Quando usare distribuzione binomiale ,poisson e la normale standard
Salve a tutti come da titolo in vista dell'esame di statistica ho tempo 10 giorni per imparare a fare esercizi di probabilità usando queste distribuzioni, il problema è che non ho ben capito quando si usa una o l'altra...
Risposte
Ciao. La tua domanda mi sembra un po' campata in aria. Ma provo comunque a risponderti.
DISTRIBUZIONE BINOMIALE:
Supponiamo di ripetere n volte una prova. La probabilità che in una singola prova si verifichi un evento $E$ è sempre la stessa per tutte le n prove che stiamo effettuando. Dunque, consideriamo:
1) $p$ la probabilità che in una singola prova si verifichi l'evento $E$
2) $1-p = q$ la probabilità che in una singola prova non si verifichi l'evento $E$.
3) $n$: numero di prove effettuate
4) $k$: numero di volte in cui l'evento E si verifica
L'evento E può dunque verificarsi da 0 a n volte. Ecco, qui il punto chiave:
il numero di successi, ossia il numero di volte in cui si verifica l'evento E, costituisce una variabile aleatoria discreta, di cui vogliamo determinare la distribuzione. Ossia la domanda che devi porti è la seguente:
"Qual è la probabilità che, nelle n prove, l'evento E si verifichi k volte?"
La probabilità che nelle n prove l'evento E si verifichi k volte è
$p_k = p(X=k) = ( (n), (k) ) * p^k * q^(n-k)$
Esempio banale, ma utile:
Un esame di probabilità è costituito da un test a risposta multipla. Ci sono 9 domande, ognuna con 4 possibili risposte, tra cui una sola è quella giusta. Per ottenere la sufficienza occorre rispondere bene ad almeno 6 domande. Uno studente decide di rispondere a caso alla domande perchè impreparato. Qual è la probabilità che superi l'esame?
Cominciamo ad indicare i dati.
Numero di prove = n = 9.
E: lo studente risponde correttamente.
probabilità che si verifichi E : p(E) = 1/4 = 0.25
probabilità che non si verifichi e: q(E) = 1 - p(E) = 1 - 0.25 = 0.75
Ci chiediamo quando lo studente supera l'esame?
Supera l'esame se risponde correttamente a 6,7,8 o 9 risposte. Dunque:
k = 6 o k = 7 o k= 8 o k = 9
probabilità che lo studente risponda a 6 domande correttamente:
$p_6 = ( (9), (6)) * (0.25)^6 *(0.75)^3 = ....$
probabilità che lo studente risponda a 7 domande correttamente:
$p_7 = ( (9), (7)) * (0.25)^7 *(0.75)^2 = ....$
probabilità che lo studente risponda a 8 domande correttamente:
$p_8 = ( (9), (8)) * (0.25)^8 *(0.75)^1 = ....$
probabilità che lo studente risponda a 9 domande correttamente:
$p_9 = ( (9), (9)) * (0.25)^9 *(0.75)^0 = ....$
Ecco. Dato che affinché lo studente superi l'esame è sufficiente che si verifichi uno tra gli eventi sopra citati, allora la probabilità che lo studente superi l'esame è:
$p_6 + p_7 + p_8 + p_9 = 0.0099......$
DISTRIBUZIONE DI POISSON
Bene se sei entrato nell'argomento attraverso la distribuzione binomiale, non avrai problemi per la Poissoniana; essa può essere considerata un'approssimazione della distribuzione binomiale quando il numero di prove diventa molto elevato e calcolare i coefficienti binomiali risulta complesso. In alcune circostanze, potrai utilizzarle entrambe, e noterai come la Poissoniana riesce ad approssimare la binomiale tanto meglio quanto maggiore sarà n.
In generale consideriamo un esempio anche in questo caso:
In una stazione autostradale arrivano in media 3 automobili al minuto. Si vuole calcolare la probabilità che:
-in un minuto arrivo soltanto un'automobile.
In sostanza possiamo considerare ogni automobilista che arriva come un prova che nel corso del minuto considerato può raggiungere la stazione di servizio(l'evento ha successo) oppure non recarvisi(insuccesso). E' facile immaginare come il numero degli automobilisti sia molto grande(e in questo caso nemmeno noto). Per questo ci viene fornita una stima relativamente ad una media, pari a 3.
Allora la poisson si basa sulla seguente:
$p_k = p(X=K) = e^-lambda * (lambda ^ k /( k!))$
in cui:
$lambda$ rappresenta la stima del numero medio di prove che si verificano
$k!$ rappresenta il numero di successi.
Quindi nel nostro esercizio, vogliamo sapere la $p(X=1)$, ossia:
$p(X=1) = e^-3 * 3 ^ 1 /( 1!) = .....$
Supponiamo ora di voler sapere la probabilità che arrivino meno di 4 automobili:
Se arrivano meno di 4 automobili allora significa che la probabilità richiesta sarà l'unione degli eventi incompatibili:
$p_0$ non arriva nessuna automobile
$p_1$ ne arriva una
$p_2$ ne arrivano due
$p_3$ ne arrivano tre
Ossia:
$p_0 + p_1 + p_2+ p_3 = e^-3 * 3 ^ 0 /( 0!) + e^-3 * 3 ^ 1 /( 1!) + e^-3 * 3 ^ 2 /( 2!) + e^-3 * 3 ^ 3 /( 3!) = .......$
In generale, si usa la Binomiale (e anche la Poissoniana con i dovuti accorgimenti) quando siamo davanti a un problema di prove ripetute tali che ognuna di esse ha la medesima probabilità di realizzare un evento E.
