Qualche domanda: gaussiane e stimatori
Ciao a tutti, è la prima volta che scrivo qui 
Purtroppo ho avuto problemi a frequentare il corso e sto facendo un pò di fatica a capire alcuni argomenti in vista dell'esame, giunto ormai al terzo tentativo vorrei finalmente riuscire a depennarlo dal libretto
Vengo al sodo. La prima domanda che vorrei farvi riguarda la polarizzazione del momento centrale campionario secondo, come stimatore della varianza della popolazione.
Su una dispensa ho trovato la seguente dimostrazione:
Fino alla somma e sottrazione di $\mu$ ci sono. Non mi è molto chiaro però perchè tra la prima e la seconda riga l'esponente viene riportato "così com'è" ai due binomi sotto parentesi; sospetto però che sia legato alle proprietà della sommatoria, solo che ho provato a svolgere il calcolo e beh, sono andato un pò nel pallone non chiedo di svolgerli per me, vorrei solo sapere se l'idea è corretta, nel caso proverò a sbatterci la testa ancora un pò.
La seconda domanda è invece un pò più pratica. In un esercizio un sistema ridondante composto da due componenti viene modellizzato con due tempi di vita X1 e X2, entrambi esponenziali con $\lambda = 5$, e viene definita una terza VC come $T = X1 + X2$; viene quindi chiesta la distribuzione di T, immagino in forma analitica, e a che famiglia appartenga. Ora, io so che la somma di esponenziali è una gamma, ma per quanto riguarda la distribuzione? Io immagino di dover applicare la convoluzione, quindi convolvere le fdp di x1 e x2 (identiche) per ottenere la fdp di T, ma anche qui non sono stato fortunato coi calcoli. Di nuovo, mi basta sapere che sono sui binari giusti
Terza domanda, per chi ancora avesse pazienza Direttamente dal testo dell'ultimo appello.
Io so che la media di una vc continua è $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$; in questo caso però, sinceramente, non so che pesci pigliare per l'integrazione di questa funzione. Forse mi sbaglio, ma sapevo che la normale non è facilmente integrabile "a mano", cercando in giro ho trovato procedimenti che si occupavano di verificare che l'integrale della fdc fosse uguale a 1, sfruttando l'uguaglianza tra l'integrale e il suo quadrato, ed effettuando un cambiamento di variabili andando alle coordinate polari. Io mi auguro che ci sia un modo più semplice... Avevo pensato a un cambiamento di variabile sfruttando $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.
Questo per ora è quanto, spero di non essere stato vago o aver chiesto troppo, purtroppo ci sono alcune cose (tra cui anche gli stimatori ML che se tutto va bene non vi dovrò chiedere) che veramente mi stanno dando filo da torcere.
Ringrazio in anticipo chi mi volesse aiutare, a presto!
Alessandro
Purtroppo ho avuto problemi a frequentare il corso e sto facendo un pò di fatica a capire alcuni argomenti in vista dell'esame, giunto ormai al terzo tentativo vorrei finalmente riuscire a depennarlo dal libretto
Vengo al sodo. La prima domanda che vorrei farvi riguarda la polarizzazione del momento centrale campionario secondo, come stimatore della varianza della popolazione.
Su una dispensa ho trovato la seguente dimostrazione:
Fino alla somma e sottrazione di $\mu$ ci sono. Non mi è molto chiaro però perchè tra la prima e la seconda riga l'esponente viene riportato "così com'è" ai due binomi sotto parentesi; sospetto però che sia legato alle proprietà della sommatoria, solo che ho provato a svolgere il calcolo e beh, sono andato un pò nel pallone
non chiedo di svolgerli per me, vorrei solo sapere se l'idea è corretta, nel caso proverò a sbatterci la testa ancora un pò.La seconda domanda è invece un pò più pratica. In un esercizio un sistema ridondante composto da due componenti viene modellizzato con due tempi di vita X1 e X2, entrambi esponenziali con $\lambda = 5$, e viene definita una terza VC come $T = X1 + X2$; viene quindi chiesta la distribuzione di T, immagino in forma analitica, e a che famiglia appartenga. Ora, io so che la somma di esponenziali è una gamma, ma per quanto riguarda la distribuzione? Io immagino di dover applicare la convoluzione, quindi convolvere le fdp di x1 e x2 (identiche) per ottenere la fdp di T, ma anche qui non sono stato fortunato coi calcoli. Di nuovo, mi basta sapere che sono sui binari giusti
Terza domanda, per chi ancora avesse pazienza
Direttamente dal testo dell'ultimo appello.Si dimostri che una variabile causale gaussiana di parametri mu e sigma ha media proprio pari a mu.
Io so che la media di una vc continua è $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$; in questo caso però, sinceramente, non so che pesci pigliare per l'integrazione di questa funzione. Forse mi sbaglio, ma sapevo che la normale non è facilmente integrabile "a mano", cercando in giro ho trovato procedimenti che si occupavano di verificare che l'integrale della fdc fosse uguale a 1, sfruttando l'uguaglianza tra l'integrale e il suo quadrato, ed effettuando un cambiamento di variabili andando alle coordinate polari. Io mi auguro che ci sia un modo più semplice... Avevo pensato a un cambiamento di variabile sfruttando $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$.
Questo per ora è quanto, spero di non essere stato vago o aver chiesto troppo, purtroppo ci sono alcune cose (tra cui anche gli stimatori ML che se tutto va bene non vi dovrò chiedere) che veramente mi stanno dando filo da torcere.
Ringrazio in anticipo chi mi volesse aiutare, a presto!
Alessandro
Risposte
Per il secondo la distribuzione è proprio la gamma, ovvero una v.a. Assolutamente continua dove la densità è quella della gamma dimparametri 2 (perchè sono 2 le esponenziali che sommi) e 5 che è il parametro (che deve essere comune) delle esponenziali. Non so se magari nell'esercizio od in una eventuale sede di esame sia sufficiente o tu debba anche dimostrare che la convoluzione di esponenziali (ancora una volta con stesso parametro) è una gamma.
Il testo è un pò vago, quindi penso volesse proprio la convoluzione. Mi cercherò qualche pagina di convoluzioni da svolgere allora, grazie della conferma
Per la normale ti conviene fare cosi.
Se $X \sim N(mu,sigma^2)$ Vogliamo dimostrare che $E[X]=mu$.
Questo e' equivalente a dimostrare che $E[(X-mu)/(sigma)]=0$ (lo vedi il perche' e' equivalente?)
Ma $(X-mu)/(sigma)=Z$ si distribuisce come una normale standard.
Devi dunque vedere che $int_RR x 1/(sqrt(2 pi)) e^(-(x^2)/2)dx=0$. Sai farlo?
Se $X \sim N(mu,sigma^2)$ Vogliamo dimostrare che $E[X]=mu$.
Questo e' equivalente a dimostrare che $E[(X-mu)/(sigma)]=0$ (lo vedi il perche' e' equivalente?)
Ma $(X-mu)/(sigma)=Z$ si distribuisce come una normale standard.
Devi dunque vedere che $int_RR x 1/(sqrt(2 pi)) e^(-(x^2)/2)dx=0$. Sai farlo?
Per il primo, (chiamo X medio Y che mi viene piu' comodo da scrivere)
$1/n sum_i [(X_i-mu)-(Y-mu)]^2=1/n sum_i [(X_i-mu)^2+(Y-mu)^2-2(X_i-mu)(Y-mu)]$
distribuisci la sommatoria e 1/n
$[1/n sum_i (X_i-mu)^2 ]+[1/n sum_i (Y-mu)^2] - [2/n sum_i(X_i-mu)(Y-mu)] $
Ora il primo termine lo lasci cosi'.
Il secondo $1/n sum_i (Y-mu)^2=(Y-mu)^2$;
il terzo $[2/n sum_i(X_i-mu)(Y-mu)]=2/n (Y-mu) sum_i(X_i-mu)=2/n(Y-mu)[sum_i X_i-sum_i mu]$
Ricordando che $Y=1/n sum_i X_i$ ottieni
$[2/n sum_i(X_i-mu)(Y-mu)]=2/n(Y-mu)(n Y - n mu)=2(Y-mu)^2$
$1/n sum_i [(X_i-mu)-(Y-mu)]^2=1/n sum_i [(X_i-mu)^2+(Y-mu)^2-2(X_i-mu)(Y-mu)]$
distribuisci la sommatoria e 1/n
$[1/n sum_i (X_i-mu)^2 ]+[1/n sum_i (Y-mu)^2] - [2/n sum_i(X_i-mu)(Y-mu)] $
Ora il primo termine lo lasci cosi'.
Il secondo $1/n sum_i (Y-mu)^2=(Y-mu)^2$;
il terzo $[2/n sum_i(X_i-mu)(Y-mu)]=2/n (Y-mu) sum_i(X_i-mu)=2/n(Y-mu)[sum_i X_i-sum_i mu]$
Ricordando che $Y=1/n sum_i X_i$ ottieni
$[2/n sum_i(X_i-mu)(Y-mu)]=2/n(Y-mu)(n Y - n mu)=2(Y-mu)^2$
Innanzitutto grazie infinite per le risposte. Ora guardo bene e rispondo!
edit.
Dunque saranno equivalenti perchè se normalizzo la fdp di partenza, la trasformazione $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ mi permette di studiare Z che si distribuisce come la normale standard, che ha media 0 e varianza 1. Quindi se svolgo i calcoli sostituendo, nella fdc classica della gaussiana, $\frac{X - \mu}{\sigma} = Z$, sostanzialmente tratto le stesse quantità, (ora dico una castroneria, attenzione!) essendo l'integrale operatore lineare, con la differenza che l'integrale non deve più essere uguale a $\mu$ ma a $0$. Il risultato a cui arrivo è praticamente la formula che hai scritto sotto, solo che considerando la sostituzione, avrei Z al posto di X. E' corretto?
