 18 dalla seconda, oppure 4 e 17, 5 e 16...; approfittando dell'evidente simmetria otteniamo che:
$ m=2 ( 1^2+3^2+6^2+10^2+15^2+21^2+25^2+27^2)=4332 $
Ciao
B.
Grazie anche a te, tuttavia non ho chiaro questo tuo metodo alternativo...
Per cortesemente chiarirmi...la somma come viene 21 con un dado...? ciao.
@curie88
il numero del problema che proponi ha 6 cifre, ognuna di queste può essere sostituita con un dado, quindi 6 dadi in tutto, che si possono pensare divisi in due gruppi da tre, diciamo tre dadi rossi che corrispondono alle prime tre cifre del numero e tre dadi blu che prendono il posto delle ultime tre cifre del numero.
Con questi sei dadi puoi ottenere somme che appartengono all'intervallo [6..36] e quindi anche 21, che puoi trovare come somma di 3 sui dadi rossi e 18 su quelli blu, oppure 4 sui rossi e 17 sui blu, o anche 5 R e 16 B.... fino a 18 come somma dei rossi e 3 dei blu.
Contravvenendo alle regole di questo forum riporti interamente il mio intervento precedente, ma non trovo dove avrei detto che si ottiene 21 con un solo dado.
Il vettore che ho copiato sopra ti fornisce in quante maniere diverse puoi ottenere 3, 4, 5, 6...17,18 con tre dadi, basta allora moltiplicare i valori equidistanti dagli estremi (che sono uguali) e sommare i prodotti (che sono dei quadrati) per ottenere quanto cercavi.
Ciao
B.
il numero del problema che proponi ha 6 cifre, ognuna di queste può essere sostituita con un dado, quindi 6 dadi in tutto, che si possono pensare divisi in due gruppi da tre, diciamo tre dadi rossi che corrispondono alle prime tre cifre del numero e tre dadi blu che prendono il posto delle ultime tre cifre del numero.
Con questi sei dadi puoi ottenere somme che appartengono all'intervallo [6..36] e quindi anche 21, che puoi trovare come somma di 3 sui dadi rossi e 18 su quelli blu, oppure 4 sui rossi e 17 sui blu, o anche 5 R e 16 B.... fino a 18 come somma dei rossi e 3 dei blu.
Contravvenendo alle regole di questo forum riporti interamente il mio intervento precedente, ma non trovo dove avrei detto che si ottiene 21 con un solo dado.
"orsoulx":
Con tre dadi ciascun risultato da 3 a 18 si può ottenere, rispettivamente in
1,3,6,10,15,21,25,27,27,25,21,15,10,6,3,1 modi.
Il vettore che ho copiato sopra ti fornisce in quante maniere diverse puoi ottenere 3, 4, 5, 6...17,18 con tre dadi, basta allora moltiplicare i valori equidistanti dagli estremi (che sono uguali) e sommare i prodotti (che sono dei quadrati) per ottenere quanto cercavi.
Ciao
B.
Ok, grazie per la spiegazione, non ero a conoscenza del fatto, che non si può citare interamente un intervento.
Ho malinteso la tua prima spiegazione, la seconda mi è parzialmente chiara, infatti mi sfugge il perché è possibile eseguire la somma dei prodotti ottenuti. Potresti gentilmente chiarirmi?
Ho malinteso la tua prima spiegazione, la seconda mi è parzialmente chiara, infatti mi sfugge il perché è possibile eseguire la somma dei prodotti ottenuti. Potresti gentilmente chiarirmi?
@curie88:
scusa per il ritardo, ma non passo spesso da queste parti: mi interessa solo combinatoria a livello elementare.
Allora, abbiamo contato i modi con cui si possono ottenere somme da 3 a 18 con tre dadi. Ora di dadi ne hai sei e vuoi ottenere come somma 21. Dividendo i sei dadi in due gruppi R e B (diciamo le prime tre cifre e le ultime tre del tuo numero, ma questo non cambia nulla), puoi ottenere 21 da:
3 nel gruppo R e 18 in quello B, in quante maniere? $ 1 \cdot 1= 1 $;
4 nel gruppo R e 17 in quello B, in quante maniere? $ 3 \cdot 3 = 9 $;
5 nel gruppo R e 16 in quello B, in quante maniere? $ 6 \cdot 6 = 36 $;
.....
.....
10 nel gruppo R e 11 in quello B, in quante maniere? $ 27 \cdot 27 = 729 $;
11 nel gruppo R e 10 in quello B, in quante maniere? $ 27 \cdot 27 = 729 $;
.....