La Normale è più complicata da spiegare. Ti invito dunque a studiarla dal tuo libro e in caso di dubbi di scrivere un post apposito.
Saluti.
DISTRIBUZIONE BINOMIALE:
Supponiamo di ripetere n volte una prova. La probabilità che in una singola prova si verifichi un evento $E$ è sempre la stessa per tutte le n prove che stiamo effettuando. Dunque, consideriamo:
1) $p$ la probabilità che in una singola prova si verifichi l'evento $E$
2) $1-p = q$ la probabilità che in una singola prova non si verifichi l'evento $E$.
3) $n$: numero di prove effettuate
4) $k$: numero di volte in cui l'evento E si verifica
L'evento E può dunque verificarsi da 0 a n volte. Ecco, qui il punto chiave:
il numero di successi, ossia il numero di volte in cui si verifica l'evento E, costituisce una variabile aleatoria discreta, di cui vogliamo determinare la distribuzione. Ossia la domanda che devi porti è la seguente:
"Qual è la probabilità che, nelle n prove, l'evento E si verifichi k volte?"
La probabilità che nelle n prove l'evento E si verifichi k volte è
$p_k = p(X=k) = ( (n), (k) ) * p^k * q^(n-k)$
Esempio banale, ma utile:
Un esame di probabilità è costituito da un test a risposta multipla. Ci sono 9 domande, ognuna con 4 possibili risposte, tra cui una sola è quella giusta. Per ottenere la sufficienza occorre rispondere bene ad almeno 6 domande. Uno studente decide di rispondere a caso alla domande perchè impreparato. Qual è la probabilità che superi l'esame?
Cominciamo ad indicare i dati.
Numero di prove = n = 9.
E: lo studente risponde correttamente.
probabilità che si verifichi E : p(E) = 1/4 = 0.25
probabilità che non si verifichi e: q(E) = 1 - p(E) = 1 - 0.25 = 0.75
Ci chiediamo quando lo studente supera l'esame?
Supera l'esame se risponde correttamente a 6,7,8 o 9 risposte. Dunque:
k = 6 o k = 7 o k= 8 o k = 9
probabilità che lo studente risponda a 6 domande correttamente:
$p_6 = ( (9), (6)) * (0.25)^6 *(0.75)^3 = ....$
probabilità che lo studente risponda a 7 domande correttamente:
$p_7 = ( (9), (7)) * (0.25)^7 *(0.75)^2 = ....$
probabilità che lo studente risponda a 8 domande correttamente:
$p_8 = ( (9), (8)) * (0.25)^8 *(0.75)^1 = ....$
probabilità che lo studente risponda a 9 domande correttamente:
$p_9 = ( (9), (9)) * (0.25)^9 *(0.75)^0 = ....$
Ecco. Dato che affinché lo studente superi l'esame è sufficiente che si verifichi uno tra gli eventi sopra citati, allora la probabilità che lo studente superi l'esame è:
$p_6 + p_7 + p_8 + p_9 = 0.0099......$
DISTRIBUZIONE DI POISSON
Bene se sei entrato nell'argomento attraverso la distribuzione binomiale, non avrai problemi per la Poissoniana; essa può essere considerata un'approssimazione della distribuzione binomiale quando il numero di prove diventa molto elevato e calcolare i coefficienti binomiali risulta complesso. In alcune circostanze, potrai utilizzarle entrambe, e noterai come la Poissoniana riesce ad approssimare la binomiale tanto meglio quanto maggiore sarà n.
In generale consideriamo un esempio anche in questo caso:
In una stazione autostradale arrivano in media 3 automobili al minuto. Si vuole calcolare la probabilità che:
-in un minuto arrivo soltanto un'automobile.
In sostanza possiamo considerare ogni automobilista che arriva come un prova che nel corso del minuto considerato può raggiungere la stazione di servizio(l'evento ha successo) oppure non recarvisi(insuccesso). E' facile immaginare come il numero degli automobilisti sia molto grande(e in questo caso nemmeno noto). Per questo ci viene fornita una stima relativamente ad una media, pari a 3.
Allora la poisson si basa sulla seguente:
$p_k = p(X=K) = e^-lambda * (lambda ^ k /( k!))$
in cui:
$lambda$ rappresenta la stima del numero medio di prove che si verificano
$k!$ rappresenta il numero di successi.
Quindi nel nostro esercizio, vogliamo sapere la $p(X=1)$, ossia:
$p(X=1) = e^-3 * 3 ^ 1 /( 1!) = .....$
Supponiamo ora di voler sapere la probabilità che arrivino meno di 4 automobili:
Se arrivano meno di 4 automobili allora significa che la probabilità richiesta sarà l'unione degli eventi incompatibili:
$p_0$ non arriva nessuna automobile
$p_1$ ne arriva una
$p_2$ ne arrivano due
$p_3$ ne arrivano tre
Ossia:
$p_0 + p_1 + p_2+ p_3 = e^-3 * 3 ^ 0 /( 0!) + e^-3 * 3 ^ 1 /( 1!) + e^-3 * 3 ^ 2 /( 2!) + e^-3 * 3 ^ 3 /( 3!) = .......$
In generale, si usa la Binomiale (e anche la Poissoniana con i dovuti accorgimenti) quando siamo davanti a un problema di prove ripetute tali che ognuna di esse ha la medesima probabilità di realizzare un evento E.
La Normale è più complicata da spiegare. Ti invito dunque a studiarla dal tuo libro e in caso di dubbi di scrivere un post apposito.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo