Qualche dritta per un valore atteso...

[slash2]

Salve a tutti...non riesco a calcolare un valore atteso di un' espressione che coinvolge queste variabii aleatorie e se poteste aiutarmi con qualche suggerimento ve ne sarei molto grato:)...
In particolare vorrei riuscire a capire come poter procedere nel calcolo di valori attesi e varinze quando ho delle situazioni simili a quelle presentate in questo esempio.
Vi posto il mio tentativo di soluzione per farvi vedere che non voglio "scroccare" una soluzione ma ho la volontà di capire come procedere in casi come questo.
grazie in anticipo!

Ho praticamente due variabili aleatorie dove:

$X|Y=y sim N(betay,1)$
e
$YsimN(mu,1)$

Ora devo calcolare :

$E((sumx_i*y_i)/(sumy_i^2))$

Potrei procedere calcolando prima il valore atteso $E(XY)$ sfruttando in questo caso il valore atteso iterato, ovvero:

$E(XY)$=$E(E(XY|Y=y))$
=$E(YE(X|Y))$
e considerando che Y è una normale di parametri $N(mu,1)$ e che X|Y si distribuisce come una normale anch'essa ma con parametri dati da $N(betay,1)$

=$E(YbetaY)=
=$E(Y^2beta)$=
=$betaE(Y^2)$

devo calcolare ora $E(Y^2)$ e considerando che $Var(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$ posso ottenere $E(Y^2)$ come:

$E(Y^2)$=$Var(Y)+[E(Y)]^2$

e quindi siccome Y si ditribuisce come una normale $N(mu,1)$ allora:

$E(XY)$=$betaE(Y^2)$
=$beta(1+mu^2)$
=$beta+betamu^2$

a questo punto vado a calcolare:

$E((sumx_i*y_i)/(sumy_i^2))$

seguendo un procedimento simile a quanto fatto in precedenza:

$E(E((sumx_i*y_i)/(sumy_i^2)|Y_1=y_1...Y_n=y_n))$

così va bene?

[DajeForte]

Io ti consiglieri di tirare fuori la sommatoria dal valore atteso e poi condizionare ala sigma algebra generata dalle $Y_i$ (cioè come hai fatto te)

[slash2]

ok... ma poi le sommatorie $sum_{i=1}^n X_iY_i$ e di $sum_{i=1}^n Y_i^2$ tirate fuori dall'operatore non si semplificano tra loro?
Nel senso che il valore atteso di una sommatoria è uguale alla sommatoria del valore atteso e quindi sarebbe pari ad n; comunque se procedo così:


$E(E((sum_{i=1}y_i*E(X|Y_1=y_1...Y_n=y_n ))/(sum_{i=1}y_i^2))|Y)$

e poi porto le sommatorie fuori e le semplifico ottengo una cosa del genere:

=$E(E((Y*E(X|Y))/Y^2)|Y)$=
=$E((E(X|Y))/(Y))$=
=$E((betaY/Y))=
=$beta$

potrebbe essere questo il risultato?...

[DajeForte]

Non capisco cosa intendi con $Y$ e $X$;

io ti dicevo

$E[(sum X_i Y_i)/(sum Y_i^2)]=sum \ E[(X_i Y_i)/(sum Y_i^2)]$ e poi da qua condizioni e si alla fine viene beta.

[slash2]

Ciao grazie innanzitutto delle risposte.
X e Y sono le variabili aleatorie; ma i valori sono valori campionari che definiscono lo stimatore $beta$; in pratica io avevo anche i valori di

$sum_{i=1}^n x_i y_i$=110
$n=100$
$sum_{i=1}^n y_i^2$=100