Potrei assumere che l'integrando è dispari e il dominio è simmetrico rispetto all'origine, quindi l'integrale su R è 0...
Altrimenti svolgendolo, porto fuori $1/(sqrt(2 pi))$, trovo che la primitiva è $-e^(-(x^2)/2)$, valuto l'integrale improprio coi limiti ai due estremi e vedo facilmente che ho 0. Corretto?
Per la prima domanda, ti ringrazio, è proprio quello che ci voleva. Facevo confusione nei calcoli perchè mi ostinavo a esplicitare il doppio prodotto, ovviamente così è impossibile rendersi conto di quali sostituzioni posso fare dopo.
Sei stato gentilissimo, grazie infinite!
edit.
"DajeForte":
Questo e' equivalente a dimostrare che $E[(X-mu)/(sigma)]=0$ (lo vedi il perche' e' equivalente?)
Dunque saranno equivalenti perchè se normalizzo la fdp di partenza, la trasformazione $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ mi permette di studiare Z che si distribuisce come la normale standard, che ha media 0 e varianza 1. Quindi se svolgo i calcoli sostituendo, nella fdc classica della gaussiana, $\frac{X - \mu}{\sigma} = Z$, sostanzialmente tratto le stesse quantità, (ora dico una castroneria, attenzione!) essendo l'integrale operatore lineare, con la differenza che l'integrale non deve più essere uguale a $\mu$ ma a $0$. Il risultato a cui arrivo è praticamente la formula che hai scritto sotto, solo che considerando la sostituzione, avrei Z al posto di X. E' corretto?
Ma $(X-mu)/(sigma)=Z$ si distribuisce come una normale standard.
Devi dunque vedere che $int_RR x 1/(sqrt(2 pi)) e^(-(x^2)/2)dx=0$. Sai farlo?
Potrei assumere che l'integrando è dispari e il dominio è simmetrico rispetto all'origine, quindi l'integrale su R è 0...
Altrimenti svolgendolo, porto fuori $1/(sqrt(2 pi))$, trovo che la primitiva è $-e^(-(x^2)/2)$, valuto l'integrale improprio coi limiti ai due estremi e vedo facilmente che ho 0. Corretto?
Per la prima domanda, ti ringrazio, è proprio quello che ci voleva. Facevo confusione nei calcoli perchè mi ostinavo a esplicitare il doppio prodotto, ovviamente così è impossibile rendersi conto di quali sostituzioni posso fare dopo.
Sei stato gentilissimo, grazie infinite!
Allora non ho bene capito.
Quello che dicevo è che (per la linearità del valore atteso)
$E[X]=mu$ se e solo se $E[(X-mu)/sigma]=0$.
Comunque anche facendo l'integrale e la opportuna sostituzione che dici te (sempre per linearità dell'integrle) ottieni l'equivalenza tra le due cose.
Per quanto riguarda la disparità va bene il discorso che fai ma devi anche precisare che l'integrale è (assolutamente) convergente. Se prendi ad esempio la distribuzione di Cauchy, questa è simmetrica ed ha dunque densitàche è una funzione pari, chiamiamola $f$. Quando ne calcoli la media fai l'integrale di $xf$ che è dispari allora saresti portato a dire che ha media 0. Ma siccome l'integrale non è assolutamente convergente (ovvero lintegrale di $|xf|$ è +infinito) si ha che la Cauchy non ha media.
Altrimenti puoi integrare come dici e facendo i limiti vedere che l'integrale fa 0.
Ciao
Quello che dicevo è che (per la linearità del valore atteso)
$E[X]=mu$ se e solo se $E[(X-mu)/sigma]=0$.
Comunque anche facendo l'integrale e la opportuna sostituzione che dici te (sempre per linearità dell'integrle) ottieni l'equivalenza tra le due cose.
Per quanto riguarda la disparità va bene il discorso che fai ma devi anche precisare che l'integrale è (assolutamente) convergente. Se prendi ad esempio la distribuzione di Cauchy, questa è simmetrica ed ha dunque densitàche è una funzione pari, chiamiamola $f$. Quando ne calcoli la media fai l'integrale di $xf$ che è dispari allora saresti portato a dire che ha media 0. Ma siccome l'integrale non è assolutamente convergente (ovvero lintegrale di $|xf|$ è +infinito) si ha che la Cauchy non ha media.
Altrimenti puoi integrare come dici e facendo i limiti vedere che l'integrale fa 0.
Ciao
Oh ok ora ho capito. Mi veniva più naturale ragionare in termini di cosa avevo davanti (la fdc della normale) immaginando la curva prima e dopo la normalizzazione.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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