.....
17 nel gruppo R e 4 in quello B, in quante maniere? $ 3 \cdot 3 = 9 $;
18 nel gruppo R e 3 in quello B, in quante maniere? $ 1 \cdot 1 = 1 $;
Un modo qualsiasi calcolato nelle righe predenti può essere uguale (stesse cifre nella medesima posizione) ad uno contato in un'altra riga? Evidentemente no: se i dadi rossi una volta presentavano come somma 12 e l'altra 15, sicuramente almeno un dado mostrava facce diverse (almeno una cifra, anzi due perché cambia pure il secondo gruppo, dovevano essere diverse). E allora quale operazione dovrai fare per ottenere in quante maniere diverse puoi avere 21 come somma delle cifre?
Ciao
B.
scusa per il ritardo, ma non passo spesso da queste parti: mi interessa solo combinatoria a livello elementare.
Allora, abbiamo contato i modi con cui si possono ottenere somme da 3 a 18 con tre dadi. Ora di dadi ne hai sei e vuoi ottenere come somma 21. Dividendo i sei dadi in due gruppi R e B (diciamo le prime tre cifre e le ultime tre del tuo numero, ma questo non cambia nulla), puoi ottenere 21 da:
3 nel gruppo R e 18 in quello B, in quante maniere? $ 1 \cdot 1= 1 $;
4 nel gruppo R e 17 in quello B, in quante maniere? $ 3 \cdot 3 = 9 $;
5 nel gruppo R e 16 in quello B, in quante maniere? $ 6 \cdot 6 = 36 $;
.....
.....
10 nel gruppo R e 11 in quello B, in quante maniere? $ 27 \cdot 27 = 729 $;
11 nel gruppo R e 10 in quello B, in quante maniere? $ 27 \cdot 27 = 729 $;
.....
.....
17 nel gruppo R e 4 in quello B, in quante maniere? $ 3 \cdot 3 = 9 $;
18 nel gruppo R e 3 in quello B, in quante maniere? $ 1 \cdot 1 = 1 $;
Un modo qualsiasi calcolato nelle righe predenti può essere uguale (stesse cifre nella medesima posizione) ad uno contato in un'altra riga? Evidentemente no: se i dadi rossi una volta presentavano come somma 12 e l'altra 15, sicuramente almeno un dado mostrava facce diverse (almeno una cifra, anzi due perché cambia pure il secondo gruppo, dovevano essere diverse). E allora quale operazione dovrai fare per ottenere in quante maniere diverse puoi avere 21 come somma delle cifre?
Ciao
B.
grazie tante orsoulx, ora è chiaro.
ciao ragazzi, ho difficoltà ad interpretare il seguente esercizio:
"Quanti sono i numeri interi positivi aventi 5 cifre e la cui terza cifra uguale a 2? E se
la terza cifra compresa fra 0 e 2?"
non capisco come impostarlo...
!
"Quanti sono i numeri interi positivi aventi 5 cifre e la cui terza cifra uguale a 2? E se
la terza cifra compresa fra 0 e 2?"
non capisco come impostarlo...
!
Primo quesito, risposta $x$:
$x = 9*10*1*10*10 = 9*10^3 = 9000 $
Secondo quesito, risposta $y$:
$y = 9*10*3*10*10 = 9*3*10^3 = 27000 $
$x = 9*10*1*10*10 = 9*10^3 = 9000 $
Secondo quesito, risposta $y$:
$y = 9*10*3*10*10 = 9*3*10^3 = 27000 $
"curie88":
Primo quesito, risposta $x$:
$x = 9*10*1*10*10 = 9*10^3 = 9000 $
Secondo quesito, risposta $y$:
$y = 9*10*3*10*10 = 9*3*10^3 = 27000 $
semplicemente, perche' ?
! ieri non "ci sono arrivato" forse perche' stanco da lavoro ma oggi e' ancora buio 
. Grazie.
Se la terza cifra è fissata è come non ci fosse quindi ti rimane un numero di $4$ cifre, ma quanti sono tali numeri? $9999-999=9000$.
Per il secondo la stessa cosa: fissi lo zero, poi l'uno ed infine il due ...
Per il secondo la stessa cosa: fissi lo zero, poi l'uno ed infine il due ...
"Frasandro":
semplicemente, perche' ?
Grazie.
Si perchè, in riferimento al primo quesito: La prima cifra la puoi scegliere in 9 modi(escludi lo zero, in prima posizione), la seconda in 10 modi(da 0 a 9), la terza in un solo modo(sappiamo che vale 2)...e cosi via...
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